181923 231 雙曲線的標準方程

1、2.3雙曲線2.3.1雙曲線的標準方程學習目標：1.了解雙曲線標準方程的推導過程(難點)2.了解雙曲線的標準方程，能求雙曲線的標準方程(重點、難點)3.能用雙曲線的標準方程處理簡單的實際問題(難點)自 主 預 習·探 新 知教材整理雙曲線的標準方程閱讀教材P39P40例1以上部分，完成下列問題標準方程1(a>0，b>0)1(a>0，b>0)焦點的位置焦點在x軸上焦點在y軸上圖形焦點坐標F1(c,0)，F(xiàn)2(c,0)F1(0，c)，F(xiàn)2(0，c)a，b，c之間的關系c2a2b2判斷(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1)在雙曲線標準方程1中，a0，b0且

2、ab.()(2)在雙曲線標準方程中，a，b和焦點F2(c,0)滿足a2b2c2.()(3)雙曲線y2x21的焦點坐標在y軸上()(4)在雙曲線1中，焦點坐標為(±5,0)()解析(1)方程1中，a>0，b>0.ab時也是雙曲線，故不正確；(2)在雙曲線標準方程中，都有a2b2c2.故不正確(3)根據(jù)標準方程特點，正確(4)在1中，c，所以焦點坐標為(0，±)答案(1)×(2)×(3)(4)×合 作 探 究·攻 重 難求雙曲線標準方程根據(jù)下列條件，求雙曲線的標準方程(1)經過點P，Q；(2)c，經過點(5,2)，焦點在x軸上

3、. 【導學號：71392073】精彩點撥解答(1)可分情況設出雙曲線的標準方程，再構造關于a，b，c的方程組求解，從而得出雙曲線的標準方程也可以設雙曲線方程為mx2ny21(mn<0)的形式，將兩點代入，簡化運算過程解答(2)利用待定系數(shù)法自主解答(1)法一：若焦點在x軸上，設雙曲線的方程為1(a>0，b>0)，點P和Q在雙曲線上，解得(舍去)若焦點在y軸上，設雙曲線的方程為1(a>0，b>0)，將P，Q兩點坐標代入可得解得雙曲線的標準方程為1.法二：設雙曲線方程為mx2ny21(mn<0)P，Q兩點在雙曲線上，解得所求雙曲線的標準方程為1.(2)法一：依題

4、意可設雙曲線方程為1(a>0，b>0)依題設有解得所求雙曲線的標準方程為y21.法二：焦點在x軸上，c，設所求雙曲線方程為1(其中0<<6)雙曲線經過點(5,2)，1，5或30(舍去)所求雙曲線的標準方程是y21.名師指津1用待定系數(shù)法求雙曲線方程的一般步驟2求雙曲線標準方程的兩個關注點(1)定位：“定位”是指確定與坐標系的相對位置，在“標準方程”的前提下，確定焦點位于哪條坐標軸上，以判斷方程的形式；(2)定量：“定量”是指確定a2，b2的具體數(shù)值，常根據(jù)條件列方程求解再練一題1已知雙曲線與橢圓1有共同的焦點，且過點(，4)，求雙曲線的方程解橢圓1的焦點坐標為F1(0，

5、3)，F(xiàn)2(0，3)，故可設雙曲線的方程為1.由題意，知解得故雙曲線的方程為1.雙曲線標準方程的討論(1)如果方程1表示雙曲線，則實數(shù)m的取值范圍是_(2) “ab<0”是“方程ax2by2c表示雙曲線”的_條件(填“必要不充分”、“充分不必要”、“充要”和“既不充分也不必要”)(3)若方程1表示焦點在y軸上的雙曲線，求實數(shù)m的取值范圍. 【導學號：71392074】精彩點撥根據(jù)雙曲線標準方程的特征列不等式組求解自主解答(1)由題意知(2m)(1m)0，解得2m1.故m的取值范圍是(2，1)(2)若ax2by2c表示雙曲線，即1表示雙曲線，則<0，這就是說“ab<0”是必要條

6、件，然而若ab<0，c等于0時不表示雙曲線，即“ab<0”不是充分條件答案(1)(2，1)(2)必要不充分(3)由方程1表示焦點在y軸上的雙曲線，得解得m>5.所以實數(shù)m的取值范圍是(5，)名師指津方程表示雙曲線的條件及參數(shù)范圍的求法(1)對于方程1，當mn0時表示雙曲線.進一步，當m0，n0時表示焦點在x軸上的雙曲線；當m0，n0時表示焦點在y軸上的雙曲線.(2)對于方程1，則當mn0時表示雙曲線.且當m0，n0時表示焦點在x軸上的雙曲線；當m0，n0時表示焦點在y軸上的雙曲線.(3)已知方程所代表的曲線，求參數(shù)的取值范圍時，應先將方程轉化為所對應曲線的標準方程的形式，再根

7、據(jù)方程中參數(shù)取值的要求，建立不等式(組)求解參數(shù)的取值范圍.再練一題2討論1表示何種圓錐曲線？它們有何共同特征？解由于k9，k25，則k的取值范圍為k<9,9<k<25，k>25，分別進行討論(1)當k<9時，25k>0,9k>0，所給方程表示橢圓，此時，a225k，b29k，a2b216，這些橢圓有共同的焦點(4,0)，(4,0)(2)當9<k<25時，25k>0,9k<0，所給方程表示雙曲線，此時，a225k，b2k9，c2a2b216，這些雙曲線也有共同的焦點(4,0)，(4,0)(3)當k>25時，所給方程沒有軌跡

8、.雙曲線中的焦點三角形探究問題1雙曲線上一點M與雙曲線的兩個焦點F1，F(xiàn)2構成的三角形稱為焦點三角形，其中MF1，MF2，F(xiàn)1F2為三角形的三邊，在焦點三角形中，常用的關系式有哪些？提示焦點三角形中，常用的關系式有：(1)MF1MF2±2a；(2)SMF1·MF2·sinF1MF2；(3)F1FMFMF2MF1·MF2·cosF1MF2.2在雙曲線的焦點三角形中，如何確定它的面積？隨著F1PF2的變化，F(xiàn)1PF2的面積將怎樣變化？提示由公式SPF1·PF2sinF1PF2，cosF1PF21，PF1·PF2.從而得S(F1P

9、F2)0<<，0<<，在內，是單調遞減的，當增大時，S減小設F1，F(xiàn)2為雙曲線1的兩個焦點，點P在雙曲線上且滿足F1PF290°，求F1PF2的周長及F1PF2的面積. 【導學號：71392075】精彩點撥由雙曲線定義、勾股定理建立方程組，求出PF1與PF2的長，或利用整體代入法先求PF1PF2與PF1·PF2，再求周長與面積自主解答法一：點P在雙曲線1上，|PF1PF2|4，F(xiàn)1F24.又F1PF290°，F(xiàn)1PF2為直角三角形，PFPFF1F32.列方程組解得或F1PF2的周長為PF1PF2F1F244，F(xiàn)1PF2的面積為PF1

10、3;PF2(22)(22)4.法二：同解法一得|PF1PF2|4，F(xiàn)1F24，PFPF32.(|PF1PF2|)2PFPF2PF1·PF2，即16322PF1·PF2，PF1·PF28.(PF1PF2)2PFPF2PF1·PF2321648，PF1PF24.F1PF2的周長為PF1PF2F1F244，F(xiàn)1PF2的面積為PF1·PF2×84.名師指津在雙曲線的焦點三角形中，正弦定理、余弦定理、雙曲線的定義等是經常使用的知識點，另外，還經常結合PF1PF2±2a，運用平方的方法，建立它與PF1·PF2的聯(lián)系，體現(xiàn)了數(shù)學

11、中的一種整體思想.再練一題3已知F1，F(xiàn)2為雙曲線C：x2y22的左、右焦點，點P在C上，PF12PF2，則cosF1PF2_.解析由雙曲線方程得a，b，則c2.因為PF1PF22，且PF12PF2，所以PF14，PF22，而F1F24，在PF1F2中，由余弦定理得cosF1PF2.答案當 堂 達 標·固 雙 基1若kR，方程1表示雙曲線，則k的取值范圍是_解析據(jù)題意知(k3)(k2)0，解得3k2.答案(3，2)2平面內有兩個定點F1(5,0)和F2(5,0)，動點P滿足|PF1PF2|6，則動點P的軌跡方程是_解析由條件可知，雙曲線焦點在x軸上，且a3，c5，則b2c2a216，所以動點P的軌跡方程為1.答案13已知橢圓1與雙曲線1有相同的焦點，則實數(shù)a_.解析由條件可得4a2a2，解得a1.答案14雙曲線8kx2ky28的一個焦點為(0,3)，則實數(shù)k的值為_解析方程可化為1.由條件可知9，解得k1.答案15根據(jù)下列條件，求雙曲線的標準方程(1)以橢圓1的焦點為頂點，頂點為焦點；(2)與雙曲線1有相同的焦點，且