181922 221　綜合法和分析法

1、2.2直接證明與間接證明綜合法和分析法學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.理解綜合法、分析法的意義，掌握綜合法、分析法的思維特點(diǎn)(重點(diǎn)、易混點(diǎn))2.會用綜合法、分析法解決問題(重點(diǎn)、難點(diǎn))自 主 預(yù) 習(xí)·探 新 知1綜合法定義推證過程特點(diǎn)利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等，經(jīng)過一系列的推理論證，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立，這種證明方法叫做綜合法(P表示已知條件、已有的定義、公理、定理等，Q表示所要證明的結(jié)論)順推證法或由因?qū)Ч?.分析法定義框圖表示特點(diǎn)一般地，從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個明顯成立的條件(已知條件、定理、定義、公理等)為止這

2、種證明方法叫做分析法.逆推證法或執(zhí)果索因法.思考1：綜合法與分析法的推理過程是合情推理還是演繹推理？提示綜合法與分析法的推理過程是演繹推理，因為綜合法與分析法的每一步推理都是嚴(yán)密的邏輯推理，從而得到的每一個結(jié)論都是正確的，不同于合情推理中的“猜想”思考2: 綜合法與分析法有什么區(qū)別？提示綜合法是從已知條件出發(fā)，逐步尋找的是必要條件，即由因?qū)Ч?；分析法是從待求結(jié)論出發(fā)，逐步尋找的是充分條件，即執(zhí)果索因基礎(chǔ)自測1思考辨析(1)綜合法是執(zhí)果索因的逆推證法()(2)分析法就是從結(jié)論推向已知()(3)所有證明的題目均可使用分析法證明()答案(1)×(2)×(3)×2命題“對

3、于任意角，cos4sin4cos 2”的證明：“cos4sin4(cos2sin2)(cos2sin2)cos2sin2cos 2”，其過程應(yīng)用了() 【導(dǎo)學(xué)號：48662070】A分析法B綜合法C綜合法、分析法綜合使用 D間接證法B從證明過程來看，是從已知條件入手，經(jīng)過推導(dǎo)得出結(jié)論，符合綜合法的證明思路3要證明A>B，若用作差比較法，只要證明_AB>0要證A>B，只要證AB>0.4將下面用分析法證明ab的步驟補(bǔ)充完整：要證ab，只需證a2b22ab，也就是證_，即證_，由于_顯然成立，因此原不等式成立a2b22ab0(ab)20(ab)20用分析法證明ab的步驟為：要

4、證ab成立，只需證a2b22ab，也就是證a2b22ab0，即證(ab)20.由于(ab)20顯然成立，所以原不等式成立合 作 探 究·攻 重 難綜合法的應(yīng)用(1)已知a，b是正數(shù)，且ab1，證明：4.(2)在ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對邊，且2asin A(2bc)sinB(2cb)sin C.求證：A的大小為；若sinBsin C，證明ABC為等邊三角形. 【導(dǎo)學(xué)號：48662071】證明(1)法一：因為a，b是正數(shù)且ab1，所以ab2，所以，所以4.法二：因為a，b是正數(shù)，所以ab2>0，2>0，所以(ab)4.又ab1，所以4.法三：11224.當(dāng)

5、且僅當(dāng)ab時，取“”號(2)由2asin A(2bc)sinB(2cb)sin C，得2a2(2bc)b(2cb)c，即bcb2c2a2，所以cos A，所以A.因為ABC180°，所以BC180°60°120°.由sinBsin C，得sinBsin( 120°B)，sinB(sin 120°cosBcos 120°sinB)，sinBcosB，即sin (B30°)1.因為0°<B<120°.所以30°<B30°<150°，所以B30&#

6、176;90°，B60°.所以ABC60°，即ABC為等邊三角形規(guī)律方法綜合法的解題步驟跟蹤訓(xùn)練1如圖2­2­1所示，在四棱錐P­ABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60°，PAABBC，E是PC的中點(diǎn)圖2­2­1(1)證明：CDAE；(2)證明：PD平面ABE.證明(1)在四棱錐P­ABCD中，PA底面ABCD，CD平面ABCD，PACD.ACCD，PAACA，CD平面PAC.而AE平面PAC，CDAE.(2)由PAABBC，ABC60°，可得ACPA.E是PC的

7、中點(diǎn)，AEPC.由(1)知，AECD，又PCCDC，AE平面PCD.而PD平面PCD，AEPD.PA底面ABCD，PD在底面ABCD內(nèi)的射影是AD.又ABAD，ABPD.又ABAEA，PD平面ABE.分析法的應(yīng)用設(shè)a，b為實(shí)數(shù)，求證：(ab). 【導(dǎo)學(xué)號：48662072】證明當(dāng)ab0時，0，(ab)成立當(dāng)ab0時，用分析法證明如下：要證(ab)，只需證()2.即證a2b2(a2b22ab)，即證a2b22ab.a2b22ab對一切實(shí)數(shù)恒成立，(ab)成立綜上所述，不等式得證規(guī)律方法用分析法證明不等式的三個關(guān)注點(diǎn)(1)分析法證明不等式的依據(jù)是不等式的基本性質(zhì)、基本不等式、已知的重要不等式等.(

8、2)分析法是綜合法的逆過程，即從“未知”看“需知”，執(zhí)果索因，逐步靠攏“已知”，其逐步推理，實(shí)際上是要尋找它的充分條件或充要條件.(3)分析法為逆推證明，因此在使用時要注意邏輯性與規(guī)范性.其格式一般為“要證，只要證，只需證，顯然成立，所以成立”.跟蹤訓(xùn)練2已知a，b是正實(shí)數(shù)，求證：. 【導(dǎo)學(xué)號：48662073】證明要證，只要證ab·()即證(ab)()()，因為a，b是正實(shí)數(shù)，即證ab，也就是要證ab2，即()20.而該式顯然成立，所以.綜合法和分析法的綜合應(yīng)用探究問題1在實(shí)際解題時，綜合法與分析法是否可以結(jié)合起來使用？提示：在實(shí)際解題時，常常把分析法和綜合法結(jié)合起來使用，即先利用

9、分析法尋找解題思路，再利用綜合法有條理地表述解答過程2你會用框圖表示綜合法與分析法交叉使用時的解題思路嗎？提示：用框圖表示如下：其中P表示已知條件、定義、定理、公理等，Q表示要證明的結(jié)論已知a、b、c是不全相等的正數(shù)，且0<x<1.求證：logxlogxlogx<logxalogxblogxc.思路探究：解答本題的關(guān)鍵是利用對數(shù)運(yùn)算法則和對數(shù)函數(shù)性質(zhì)轉(zhuǎn)化成整式不等式證明證明要證明：logxlogxlogx<logxalogxblogxc，只需要證明logx<logx(abc)由已知0<x<1，只需證明··>abc.由公式>

10、;0，>0，>0，又a，b，c是不全相等的正數(shù)，··>abc.即··>abc成立logxlogxlogx<logxalogxblogxc成立母題探究：1.(變條件)刪掉本例條件“0<x<1”，求證：lg lg lg lg algblg c.證明要證lg lg lg lg algblg c，只需證lglg(a·b·c)，即證··abc.因為a，b，c為不全相等的正數(shù)，所以0，0，0，且上述三式中等號不能同時成立，所以··abc成立，所以lg lg lg l

11、g algblg c成立2(變條件)把本例條件“0<x<1”換成“abc1”，求證：>.證明法一：由左式推證右式abc1，且a，b，c為互不相等的正數(shù)，bcacab>.>.法二：由右式推證左式a，b，c為互不相等的正數(shù)，且abc1，<(基本不等式).規(guī)律方法分析綜合法的解題思路分析綜合法的解題思路是：根據(jù)條件的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)去轉(zhuǎn)化結(jié)論，得到中間結(jié)論Q；根據(jù)結(jié)論的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)去轉(zhuǎn)化條件，得到中間結(jié)論P(yáng)；若由P可推出Q，即可得證.當(dāng) 堂 達(dá) 標(biāo)·固 雙 基1欲證<成立，只需證()A()2<()2B()2<()2C()2<()2D()2&l

12、t;()2C<0，<0，故<<()2<()2.2. 在ABC中，若sin Asin B<cos AcosB，則ABC一定是 () 【導(dǎo)學(xué)號：48662074】A直角三角形B銳角三角形C鈍角三角形 D等邊三角形C由sin AsinB<cos AcosB得cos(AB)cos C>0，所以cos C<0，即ABC一定是鈍角三角形3如果abab，則實(shí)數(shù)a，b應(yīng)滿足的條件是_ab且a0，b0ababaabba()b()(ab)()0()()20，只需ab且a，b都不小于零即可4設(shè)a0，b0，c0，若abc1，則的最小值為_9因為abc1，且a0，b0，c0，所以33222369.當(dāng)且僅當(dāng)abc時等號成立5設(shè)ab>0，求證：3a32b33a2b2ab2.(請用分析法和綜合法兩種方法證明) 【導(dǎo)學(xué)號：48662075】證明法一