勾股定理知識(shí)點(diǎn)及練習(xí)

1、勾股定理知識(shí)總結(jié) 一：勾股定理直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方。（即：a2+b2c2）要點(diǎn)詮釋：勾股定理反映了直角三角形三邊之間的關(guān)系，是直角三角形的重要性質(zhì)之一，其主要應(yīng)用：（1）已知直角三角形的兩邊求第三邊（2）已知直角三角形的一邊與另兩邊的關(guān)系，求直角三角形的另兩邊（3）利用勾股定理可以證明線段平方關(guān)系的問(wèn)題二：勾股定理的逆定理如果三角形的三邊長(zhǎng)：a、b、c，則有關(guān)系a2+b2c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形。要點(diǎn)詮釋：用勾股定理的逆定理判定一個(gè)三角形是否是直角三角形應(yīng)注意：（1）首先確定最長(zhǎng)邊，不妨設(shè)最長(zhǎng)邊長(zhǎng)為：c；（2）驗(yàn)證c2與a2+b2是否具有相等關(guān)系，若c2a2

2、+b2，則ABC是以C為直角的直角三角形（若c2>a2+b2，則ABC是以C為鈍角的鈍角三角形；若c2<a2+b2，則ABC為銳角三角形）。三：勾股定理與勾股定理逆定理的區(qū)別與聯(lián)系區(qū)別：勾股定理是直角三角形的性質(zhì)定理，而其逆定理是判定定理；聯(lián)系：勾股定理與其逆定理的題設(shè)和結(jié)論正好相反，都與直角三角形有關(guān)。四：互逆命題的概念我們把題設(shè)、結(jié)論正好相反的兩個(gè)命題叫做互逆命題。如果把其中一個(gè)叫做原命題，那么另一個(gè)叫做它的逆命題。（例：勾股定理與勾股定理逆定理）規(guī)律方法指導(dǎo) 1勾股定理的證明實(shí)際采用的是圖形面積與代數(shù)恒等式的關(guān)系相互轉(zhuǎn)化證明的。 2勾股定理反映的是直角三角形的三邊的數(shù)量關(guān)系，

3、可以用于解決求解直角三角形邊邊關(guān)系的題目。 3勾股定理在應(yīng)用時(shí)一定要注意弄清誰(shuí)是斜邊誰(shuí)直角邊，這是這個(gè)知識(shí)在應(yīng)用過(guò)程中易犯的主要錯(cuò)誤。 4. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三條邊長(zhǎng)a，b，c（c是最長(zhǎng)邊）有下列關(guān)系：a2+b2c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形；該逆定理給出判定一個(gè)三角形是否是直角三角形的判定方法 5.應(yīng)用勾股定理的逆定理判定一個(gè)三角形是不是直角三角形的過(guò)程主要是進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算，通過(guò)學(xué)習(xí)加深對(duì)“數(shù)形結(jié)合”的理解類題總結(jié)類型一：等面積法求高（直角三角形的面積=兩直角邊乘積的二分之一（或斜邊與斜邊上高的乘積的二分之一）共4頁(yè)，第1頁(yè)?！纠}】如右圖，ABC中，ACB=900，AC=7，

4、BC=24，CDAB于D。（1）求AB的長(zhǎng)；（2）求CD的長(zhǎng)。類型二：面積問(wèn)題【例題】如圖1，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的邊長(zhǎng)為7cm,則正方形A，B，C，D的面積之和為_(kāi)cm2。ABCD7cmmmmmmmm圖4圖3圖2圖1【練習(xí)1】如圖2，每個(gè)小方格都是邊長(zhǎng)為1的正方形，（1）求圖中格點(diǎn)四邊形ABCD的面積和周長(zhǎng)。 （2）求ADC的度數(shù)?！揪毩?xí)2】如圖3，四邊形是正方形，且=3cm，=4cm，陰影部分的面積是 .【練習(xí)3】如圖4，字母B所代表的正方形的面積是( ) A.12 B.13 C.144 D.194類型三：距離最短問(wèn)題BCDLA【例題】 如右

5、圖，A、B兩個(gè)小集鎮(zhèn)在河流CD的同側(cè)，分別到河的距離為AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，現(xiàn)在要在河邊建一自來(lái)水廠，向A、B兩鎮(zhèn)供水，鋪設(shè)水管的費(fèi)用為每千米3萬(wàn)，請(qǐng)你在河流CD上選擇水廠的位置M，使鋪設(shè)水管的費(fèi)用最節(jié)省，并求出總費(fèi)用是多少？【練習(xí)1】如圖，一圓柱體的底面周長(zhǎng)為20cm，高為4cm，是上底面的直徑一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)，沿著圓柱的側(cè)面爬行到點(diǎn)C，試求出爬行的最短路程 【練習(xí)2】如圖，一個(gè)牧童在小河的南4km的A處牧馬，而他正位于他的小屋B的西8km北7km處，他想把他的馬牽到小河邊去飲水，然后回家.他要完成這件事情所走的最短路程是多少？小河AB東北牧童小屋類型四：判斷三

6、角形的形狀【例題】如果ABC的三邊分別為a、b、c，且滿足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判斷ABC的形狀?！揪毩?xí)1】已知ABC的三邊分別為m2n2,2mn,m2+n2(m,n為正整數(shù),且mn),判斷ABC是否為直角三角形.【練習(xí)3】.已知a，b，c為ABC三邊，且滿足(a2b2)(a2+b2c2)0，則它的形狀為（）三角形。 A.直角 B.等腰 C.等腰直角 D.等腰或直角【練習(xí)4】三角形的三邊長(zhǎng)為,則這個(gè)三角形是( ) 三角形共4頁(yè)，第2頁(yè)。（A）等邊 （B）鈍角 （C）直角 （D）銳角類型五：直接考查勾股定理【例題】在RtABC中，C=90°(1)已知a=6， c=

7、10，求b；(2)已知a=40，b=9，求c；(3)已知c=25，b=15，求a.。【練習(xí)】:如圖B=ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,則AB的長(zhǎng)是多少?類型六：構(gòu)造應(yīng)用勾股定理【例題】如圖，已知：在中，. 求：BC的長(zhǎng). 【練習(xí)】四邊形ABCD中，B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四邊形ABCD的面積。 類型七：利用勾股定理作長(zhǎng)為的線段例1在數(shù)軸上表示的點(diǎn)。作法：如圖所示在數(shù)軸上找到A點(diǎn)，使OA=3，作ACOA且截取AC=1，以O(shè)C為半徑，以O(shè)為圓心做弧，弧與數(shù)軸的交點(diǎn)B即為。 【練習(xí)】在數(shù)軸上表示的點(diǎn)。類型八：勾股定理及其逆定

8、理的一般用法【例題】若直角三角形兩直角邊的比是3：4，斜邊長(zhǎng)是20，求此直角三角形的面積。【練習(xí)1】等邊三角形的邊長(zhǎng)為2，求它的面積。【練習(xí)2】以下列各組數(shù)為邊長(zhǎng)，能組成直角三角形的是（ ） A、8，15，17 B、4，5，6 C、5，8，10 D、8，39，40類型九：生活問(wèn)題【例題】如圖5，在高2米，坡角為30°的樓梯表面鋪地毯，地毯的長(zhǎng)至少需_米 【練習(xí)1】種盛飲料的圓柱形杯（如圖6），測(cè)得內(nèi)部底面半徑為2.5，高為12，吸管放進(jìn)杯里，杯口外面至少要露出4.6，問(wèn)吸管要做 ?！揪毩?xí)2】如圖7學(xué)校有一塊長(zhǎng)方形花園，有極少數(shù)人為了避開(kāi)拐角而走“捷徑”，在花園內(nèi)走出了一條“路”。他們

9、僅僅少走了 步路（假設(shè)2步為1m），卻踩傷了花草。 【練習(xí)3】如圖8，校園內(nèi)有兩棵樹(shù)，相距12米，一棵樹(shù)高13米，另一棵樹(shù)高8米，一只小鳥(niǎo)從一棵樹(shù)的頂端飛到另一棵樹(shù)的頂端，小鳥(niǎo)至少要飛 米.圖6圖5圖8圖7類型十：翻折問(wèn)題【例題】如圖，有一個(gè)直角三角形紙片，兩直角邊AC=6cm，BC=8cm，現(xiàn)將直角邊AC沿直線AD折疊，使它落在斜邊AB上，且與AE重合，你能求出CD的長(zhǎng)嗎？共4頁(yè)，第3頁(yè)?！揪毩?xí)1】如圖所示，折疊矩形的一邊AD，使點(diǎn)D落在BC邊的點(diǎn)F處，已知AB=8cm，BC=10cm，求EF的長(zhǎng)。 【練習(xí)2】如圖，ABC中，C=90°，AB垂直平分線交BC于D若BC=8，AD=5

10、，求AC的長(zhǎng)。 勾股定理練習(xí)一、填空題：1. 在RtABC中，C=90°（1）若a=5，b=12，則c=_；（2）b=8，c=17，則SABC=_。2.若一個(gè)三角形的三邊之比為51213，則這個(gè)三角形是_ （按角分類）。3. 直角三角形的三邊長(zhǎng)為連續(xù)自然數(shù)，則其周長(zhǎng)為_(kāi)。4傳說(shuō),古埃及人曾用拉繩”的方法畫直角,現(xiàn)有一根長(zhǎng)24厘米的繩子,請(qǐng)你利用它拉出一個(gè)周長(zhǎng)為24厘米的直角三角形,那么你拉出的直角三角形三邊的長(zhǎng)度分別為_(kāi)厘米,_厘米,_厘米,其中的道理是_ _ _.5.命題“對(duì)頂角相等”的逆命題為_(kāi),它是_命題.(填“真”或“假”)6觀察下列各式：32+42=52；82+62=102

11、；152+82=172；242+102=262；你發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律是 ，請(qǐng)用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律寫出接下來(lái)的式子： 。AB第8題圖7利用四個(gè)全等的直角三角形可以拼成如圖所示的圖形，這個(gè)圖形被稱為弦圖(最早由三國(guó)時(shí)期的數(shù)學(xué)家趙爽給出的)從圖中可以看到：大正方形面積小正方形面積四個(gè)直角三角形面積 因而c2 ,化簡(jiǎn)后即為c2 abc8 一只螞蟻從長(zhǎng)、寬都是3，高是8的長(zhǎng)方體紙箱的A點(diǎn)沿紙箱爬到B點(diǎn)，那么它所行的最短路線的長(zhǎng)是_。二、選擇題：A644 9觀察下列幾組數(shù)據(jù):(1) 8, 15, 17; (2) 7, 12, 15; (3)12, 15, 20; (4) 7, 24, 25. 其中能作為直角三角形的

12、三邊長(zhǎng)的有( )組 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10三個(gè)正方形的面積如圖，正方形A的邊長(zhǎng)為（ ）100A. 6 B.36 C. 64 D. 8 11.已知直角三角形的兩條邊長(zhǎng)分別是5和12，則第三邊為 （）或不能確定 12.下列命題如果a、b、c為一組勾股數(shù)，那么4a、4b、4c仍是勾股數(shù)；如果直角三角形的兩邊是5、12，那么斜邊必是13；如果一個(gè)三角形的三邊是12、25、21，那么此三角形必是直角三角形；一個(gè)等腰直角三角形的三邊是a、b、c，（a>b=c），那么a2b2c2=211。其中正確的是（） A、B、C、D、 13.三角形的三邊長(zhǎng)為（a+b）2=c2+2ab,則這個(gè)

13、三角形是( ) A. 等邊三角形; B. 鈍角三角形; C. 直角三角形; D. 銳角三角形. 14.如圖一輪船以16海里/時(shí)的速度從港口A出發(fā)向東北方向航行，另一輪船以12海里/時(shí)的速度同時(shí)從港口A出發(fā)向東南方向航行，離開(kāi)港口2小時(shí)后，則兩船相距 （） A、25海里B、30海里C、35海里D、40海里 15. 已知等腰三角形的腰長(zhǎng)為10，一腰上的高為6，則以底邊為邊長(zhǎng)的正方形的面積為（） A、40B、80C、40或360D、80或360 16某市在舊城改造中，計(jì)劃在市內(nèi)一塊如圖所示的三角形空地上種植草皮以美化環(huán)境，已知這種草皮每平方米售價(jià)a元，則購(gòu)買這種草皮至少需要（）北南A東第14題圖 A

14、、450a元B、225a 元C、150a元 D、300a元150°20m30m第16題圖 圖9 17如圖9，在單位正方形組成的網(wǎng)格圖中標(biāo)有AB、CD、EF、GH四條線段，其中能構(gòu)成一個(gè)直角三角形三邊的線段是（ ）（A）CD、EF、GH （B）AB、EF、GH （C）AB、CD、GH（D）AB、CD、EF三解答題：18.(1)在數(shù)軸上作出表示 的 點(diǎn). 共4頁(yè)，第4頁(yè)。(2)在第(1)的基礎(chǔ)上分別作出表示 1-和 +1的點(diǎn). 19有一個(gè)小朋友拿著一根竹竿要通過(guò)一個(gè)長(zhǎng)方形的門，如果把竹竿豎放就比門高出1尺，斜放就恰好等于門的對(duì)角線長(zhǎng)，已知門寬4尺，求竹竿高與門高。 AABABOA第20題圖 20一架方梯長(zhǎng)25米，如圖，斜靠在一面墻上，梯子底端離墻7米