培優(yōu)專題7-分式的運算(共20頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上10、分式的運算【知識精讀】 1. 分式的乘除法法則 ； 當(dāng)分子、分母是多項式時，先進(jìn)行因式分解再約分。 2. 分式的加減法 （1）通分的根據(jù)是分式的基本性質(zhì)，且取各分式分母的最簡公分母。 求最簡公分母是通分的關(guān)鍵，它的法則是： 取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)； 凡出現(xiàn)的字母（或含有字母的式子）為底的冪的因式都要??； 相同字母（或含有字母的式子）的冪的因式取指數(shù)最高的。 （2）同分母的分式加減法法則 （3）異分母的分式加減法法則是先通分，變?yōu)橥帜傅姆质?，然后再加減。 3. 分式乘方的法則 （n為正整數(shù)） 4. 分式的運算是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，在分式方程，求代數(shù)式的值，

2、函數(shù)等方面有重要應(yīng)用。學(xué)習(xí)時應(yīng)注意以下幾個問題： （1）注意運算順序及解題步驟，把好符號關(guān)； （2）整式與分式的運算，根據(jù)題目特點，可將整式化為分母為“1”的分式； （3）運算中及時約分、化簡； （4）注意運算律的正確使用； （5）結(jié)果應(yīng)為最簡分式或整式。下面我們一起來學(xué)習(xí)分式的四則運算。【分類解析】 例1：計算的結(jié)果是（ ） A. B. C. D. 分析：原式 故選C 說明：先將分子、分母分解因式，再約分。 例2：已知，求的值。 分析：若先通分，計算就復(fù)雜了，我們可以用替換待求式中的“1”，將三個分式化成同分母，運算就簡單了。 解：原式 例3：已知：，求下式的值： 分析：本題先化簡，然后代入

3、求值?；啎r在每個括號內(nèi)通分，除號改乘號，除式的分子、分母顛倒過來，再約分、整理。最后將條件等式變形，用一個字母的代數(shù)式來表示另一個字母，帶入化簡后的式子求值。這是解決條件求值問題的一般方法。 解： 故原式 例4：已知a、b、c為實數(shù)，且，那么的值是多少？ 分析：已知條件是一個復(fù)雜的三元二次方程組，不容易求解，可取倒數(shù)，進(jìn)行簡化。 解：由已知條件得： 所以 即 又因為 所以 例5：化簡： 解一：原式 解二：原式 說明：解法一是一般方法，但遇到的問題是通分后分式加法的結(jié)果中分子是一個四次多項式，而它的分解需要拆、添項，比較麻煩；解法二則運用了乘法分配律，避免了上述問題。因此，解題時注意審題，仔細(xì)

4、觀察善于抓住題目的特征，選擇適當(dāng)?shù)姆椒ā?例1、計算： 解：原式 說明：分式運算時，若分子或分母是多項式，應(yīng)先因式分解。 例2、已知：，則_。 解： 說明：分式加減運算后，等式左右兩邊的分母相同，則其分子也必然相同，即可求出M。中考點撥： 例1：計算： 解一：原式 解二：原式 說明：在分式的運算過程中，乘法公式和因式分解的使用會簡化解題過程。此題兩種方法的繁簡程度一目了然。 例2：若，則的值等于（ ） A. B. C. D. 解：原式 故選A【實戰(zhàn)模擬】 1. 已知：，則的值等于（ ） A. B. C. D. 2. 已知，求的值。3. 計算：4. 若，試比較A與B的大小。 5. 已知：，求證：

5、?！驹囶}答案】 1. 解： 故選B 2. 解： 說明：此題反復(fù)運用了已知條件的變形，最終達(dá)到化簡求值的目的。 3. 解：原式 說明：本題逆用了分式加減法則對分式進(jìn)行拆分，簡化計算。 4. 解：設(shè)，則 5. 證明： ，即 又 均不為零 12、分式方程及其應(yīng)用【知識精讀】 1. 解分式方程的基本思想：把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程。 2. 解分式方程的一般步驟： （1）在方程的兩邊都乘以最簡公分母，約去分母，化成整式方程； （2）解這個整式方程； （3）驗根：把整式方程的根代入最簡公分母，看結(jié)果是否等于零，使最簡公分母等于零的根是原方程的增根，必須舍去，但對于含有字母系數(shù)的分式方程，一般不要求檢驗。 3

6、. 列分式方程解應(yīng)用題和列整式方程解應(yīng)用題步驟基本相同，但必須注意，要檢驗求得的解是否為原方程的根，以及是否符合題意。 下面我們來學(xué)習(xí)可化為一元一次方程的分式方程的解法及其應(yīng)用。【分類解析】 例1. 解方程： 分析：首先要確定各分式分母的最簡公分母，在方程兩邊乘這個公分母時不要漏乘，解完后記著要驗根 解：方程兩邊都乘以，得 例2. 解方程 分析：直接去分母，可能出現(xiàn)高次方程，給求解造成困難，觀察四個分式的分母發(fā)現(xiàn)的值相差1，而分子也有這個特點，因此，可將分母的值相差1的兩個分式結(jié)合，然后再通分，把原方程兩邊化為分子相等的兩個分式，利用分式的等值性質(zhì)求值。 解：原方程變形為： 方程兩邊通分，得

7、經(jīng)檢驗：原方程的根是 例3. 解方程： 分析：方程中的每個分式都相當(dāng)于一個假分?jǐn)?shù)，因此，可化為一個整數(shù)與一個簡單的分?jǐn)?shù)式之和。 解：由原方程得： 即 例4. 解方程： 分析：此題若用一般解法，則計算量較大。當(dāng)把分子、分母分解因式后，會發(fā)現(xiàn)分子與分母有相同的因式，于是可先約分。 解：原方程變形為： 約分，得 方程兩邊都乘以 注：分式方程命題中一般滲透不等式，恒等變形，因式分解等知識。因此要學(xué)會根據(jù)方程結(jié)構(gòu)特點，用特殊方法解分式方程。5、中考題解： 例1若解分式方程產(chǎn)生增根，則m的值是（ ） A. B. C. D. 分析：分式方程產(chǎn)生的增根，是使分母為零的未知數(shù)的值。由題意得增根是：化簡原方程為：

8、把代入解得，故選擇D。 例2. 甲、乙兩班同學(xué)參加“綠化祖國”活動，已知乙班每小時比甲班多種2棵樹，甲班種60棵所用的時間與乙班種66棵樹所用的時間相等，求甲、乙兩班每小時各種多少棵樹？ 分析：利用所用時間相等這一等量關(guān)系列出方程。 解：設(shè)甲班每小時種x棵樹，則乙班每小時種（x+2）棵樹， 由題意得： 答：甲班每小時種樹20棵，乙班每小時種樹22棵。 說明：在解分式方程應(yīng)用題時一定要檢驗方程的根。6、題型展示： 例1. 輪船在一次航行中順流航行80千米，逆流航行42千米，共用了7小時；在另一次航行中，用相同的時間，順流航行40千米，逆流航行70千米。求這艘輪船在靜水中的速度和水流速度 分析：在

9、航行問題中的等量關(guān)系是“船實際速度=水速+靜水速度”，有順?biāo)?、逆水，取水速正、?fù)值，兩次航行提供了兩個等量關(guān)系。 解：設(shè)船在靜水中的速度為x千米/小時，水流速度為y千米/小時 由題意，得 答：水流速度為3千米/小時，船在靜水中的速度為17千米/小時。 例2. m為何值時，關(guān)于x的方程會產(chǎn)生增根？ 解：方程兩邊都乘以，得 整理，得 說明：分式方程的增根，一定是使最簡公分母為零的根【實戰(zhàn)模擬】 1. 甲、乙兩地相距S千米，某人從甲地出發(fā)，以v千米/小時的速度步行，走了a小時后改乘汽車，又過b小時到達(dá)乙地，則汽車的速度（ ） A. B. C. D. 2. 如果關(guān)于x的方程 A. B. C. D. 3

10、 3. 解方程：4. 求x為何值時，代數(shù)式的值等于2？ 5. 甲、乙兩個工程隊共同完成一項工程，乙隊先單獨做1天后，再由兩隊合作2天就完成了全部工程。已知甲隊單獨完成工程所需的天數(shù)是乙隊單獨完成所需天數(shù)的，求甲、乙兩隊單獨完成各需多少天？【試題答案】 1. 由已知，此人步行的路程為av千米，所以乘車的路程為千米。 又已知乘車的時間為b小時，故汽車的速度為 2. 把方程兩邊都乘以 若方程有增根，則 3. （1）分析：方程左邊很特殊，從第二項起各分式的分母為兩因式之積，兩因式的值都相差1，且相鄰兩項的分母中都有相同的因式。因此，可利用裂項，即用“互為相反數(shù)的和為0”將原方程化簡 解：原方程可變?yōu)?

11、（2）分析：用因式分解（提公因式法）簡化解法 解： 因為其中的 經(jīng)檢驗：是原方程的根。 4. 解：由已知得 的值等于2。 5. 設(shè)：乙隊單獨完成所需天數(shù)x天，則甲隊單獨完成需天。 由題意，得 經(jīng)檢驗 答：甲、乙兩隊單獨完成分別需4天，6天。13、分式總復(fù)習(xí)【知識精讀】 【分類解析】1. 分式有意義的應(yīng)用 例1. 若，試判斷是否有意義。 分析：要判斷是否有意義，須看其分母是否為零，由條件中等式左邊因式分解，即可判斷與零的關(guān)系。 解： 即 或 中至少有一個無意義。 2. 結(jié)合換元法、配方法、拆項法、因式分解等方法簡化分式運算。 例2. 計算： 分析：如果先通分，分子運算量較大，觀察分子中含分母的項

12、與分母的關(guān)系，可采取“分離分式法”簡化計算。 解：原式 例3. 解方程： 分析：因為，所以最簡公分母為：，若采用去分母的通常方法，運算量較大。由于故可得如下解法。 解： 原方程變?yōu)?經(jīng)檢驗，是原方程的根。 3. 在代數(shù)求值中的應(yīng)用 例4. 已知與互為相反數(shù)，求代數(shù)式的值。 分析：要求代數(shù)式的值，則需通過已知條件求出a、b的值，又因為，利用非負(fù)數(shù)及相反w數(shù)的性質(zhì)可求出a、b的值。 解：由已知得，解得 原式 把代入得：原式 4. 用方程解決實際問題 例5. 一列火車從車站開出，預(yù)計行程450千米，當(dāng)它開出3小時后，因特殊任務(wù)多停一站，耽誤30分鐘，后來把速度提高了0.2倍，結(jié)果準(zhǔn)時到達(dá)目的地，求這

13、列火車的速度。 解：設(shè)這列火車的速度為x千米/時 根據(jù)題意，得 方程兩邊都乘以12x，得 解得 經(jīng)檢驗，是原方程的根 答：這列火車原來的速度為75千米/時。 5. 在數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)等學(xué)科的學(xué)習(xí)中，都會遇到有關(guān)公式的推導(dǎo)，公式的變形等問題。而公式的變形實質(zhì)上就是解含有字母系數(shù)的方程。 例6. 已知，試用含x的代數(shù)式表示y，并證明。 解：由，得 6、中考原題： 例1已知，則M_。 分析：通過分式加減運算等式左邊和右邊的分母相同，則其分子也必然相同，即可求出M。 解： 例2已知，那么代數(shù)式的值是_。 分析：先化簡所求分式，發(fā)現(xiàn)把看成整體代入即可求的結(jié)果。 解：原式 7、題型展示： 例1. 當(dāng)x取何

14、值時，式子有意義？當(dāng)x取什么數(shù)時，該式子值為零？ 解：由 得或 所以，當(dāng)和時，原分式有意義 由分子得 當(dāng)時，分母 當(dāng)時，分母，原分式無意義。 所以當(dāng)時，式子的值為零 例2. 求的值，其中。 分析：先化簡，再求值。 解：原式 【實戰(zhàn)模擬】1. 當(dāng)x取何值時，分式有意義？2. 有一根燒紅的鐵釘，質(zhì)量是m，溫度是，它放出熱量Q后，溫度降為多少？（鐵的比熱為c）3. 計算：4. 解方程：5. 要在規(guī)定的日期內(nèi)加工一批機(jī)器零件，如果甲單獨做，剛好在規(guī)定日期內(nèi)完成，乙單獨做則要超過3天。現(xiàn)在甲、乙兩人合作2天后，再由乙單獨做，正好按期完成。問規(guī)定日期是多少天？ 6. 已知，求的值。【試題答案】 1. 解：由題意得 解得且 當(dāng)且時，原式有意義 2. 解：設(shè)溫度降為t，由已知得： 答：溫度降為。 3. 分析：此題的解法要比將和后兩個分式直接通分計算簡便，它采用了逐步通分的方法。因此靈活運