反比例函數(shù)拓展應用(共12頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上名思教育個性化輔導教案ggggggggggggangganggang綱 學生: 教師: 班主任: 日期: 時段: 課題 反比例函數(shù)的拓展應用教學目標1. 深入理解反比例函數(shù)的相關性質(zhì)2. 能夠運用反比例函數(shù)解決實際問題 重難點透視1. 反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)2. 反比例函數(shù)的綜合應用 知識點剖析序號知識點預估時間掌握情況 1 2 3 4 5 教學內(nèi)容內(nèi)容講解 1反比例函數(shù)：一般地，如果兩個變量x、y之間的關系可以表示成y=（k為常數(shù)，k0）的形式，那么稱y是x的反比例函數(shù) 2反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì) 利用畫函數(shù)圖象的方法，可以畫出反比例函數(shù)的圖象，它的圖象是雙曲線，反比

2、例函數(shù)y=具有如下的性質(zhì)當k>0時，函數(shù)的圖象在第一、三象限，在每個象限內(nèi)，曲線從左到右下降，也就是在每個象限內(nèi)，y隨x的增加是減小；當k<0時，函數(shù)的圖象在第二、四象限，在每個象限內(nèi)，曲線從左到右上升，也就是在每個象限內(nèi)，y隨x的增加而增大 3反比例函數(shù)的確定方法：由于在反比例函數(shù)關系式y(tǒng)=中，只有一個待定系數(shù)k，確定了k的值，也就確定了反比例函數(shù)因此，只需給出一組x、y的對應值或圖象上點的坐標，代入y=中即可求出k的值，從而確定反比例函數(shù)的關系式 4用待定系數(shù)法求與反比例函數(shù)關系式的一般步驟是： 設所求的反比例函數(shù)為：y=（k0）；根據(jù)已知條件（自變量與函數(shù)的對應值）列出含k的

3、方程；由代入法解待定系數(shù)k的值；把k值代入函數(shù)關系式y(tǒng)=中 例題剖析 例1 如果函數(shù)y=k 的圖象是雙曲線，且在第二、四象限，那么k的值是多少？ 分析：若函數(shù)的圖象是雙曲線，則此函數(shù)為反比例函數(shù)y=，且k0，若圖象在第二、四象限，則k<0，故可求出k的值 解：由反比例函數(shù)定義，得 所以k=-1，這時函數(shù)為y=- 評注：函數(shù)y=kxm反比例函數(shù)，則m=-1，k0；若y=是反比例函數(shù)，則m=1，k0 例2 函數(shù)y=kx和y=（k<0）在同一坐標系中的圖象是（ ） 分析：對于y=kx來說，當k>0時，圖象經(jīng)過一、三象限，當k<0時，圖象經(jīng)過二、四象限；對于y=來說，當k>

4、;0時，圖象在一、三象限，當k<0時，圖象在二、四象限，所以應選（C） 解：（C） 評注：由于兩個函數(shù)中的k是相同的，所以可以把k分為兩類進行討論，當k>0時的圖象是什么？當k<0時的圖象是什么？ 例3 如圖，正比例函數(shù)y=3x的圖象與反比例函數(shù)y=（k>0）的圖象交于點A，若取k為1，2，3，20，對應的RtAOB的面積分別為S1，S2，S20，則S1+S2+S20=_ 分析：因為過正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的交點作x軸的垂線，x軸，正比例函數(shù)與垂線所圍成的RtAOB的面積是k的一半 解：105 評注：若k取大于0的自然數(shù)1，2，3，n，則對應的RtAOB的面積分別為S1

5、，S2，S3Sn，則S1+S2+S3+Sn= 例4 正比例函數(shù)y=-x與反比例函數(shù)y=-的圖象相交于A、C兩點，ABx軸于B，CDx軸于D（如圖），則四邊形ABCD的面積為_ 分析：易知四邊形ABCD是一平行四邊形，故可知其面積為S的4倍，為一常數(shù) 解：函數(shù)y=x與y=的圖象交點A、C的坐標分別為（1，1），（-1，-1），所以AOB的面積等于，根據(jù)反比例函數(shù)的圖象是中心對稱圖形，得平行四邊形ABCD的面積為2 評注：理解反比例函數(shù)中的不變量k的幾何意義是解題的關鍵 例5 兩個反比例函數(shù)y=，y=在第一象限內(nèi)的圖象如圖所示，點P1，P2，P3，P2005在反比例函數(shù)y=圖象上，它們的橫坐標分別

6、是x1，x2，x3，x2005，縱坐標分別是1，3，5，共2005個連續(xù)奇數(shù)，過點P1，P2，P3，P2005分別作y軸的平行線，與y=的圖象交點依次是Q1（x1，y1），Q2（x2，y2），Q3（x3，y3），Q2005（x2005，y2005），則y2005=_分析：解題關鍵是抓住點P1，P2，P3，P2005與點P1，P2，P3，P2005的橫坐標相同 解：當點P1，P2，P3，P2005在函數(shù)y=的圖象上，它們的縱坐標分別取1，3，5，4009時相應的橫坐標分別為，Q1（x1，y1），Q2（x2，y2），Q3（x3，y3），Q2005（x2005，y2005）在函數(shù)y=的圖象上，且這些

7、點的橫坐標分別與點P1，P2，P3，P2005的橫坐標相同，點Q2005橫坐標是所以點Q2005的縱坐標是y2005= 評注：本題以能力立意，一方面通過“數(shù)”與“形”的轉(zhuǎn)換考查了學生的數(shù)學表達能力，另一方面也考查了學生自主探索與合情推理等能力此類題背景較新穎，有時規(guī)律較隱蔽，而成為填空題中的“把關題”例6 反比例函數(shù)y=（k>0）在第一象限內(nèi)的圖像如圖所示，P為該圖像上任意一點，PQ垂直于x軸，垂足為Q設POQ的面積為S，那么S的值與k的值是否存在關系？若有關系，請寫出S與k之間的關系式；若沒有關系，請說明理由 分析：因為SPOQ=·OQ·PQ，若設P點坐標為P（x，

8、y），則OQ=x，PQ=y，又因為P點在第一象限，所以x>0，y>0，因此可以得到SPOQ=xy，而由y=可以得到xy=k，于是可以確定S與k的關系式 解：S與k之間的關系式為S=k， 設P點的坐標為P（x，y），則OQ=x，PQ=y 點P在第一象限內(nèi)，x>0，y>0， OQ=x，PQ=y SPOQ =·OQ·PQ=xy 又xy=k，SPOQ =k評注：反比例函數(shù)的系數(shù)k與過雙曲線上的點作x軸、y軸的垂線所圍成的矩形的面積之間的關系在解題中作用很大，要熟練掌握 例7 如圖所示，已知反比例函數(shù)y=的圖像與一次函數(shù)y=kx+4的圖像相交于P、Q兩點，并且

9、P點的縱坐標是6 （1）求這個一次函數(shù)的解析式；（2）求POQ的面積 分析：由已知條件P點的縱坐標是6，而點P在反比例函數(shù)y=上，可以求得P點的橫坐標為x=2，即P點坐標為（2，6） 又P點也在一次函數(shù)y=kx+4上，把點（2，6）代入即可求出一次函數(shù)的解析式，POQ的面積可以分成PON與QON兩部分，這兩部分的面積能通過P、Q兩點的坐標得到 解：（1）點P在反比例函數(shù)y=的圖像上，且其縱坐標為6 =6解得x=2，P（2，6） 又點P在函數(shù)y=kx+4的圖像上， 6=2k+4，解得k=1 所求一次函數(shù)的解析式為y=x+4（2）解方程組點Q的坐標為（-6，-2） 令y=0，代入y=x+4，解得x

10、=-4 函數(shù)y=x+4的圖像與x軸的交點是N（-4，0） PON和QON的公共邊ON=4，ON邊上的高分別為PA=6，QB=2 SPOQ =SPON +SQON =×4×6+×4×2=16 評注：本題涉及一次函數(shù)及反比例函數(shù)的圖像，識別圖形的形狀位置及交點是挖掘此類題目隱含條件的關鍵例8 為了預防流感，某學校對教室用藥熏消毒法進行消毒，已知藥物燃燒時，室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量y（毫克）與時間x（分鐘）成正比例，藥物燃燒后，y與x成反比例（如圖）觀測得藥物8分鐘燃畢，此時室內(nèi)空氣中每立方米的含藥量為6毫克，請根據(jù)題中提供的信息，解答下列問題： （1）藥物

11、燃燒時，y關于x的函數(shù)關系式為_，自變量x的取值范圍是_；藥物燃燒后y關于x的函數(shù)關系式為_ （2）研究表明，當空氣中的每立方米含藥量低于1.6毫克時，學生方可進教室，那么從消毒開始，至少需要經(jīng)過多少分鐘后，學生才能回到教室時，才能有效殺滅空氣中的病菌，那么此次消毒是否有效？為什么？ 分析：這是一道緊扣生活熱點的應用題，應引起同學們的重視，同時要學會看圖形 解：由圖知藥物燃燒時，函數(shù)為正比例函數(shù) 設y與x的解析式為y=kx（k0） 點（8，6）在直線上，6=8k，k=， y與x的解析式為y=x（0<x8） 藥物燃燒后函數(shù)為反比例函數(shù) 設y與x的解析式為y=（k0），點（8，6）在曲線上，

12、k=8×6=48 y與x的解析式為y=（x>8） （2）將x=1.6代入反比例函數(shù)解析式中 y=30（分鐘） 答：從消毒開始，至少要經(jīng)過30分鐘后學生才能回教室 （3）把y=3分別代入兩個函數(shù)解析式，解得x=4和x=16，而16-4=12>10 即空氣中每立方米的含藥量不低于3毫克的持續(xù)時間為12分鐘，這次消毒有效要善于從圖象中提取有效信息、從實際問題中構建出數(shù)學模型例9 某廠從2001年起開始投入技術改進資金，經(jīng)技術改進后，其產(chǎn)品的生產(chǎn)成本不斷降低，具體數(shù)據(jù)如下表：2001200220032004投入技改資金x（萬元）2.5 3 44.5產(chǎn)品成本y（萬元/件）7.2 6

13、4.5 4 （1）請你認真分析表中數(shù)據(jù)，從你所學習過的一次函數(shù)、二次函數(shù)和反比例函數(shù)中確定哪種函數(shù)能表示其變化規(guī)律，說明確定是這種函數(shù)而不是其他函數(shù)的理由，并求出它的解析式； （2）按照這種變化規(guī)律，若2005年已投入技改資金5萬元 預計生產(chǎn)成本每件比2004年降低多少萬元？ 如果打算在2005年把每件產(chǎn)品成本降低到3.2萬元，則還需投入技改資金多少萬元？（結(jié)果精確到0.01萬元）？ 分析：觀察表格發(fā)現(xiàn)“投入技改資金x”與“產(chǎn)品成本y”的積不變，故表中數(shù)據(jù)滿足反比例函數(shù)關系 解：（1）設其為一次函數(shù)，解析式為y=kx+b 當x=2.5時，y=7.2；當x=3時，y=6 一次函數(shù)解析式為y=-2

14、.4x+13.2 把x=4時，y=4.5代入此函數(shù)解析式 左邊右邊，其不是一次函數(shù) 同理，其也不是二次函數(shù) 設其為反比例函數(shù)，解析式為y= 當x=2.5時，y=7.2可得7.2=，得k=18 反比例函數(shù)為y= 驗證：當x=3時，y=6，符合反比例函數(shù) 同理可驗證： x=4時，y=4.5；x=4.5時，y=4成立 可用反比例函數(shù)y=表示其變化規(guī)律 （2）解：當x=5萬元時，y=3.6 4-3.6=0.4（萬元）， 生產(chǎn)成本每件比2004年降低0.4萬元 當y=3.2時，3.2=，得x=5.625， 5.625-5=0.6250.63（萬元） 還需投入0.63萬元 評注：這是一道滲透新課程理念的好

15、題它沒有直接給出函數(shù)的解析式，而是讓學生從表中獲取信息，來索取與其變化規(guī)律相合拍的函數(shù)，并付諸于具體實際的應用問題之力 例10 已知，如圖所示，正方形OABC的面積為9，點O為坐標原點，點A在x軸上，點C在y軸上，點B在函數(shù)y=（k>0，x>0）的圖像上，點P（m，n）是函數(shù)y=上的任意一點，過P作x軸、y軸的垂線，垂足分別為E、F，并設矩形OEPF和正方形OABC不重合的部分面積為S （1）求B點的坐標和k的值；（2）當S=時，求點P的坐標；（3）寫出S關于m的函數(shù)關系式 分析：把矩形面積用坐標表示，A、B坐標可求，S矩形OAGF可用含n的代數(shù)式表示，解題的關鍵是雙曲線關于y=x

16、對稱，符合題設條件的P點不惟一，故思考須周密 解：（1）依題意，設B點坐標為（x0，y0） 所以S正方形OABC=x0y0=9，x0=y0=3 即B（3，3），所以x0y0=k，k=9； （2）P（m，n）在y=上，S正方形OEP1F=mn=9，所以S矩形OAGF=3n，由已知可得S=9-3n=，解得n=，m=6，所以P1（6，）如圖（a）所示，同理可求得P2（，6） （3）如圖（b）所示，當0<m<3時，因為點P坐標為（m，n），所以S矩形OEGC=3m，S=S矩形OEPF-S矩形OEGC 所以S=9-3m（0<m<3） 如圖（c）所示，當m3時，因為P點坐標為（m，

17、n） 所以S矩形OAGF=3n，mn=9，n=，所以S=9-3n=9-評注：求兩個函數(shù)圖象的交點坐標，一般通過解這兩個函數(shù)解析式組成的方程組得到，求符合某種條件的點的坐標，需根據(jù)問題中的數(shù)量關系和幾何元素間的關系建立關于縱橫坐標的方程（組），解方程（組）便可求得有關點的坐標，對于幾何問題，還應注意圖形的分類討論 例11 三個反比例函數(shù)（1）y=；（2）y=；（3）y=在x軸上方的圖象如圖所示，由此推出k1，k2，k3的大小關系 分析：由圖象所在的象限可知：k1<0，k2>0，k3>0；在（2）（3）中，為了比較k與k的大小，可取x=a>0，作直線x=a，與兩圖象相交，找

18、到y(tǒng)=與y=的對應函數(shù)值b和c，由于k2=ab，k3=ac，而c>b>0，因而k3>k2>k1 解：k3>k2>k1 評注：比較反比例函數(shù)的系數(shù)k的大小一般先從圖象上去考慮，圖象在一、三象限的k值比圖象在二、四象限的k值大，同一個象限內(nèi)圖象在外部的k值比在內(nèi)部的k值大 例12 已知點（1，3）在函數(shù)y=（k>0）的圖象上，矩形ABCD的邊BC在x軸上，E是對角線BD的中點，函數(shù)y=（k>0）的圖象經(jīng)過A、E兩點，點E的橫坐標為m（1）求k的值；（2）求點C的橫坐標（用m表示）；（3）當ABD=45°時，求m的值 分析：由點P在反比例函數(shù)上，可以先求出k值，利用對稱性可以求出點C的坐標 解：（1）因為點（1，3）在函數(shù)y=（x>0）的圖象上， 所以3=，所以k=3； （2）因為點E在函數(shù)y=的圖象上，所以E點的縱坐標為所以點E的坐標為（m，），設B點的坐標為（b，0），所以A點的坐標為（b，） 因為A點在函數(shù)y=的圖象上，所以=，所以b=所以C點的橫坐標為OB+BC=b+2（m-b）=+2（m-）=+m=m； （3）當