泛函與變分簡(jiǎn)介

1、u 前言前言 如果某個(gè)定解問(wèn)題不能嚴(yán)格解出，但另一個(gè)與它差如果某個(gè)定解問(wèn)題不能嚴(yán)格解出，但另一個(gè)與它差別甚微的定解問(wèn)題能嚴(yán)格解出，那么就可以運(yùn)用別甚微的定解問(wèn)題能嚴(yán)格解出，那么就可以運(yùn)用近似法近似法求近似解求近似解近似解法涉及：變分法，有限差分法和模擬法等近似解法涉及：變分法，有限差分法和模擬法等 變分法變分法是研究求解泛函極值（極大或極小）的方法，是研究求解泛函極值（極大或極小）的方法，變分問(wèn)題即是變分問(wèn)題即是求泛函的極值問(wèn)題求泛函的極值問(wèn)題把定解問(wèn)題轉(zhuǎn)化為把定解問(wèn)題轉(zhuǎn)化為變分問(wèn)題變分問(wèn)題，再求變分問(wèn)題的解，再求變分問(wèn)題的解變分法的優(yōu)點(diǎn)變分法的優(yōu)點(diǎn): (2) 變分法易于變分法易于實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)的統(tǒng)

2、一化實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)的統(tǒng)一化因?yàn)橐话愣?，因?yàn)橐话愣裕瑪?shù)學(xué)物理方程的定解問(wèn)題都可以轉(zhuǎn)化為變分問(wèn)題尤數(shù)學(xué)物理方程的定解問(wèn)題都可以轉(zhuǎn)化為變分問(wèn)題尤其是前面介紹的斯特姆劉維爾本征值問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為其是前面介紹的斯特姆劉維爾本征值問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為變分問(wèn)題，變分法提供了施劉型本征值問(wèn)題的本征變分問(wèn)題，變分法提供了施劉型本征值問(wèn)題的本征函數(shù)系的完備性等結(jié)論的證明；函數(shù)系的完備性等結(jié)論的證明；(1) 變分法在物理上可以變分法在物理上可以歸納定律歸納定律因?yàn)閹缀跛械囊驗(yàn)閹缀跛械淖匀欢啥寄苡米兎衷淼男问接枰员磉_(dá)；自然定律都能用變分原理的形式予以表達(dá)；(3) 變分法變分法是解數(shù)學(xué)物理定解問(wèn)題常用的近似方法，是解數(shù)學(xué)物理

3、定解問(wèn)題常用的近似方法，其其基本思想基本思想是是把數(shù)學(xué)物理定解問(wèn)題轉(zhuǎn)化為變分問(wèn)題把數(shù)學(xué)物理定解問(wèn)題轉(zhuǎn)化為變分問(wèn)題由直接解變分問(wèn)題發(fā)展了一些近似解法，其中最有用由直接解變分問(wèn)題發(fā)展了一些近似解法，其中最有用的是的是里茨里茨 （Ritz）法）法 由于里茨法中的試探函數(shù)的由于里茨法中的試探函數(shù)的選取較為麻煩，計(jì)算系數(shù)矩陣也十分困難，隨著計(jì)算選取較為麻煩，計(jì)算系數(shù)矩陣也十分困難，隨著計(jì)算機(jī)的展，又迅速發(fā)展了一種有限元法；機(jī)的展，又迅速發(fā)展了一種有限元法； (4) 變分法的應(yīng)用變分法的應(yīng)用不僅在經(jīng)典物理和工程技術(shù)域，不僅在經(jīng)典物理和工程技術(shù)域，而且在現(xiàn)代量子場(chǎng)論，現(xiàn)代控制理論和現(xiàn)代信息理論而且在現(xiàn)代量子

4、場(chǎng)論，現(xiàn)代控制理論和現(xiàn)代信息理論等高技術(shù)領(lǐng)域都有十分廣泛的應(yīng)用等高技術(shù)領(lǐng)域都有十分廣泛的應(yīng)用有限差分法有限差分法：有限差分法把定解問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程，：有限差分法把定解問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程， 然后通過(guò)電子計(jì)算機(jī)求定解問(wèn)題的數(shù)值解然后通過(guò)電子計(jì)算機(jī)求定解問(wèn)題的數(shù)值解模擬法模擬法：即用一定的物理模型來(lái)模擬所研究的定解問(wèn)題，：即用一定的物理模型來(lái)模擬所研究的定解問(wèn)題， 而在模型上實(shí)測(cè)解的數(shù)值而在模型上實(shí)測(cè)解的數(shù)值 變分法變分法是這些方法中最為重要和切實(shí)有效的方法，是這些方法中最為重要和切實(shí)有效的方法，已經(jīng)廣泛應(yīng)用于科學(xué)研究和工程計(jì)算之中已經(jīng)廣泛應(yīng)用于科學(xué)研究和工程計(jì)算之中 泛函泛函 變分法研究的對(duì)象是

5、變分法研究的對(duì)象是泛函泛函，泛函是函數(shù)概念的推廣，泛函是函數(shù)概念的推廣為了說(shuō)明泛函概念先看為了說(shuō)明泛函概念先看2個(gè)例題：個(gè)例題： 泛函通常以泛函通常以積分形式積分形式出現(xiàn)，比如上面描述的最速降線出現(xiàn)，比如上面描述的最速降線落徑問(wèn)題的公式更為一般而又典型的泛函定義為落徑問(wèn)題的公式更為一般而又典型的泛函定義為 ( )( , ,)dbaJ y xF x y yx其中其中 ( , ,)F x y y稱為稱為泛函的核泛函的核 泛函的極值泛函的極值變分法變分法對(duì)于不同的自變量函數(shù)對(duì)于不同的自變量函數(shù) ( )y x，與此相應(yīng)的泛函，與此相應(yīng)的泛函 ( )J y x也有不同的數(shù)值找出一個(gè)確定的自變量函數(shù)也有不

6、同的數(shù)值找出一個(gè)確定的自變量函數(shù) ( )y x，使泛函，使泛函 ( )J y x 具有極值（極小或極大），這種泛函的極小值與極大具有極值（極小或極大），這種泛函的極小值與極大值統(tǒng)稱為值統(tǒng)稱為泛函的極值泛函的極值引入泛函的概念后，對(duì)于上述的最速降線問(wèn)題變?yōu)榉汉敕汉母拍詈?，?duì)于上述的最速降線問(wèn)題變?yōu)榉汉?( )J y x的極小值問(wèn)題物理學(xué)中常見(jiàn)的有光學(xué)的極小值問(wèn)題物理學(xué)中常見(jiàn)的有光學(xué)中的中的費(fèi)馬費(fèi)馬(Fermat)原理原理，分析力學(xué)中的，分析力學(xué)中的哈密頓哈密頓(Hamiton)原理原理等，都是泛函的極值問(wèn)題等，都是泛函的極值問(wèn)題 變分法變分法：所謂的變分法：所謂的變分法就是求泛函極值的方法

7、就是求泛函極值的方法()dbaFFJyyxyy 泛函表示為一個(gè)自變量，一個(gè)函數(shù)及其一階導(dǎo)數(shù)泛函表示為一個(gè)自變量，一個(gè)函數(shù)及其一階導(dǎo)數(shù)的積分形式的積分形式泛函表示為一個(gè)自變量，一個(gè)函數(shù)及其一階導(dǎo)數(shù)的積分形式，泛函表示為一個(gè)自變量，一個(gè)函數(shù)及其一階導(dǎo)數(shù)的積分形式， 即（即（17.1.2） ( )( , ,)baJ y xF x y y dx若考慮兩端固定邊界的泛函問(wèn)題若考慮兩端固定邊界的泛函問(wèn)題：積分是在區(qū)域內(nèi)通過(guò)兩點(diǎn)積分是在區(qū)域內(nèi)通過(guò)兩點(diǎn) 1122(,),(,)x yxy的任意曲線進(jìn)行的，其中的任意曲線進(jìn)行的，其中 12,xa xb泛函中泛函中 y為為( , )( )( )y xy xx由于由于

8、兩端固定兩端固定，所以要求，所以要求 ( )0, ( )0ab，即，即 |0,|0 x ax byy由由(17.1.8)，有，有 0 ( )( )|d ( )d( )d d dbabaJ y xxJFFxxxyyFFyyxyy（17.2.3） 式式(17.2.3)的積分號(hào)下既有的積分號(hào)下既有 y，又有，又有 y，對(duì)第二項(xiàng)，對(duì)第二項(xiàng)應(yīng)用分部積分法可使積分號(hào)下出現(xiàn)應(yīng)用分部積分法可使積分號(hào)下出現(xiàn)yd|()ddbbaaFFFJyy xyyxy(17.2.4)根據(jù)（根據(jù)（17.2.2）,所以所以 0|0JJd ,再根據(jù)再根據(jù)（17.2.4）故有故有d|()d0dbbaaFFFJyy xyyxy（17.2.5） 因?yàn)橐驗(yàn)?|0,|0 x ax byy并且并且 y是任意的，所以是任意的，所以 d()0dFFyxy (17.2.6) 上式上式(17.2.6)稱為稱為歐拉（歐拉（Euler）拉格朗日（）拉格朗日（Lagrange）方程，簡(jiǎn)稱為方程，簡(jiǎn)稱為E-L方程方程 21+ddd22BAtBBtAAysTtxgygy即為即為21+ ( )d2BAyT y xxgy212yFgy212yFgy不顯含不顯含 x，故其故其E-L方程為（方程為（17.2.7）式）式0221122yyFFyygycyygy令令 02cgc，故有，故有 221(1)yyc令令 121cc