向量在空間幾何中的應(yīng)用分析

1、向量在空間幾何中的應(yīng)用分析在舊教材中，立體幾何學(xué)生學(xué)習(xí)完后，學(xué)生雖然對(duì)空間圖形的有所認(rèn)知，學(xué)生也能夠畫出立體的圖形，但是對(duì)于立體幾何的證明題卻出現(xiàn)了不知道如何著手證明的問(wèn)題。特別是線線垂直，線面垂直。點(diǎn)到面的距離，線線、線面所成角，面面所成角等這些問(wèn)題，首先要作出它們的輔助線，而這也是學(xué)生最薄弱的一點(diǎn)。作為新課程改革，高中數(shù)學(xué)教材的一個(gè)顯著變化就是“向量”的引入。其目的也很明確：為空間圖形提供新的研究手段，即充分體現(xiàn)它們的工具性。但這種“工具性”只有在深刻理解的基礎(chǔ)上才能用好，特別是在空間問(wèn)題中的“三大角度”和“兩大基本距離”用向量法解答有著奇妙無(wú)窮的用途，而且不需要作輔助線。 把立體幾何中的

2、線面關(guān)系問(wèn)題及求角求距離問(wèn)題轉(zhuǎn)化為用向量解決，如何取向量或建立空間坐標(biāo)系，找到所論證的平行垂直等關(guān)系，所求的角和距離用向量怎樣來(lái)表達(dá)是問(wèn)題的關(guān)鍵立體幾何的計(jì)算和證明常常涉及到二大問(wèn)題：一是位置關(guān)系，二是距離問(wèn)題，這里比較多的主要是用向量證明，及計(jì)算。而如何用向量證明，計(jì)算距離、線面角及面面角等問(wèn)題，可以通過(guò)例題分析，典型高考例題對(duì)比分析例1.（2011四川理）（18）（本小題滿分12分）已知正方體ABCDA'B'C'D'的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)M是棱AA'的中點(diǎn)，點(diǎn)O是對(duì)角線BD'的中點(diǎn).（）求證：OM為異面直線AA'和BD'的公垂線；（）

3、求二面角MBC'B'的大小；（）求三棱錐MOBC的體積. 本小題主要考查異面直線、直線與平面垂直、二面角、正方體、三棱錐體積等基礎(chǔ)知識(shí)，并考查空間想象能力和邏輯推理能力，考查應(yīng)用向量知識(shí)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力。解法一：（1）連結(jié)AC，取AC中點(diǎn)K，則K為BD的中點(diǎn)，連結(jié)OK因?yàn)镸是棱AA的中點(diǎn)，點(diǎn)O是BD的中點(diǎn)所以AM所以MO由AAAK，得MOAA因?yàn)锳KBD,AKBB，所以AK平面BDDB所以AKBD所以MOBD又因?yàn)镺M是異面直線AA和BD都相交故OM為異面直線AA'和BD'的公垂線（2）取BB中點(diǎn)N，連結(jié)MN，則MN平面BCCB過(guò)點(diǎn)N作NHBC于H，連結(jié)MH則

4、由三垂線定理得BCMH從而,MHN為二面角M-BC-B的平面角MN=1,NH=Bnsin45°=在RtMNH中，tanMHN=故二面角M-BC-B的大小為arctan2(3)易知，SOBC=SOAD，且OBC和OAD都在平面BCDA內(nèi)點(diǎn)O到平面MAD距離hVM-OBC=VM-OAD=VO-MAD=SMADh=解法二：以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系D-xyz則A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),A(1,0,1),C(0,1,1),D(0,0,1)(1)因?yàn)辄c(diǎn)M是棱AA的中點(diǎn),點(diǎn)O是BD的中點(diǎn)所以M(1,0, ),O(,),=(0,0,1),=(-1,-1

5、,1) =0, +0=0所以O(shè)MAA,OMBD又因?yàn)镺M與異面直線AA和BD都相交故OM為異面直線AA'和BD'的公垂線. (2)設(shè)平面BMC'的一個(gè)法向量為=(x,y,z)=(0,-1,), (1,0,1) 即取z2,則x2,y1，從而=(2,1,2) 取平面BC'B'的一個(gè)法向量為(0,1,0)cos由圖可知，二面角M-BC'-B'的平面角為銳角故二面角M-BC'-B'的大小為arccos (3)易知，SOBCSBCD'A'設(shè)平面OBC的一個(gè)法向量為(x1,y1,z1) (1,1,1), (1,0,0)

6、 即取z11,得y11，從而(0,1,1)點(diǎn)M到平面OBC的距離dVMOBC【點(diǎn)評(píng)】方法1完全用的是幾何知識(shí)來(lái)解答，第一問(wèn)中要平移OM與AA'和BD'同時(shí)垂直，但是這樣平移對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)是難點(diǎn)。如果不平移，那么要證明OM與AA'和BD'分別垂直，往往在一個(gè)題目中不能直接證明兩條直線垂直，通常是證明其中一條直線與另外一條直線所在片面垂直，那么找出這個(gè)片面就成為難點(diǎn)了！第二問(wèn)中先要作輔助線，找出二面角，對(duì)于一般的學(xué)生也不容易方法2運(yùn)用向量方法求二面角，可以免去作輔助線，構(gòu)造三角形的繁瑣，把用向量法解空間幾何的方法體現(xiàn)得淋漓盡致，充分體現(xiàn)了向量法的簡(jiǎn)便靈活，使復(fù)雜的幾何

7、問(wèn)題具體數(shù)據(jù)化了，完善空間幾何的解題方法，例2.（2011江西理）20. （本小題滿分12分）如圖BCD與MCD都是邊長(zhǎng)為2的正三角形，平面MCD平面BCD，AB平面BCD，。（1） 求點(diǎn)A到平面MBC的距離；（2） 求平面ACM與平面BCD所成二面角的正弦值。解：取CD中點(diǎn)O，連OB，OM，則OBCD，OMCD，又平面平面,則MO平面.以O(shè)為原點(diǎn)，直線OC、BO、OM為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖.OB=OM=，則各點(diǎn)坐標(biāo)分別為O（0，0，0），C（1，0，0），M（0，0，），B（0，-，0），A（0，-，2），（1）設(shè)是平面MBC的法向量，則，由得；由得；取，則距離（2），.設(shè)平面ACM的法向量為，由得.解得，取.又平面BCD的法向量為，則設(shè)所求二面角為，則.【點(diǎn)評(píng)】向量方法作為溝通代數(shù)和幾何的工具在考察中越來(lái)越常見(jiàn)，此類方法的要點(diǎn)在于建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，便于計(jì)算，位置關(guān)系明確，以計(jì)算代替分析，起到簡(jiǎn)化的作用，但計(jì)算必須慎之又慎總