范里安-微觀經(jīng)濟學現(xiàn)代觀點(第七版)-4效用(含習題解答)-東南大學-曹乾

1、Chapter 4: UtilityIn termediate Microec on omics:A Modern Approach （7 Edition）Hal R. Varia n（University of California at Berkeley）第4章:效用（含習題答案）中級微觀經(jīng)濟學：現(xiàn)代方法（第 7版）范里安著（加州大學伯克利）曹乾譯（東南大學 caoqianseu）簡短說明：翻譯此書的原因是教學的需要，當然也因為對現(xiàn)行中文版教材的不滿，我在美國流浪期間翻譯了此書的大部分。僅供教學和學習參考。4效用在維多利亞時代，哲學家和經(jīng)濟學家輕率地把“效用”作為衡量一個人總體福利（wel

2、l-being ）的指標。他們用效用數(shù)值衡量一個人的幸福程度。在這種思想下，自然可認 為消費者做出選擇的目的是最大化他們的效用，即，使他們盡可能地幸福。問題在于這些古典經(jīng)濟學家從未真正地闡述過怎樣衡量效用。我們應該如何量化不同選擇下的效用“數(shù)額” ？某人的效用與另外一人的效用相同嗎？額外一顆糖塊的效用是額外一 根胡蘿卜效用的兩倍，這句話到底是什么意思？效用是人們希望最大化的“東西”，這里的“東西”是指什么？因為這些概念上的問題，現(xiàn)代經(jīng)濟學家已經(jīng)拋棄了上述老套的觀點，即他們不再把效用看成幸福的衡量指標。取而代之的是，他們用 消費者偏好 （consumer preferences）重新 改寫了消費

3、者行為理論，效用僅僅被當作為一種描述偏述偏好的方法經(jīng)濟學家逐漸認識到，對于選擇行為而言，效用最要緊的事情是是否一個商品束比另 外一個商品束效用高，至于高多少并不重要。起初，偏好是用效用定義的：說一個商品束（xX2）比另外一個商品束（,丫2）更受偏好， 表示x商品束比y商品束效用更高。但現(xiàn)在我們的觀點正好反過來。 消費者的偏好是研究選 擇行為的最基本工具，效用只是描述偏好的一種方法。效用函數(shù)（utility function ）是對每個可能的消費束都賦予數(shù)值的一種方法，這種方法 要做到對于更受偏好的消費束，賦值更大。也就是說，消費束（xx2）比（yi,y2）更受偏好當且僅當前者的效用值要比后者大

4、：用符號表示，（x1,x2）f （y1,y2）當且僅當 u（X1,X2） u（y1,y2）-效用賦值的唯一重要性能是它是如何對商品束排序 排序的。效用函數(shù)的重要性就在于它將不 同商品束排了順序。兩個消費束效用值的差額有多大并不重要。由于強調(diào)排序，這種效用稱為序數(shù)效用 （ordinal utility ）。例如，在表4.1中，我們對三個商品束用三種方法賦予了效用值，在這些方法中，三個 商品束的排序是相同的。在本例中，消費者偏好A勝過B,偏好B勝過C。這三種方法（三種效用函數(shù)）都描述了相同的偏好，都是可行的，因為它們對A的賦值大于B的，對B的賦值大于C的。Bundlesu3f A |317 -1B

5、|2IO-2C1.0023表4.1:賦予效用值的不同方法由于重要的事情只是商品束的排列順序， 對商品束賦予效用值不可能只有一種方法。 如 果我們能找到賦予效用值的一種方法， 我們就能找到無數(shù)多方法。 如果口（公2）代表對商品 束（XX2）賦值的一種方法，那么將 U（XX2）乘以2 （或者乘以任何正數(shù)）就是另外一種賦值方法。將u(x1,x2)乘以2是單調(diào)變換(monotonic transformation )的一個例子。單調(diào)變換是將 一組數(shù)字轉換為另外一組數(shù)字的方法，這種方法要保留轉換前后數(shù)字的順序不變。通常用函數(shù)f (u)表示單調(diào)變換，它將每一個u的數(shù)值轉換為其他的數(shù)值f(u)，而且要保留數(shù)

6、字的順序，即 Ui > U2意味著f(Ui)> f(U2)。單調(diào)變換和單調(diào)函數(shù)是一回事。單調(diào)變換的例子有：乘以一個正數(shù)(例如f(u) = 3u ；加上任一常數(shù)(例如，f (u) = u + 17)；變?yōu)樽陨淼钠鏀?shù)次幕(例如，f (u) = u3)；等等此處的單調(diào)變換，嚴格地說，應稱為“正單調(diào)變換”，以便和“負單調(diào)變換”區(qū)分開。負單調(diào)變換使得變換后數(shù)字的順序與原順序相反!反。單調(diào)變換有時稱為“乏味的變換”，這似乎不公平，因為它們實際上很有趣。°f (u)隨u變化的變化率可以這樣衡量：先求f(u2)與f(uj的差，然后除以u2與u1的差，即：?f = f(u2)- f(uj?

7、uu2 - ui對于單調(diào)變換來說，上式右端的分子與分母同號。因此，單調(diào)函數(shù)總有正的變化率。這表明， 單調(diào)函數(shù)圖形的斜率總是正的，如圖4.1A所示。圖4.1:一個正單調(diào)變換。 A圖為單調(diào)函數(shù)，它是遞增的函數(shù)。B圖的函數(shù)不是單調(diào)的，因為它有時增有時減。如果f (u)是任何一個效用函數(shù) (代表某種特殊的偏好)的單調(diào)變換，那么f(u(xvx2)這個效用函數(shù)代表的偏好與上述偏好是相同的。為什么？論證過程可以用下面三句話表示：1. u(X1,X2)代表某種特殊的偏好，這句話的意思是：u(X1,X2) > u(%, y2)當且僅當 (X1,x2)f (%2)。2但是如果f(u)是單調(diào)變換，那么：u(X

8、!,X2)>u(y1, y2)當且僅當 f(u(X1,X2) > f (u(y1,y2)。3因此,f (u(X1,X2) > f (u(%,y2)當且僅當(X1,X2)f (%2)，因此f (u)代表的偏好與 原效用函數(shù)u(xX2)代表的偏好是一樣的。我們將以上的討論總結為下列原理：效用函數(shù)的單調(diào)變換是一個新的效用函數(shù)，它代表的偏好與原效用函數(shù)相同。在幾何圖形上， 效用函數(shù)是標記無差異曲線的一種方法。 因為位于同一條無差異曲線的 所有商品束必然有相同的效用， 所以可用效用函數(shù)為無差異曲線賦值， 使得位置更高的無差 異曲線，賦值應越大。從這個視角看，單調(diào)變換只是重新標記無差異曲

9、線的一種方法。 只要 將含有更受偏好商品束的無差異曲線標記更大的數(shù)值， 那么任何一種標記方法代表的偏好都 是相同的。4.1 基數(shù)效用有些效用理論認為效用大小很重要， 這樣的理論稱為 基數(shù)效用 (cardinal utility )理論。 基數(shù)效用理論認為，兩個商品束效用的差值大小多少有些意義。我們已知道， 如何判斷某人是否偏好某個商品束勝過另一個： 我們只要讓他在這兩個商 品束之間做出選擇即可。 這樣我們就知道如何對兩個商品束賦予序數(shù)效用值： 只要被選中的 商品束的賦值大于放棄的那個商品束即可。 任何這樣的賦值方法都是一個效用函數(shù)。 于是我 們就得到了一個便于操作的判斷標準， 用于判斷對某人來

10、說一個商品束的效用是否高于另一 個。但是， 我們?nèi)绾闻袛嗄橙讼矚g一個商品束的程度是否是另一個的兩倍？以你為例，你怎么判斷自己喜歡一個商品束的程度是否是另一個的兩倍？你可能提出幾種方法對上述情形進行賦值： 對于更喜歡的那個商品束我愿意支付兩 倍的價格； 我愿意跑兩倍的距離； 我愿意等待兩倍的時間； 我愿意以兩倍的輸贏機率為它下 注。上述方法都沒錯， 每種方法賦予的效用值有一定程度的可操作性。 但是這些方法也都不 對。盡管每種方法都能說明喜歡一個商品束的程度是另一個的兩倍這層意思， 但是每種方法 的說服力都不夠強大。即使我們找到了一種能對上述情形賦值的方法， 而且該方法很有說服力， 它對我們描述

11、選擇行為有什么好處？為了判斷是選擇這個還是那個商品束， 我們只要知道哪個商品束更受 偏好(具有較高的效用值)即可。知道這個商品束的效用值比那個大了多少，對于我們的分 析選擇行為毫無用處。 既然我們分析選擇行為時不需要基數(shù)效用， 而且也沒有好的方法對商 品束賦予基數(shù)效用值，我們堅持完全使用序數(shù)效用理論。4.2 構造一個效用函數(shù)但是， 我們真能找到賦予序數(shù)效用值的方法嗎？給定一個偏好排序關系，我們總能找到某個效用函數(shù)使得它對商品束的排序和上述偏好排序相同嗎？是否存在能刻畫任何合理偏 好排序的效用函數(shù)？不是所有的偏好都能用效用函數(shù)刻畫。例如，假設某人的偏好是非傳遞的，比如Af Bf C f A 。如

12、果某個效用函數(shù)能刻畫這個偏好關系， 那么它必然含有數(shù)值 u(A),u(B) 和u(C)使得u(A) > u(B) >u(C) >u(A)，但這是不可能的。然而， 只要我們?nèi)コ舴莻鬟f性偏好這樣的反例， 我們通常可以找到代表偏好的效用函 數(shù)。此處我們構造一個效用函數(shù)，在第 14 章我們將構造另外一個。假設我們有圖4.2所示的無差異曲線。我們知道，效用函數(shù)是標記無差異曲線的一種方 法，使得更高位置的無差異曲線賦值更大。我們?nèi)绾芜M行標記？一種簡便的方法是畫出一條如圖所示的對角線，測量對角線與每條無差異曲線的交點到原點的距離，然后把這些距離標記在相應的無差異曲線上。我們怎樣知道這是一

13、個效用函數(shù)？不難知道，如果偏好是單調(diào)的，那么對角線與每條 無差異曲線的交點只有一個。因此，每個商品束都得到了標記，位于更高無差異曲線上的商 品束標記的數(shù)值越大，這樣就得到了一個效用函數(shù)。0Measures distance from originIndifference curves圖 4.2：從無差異曲線構造一個效用用函數(shù)。畫出一條對角線，測量對角線與每條無差異曲線交點到原點的距離，將這些距離標記在相應的無差異曲線上。這樣我們就有了一種標記無差異曲線的方法，至少只要偏好是單調(diào)時該法可行。在具 體情形中，這種方法未必是最自然的方法，但至少它表明了序數(shù)效用函數(shù)的通用性：幾乎任何“合理的”偏好都能

14、用效用進行刻畫。4.3效用函數(shù)的一些例子在第3章，我們已分析了一些偏好的例子，知道用什么樣的無差異曲線表示這些偏好。 我們也可以使用效用函數(shù)來表示這些偏好。如果給你一個效用函數(shù) u（xX2），畫出一條無差異曲線就比較容易：你只要畫出所有的（xx2）使得u（xx2）等于一個常數(shù)即可。 在數(shù)學上, 滿足u（x-!，x2）等于一個常數(shù)的所有（為必）稱為水平集（level set）。對于每個不同的常數(shù)值， 你得到一條不同的無差異曲線。例子：從效用到無差異曲線假設效用函數(shù)為u（x1,x2） = x1x2。那么它的無差異曲線的形狀是什么樣的？我們知道，無差異曲線是滿足 k = X1X2 （其中k為常數(shù)）的

15、所有xi和X2的集合。將X2視為Xi 的函數(shù)解之可得5kX2 =Xi6#上面的式子就是典型無差異曲線的表達式。k = 1,2,3時的相應無差異曲線請見圖43#圖4.3：無差異曲線。不同 k值時的無差異曲線 k = x1x2。我們分析另一個例子。假設效用函數(shù)為v（xx2） = xjx：。無差異曲線形狀如何？由代數(shù)的標準法則可知2 2 2 2V（Xi,X2）=XiX2 = （）X2）=u（Xi,X2）因此，效用函數(shù) V（Xi，X2）只是效用函數(shù) u（Xi,X2）的平方。因為 u（Xi,X2）不能為負，所以 v（xnx2）是效用函數(shù)u（xx2）的一個單調(diào)變換。這表示效用函數(shù)v（xx2） = xfx：

16、無差異曲線的形狀，與圖4.3中U（Xi，X2）的無差異曲線形狀相同。這兩個函數(shù)的無差異曲線的標記是 不同的，原先的標記為 i, 2, 3，現(xiàn)在則為i, 4, 9,但滿足V（X|,X2）=9的商品束恰好 就是滿足U（Xi，X2）=3的商品束。這樣，V（Xi ,X2）代表的偏好和U（Xi,X2）代表的偏好是相同 的，因為它們對所有商品束的排序序是相同的。將上面的事情反過來做， 即根據(jù)一些無差異曲線找到效用函數(shù)， 比較困難。有兩種方法 可做此事。一是數(shù)學方法。給定無差異曲線， 我們試圖找到一個函數(shù)， 這個函數(shù)沿著每條無 差異曲線的函數(shù)值必須為常數(shù)，而且更高的無差異曲線上的函數(shù)值必須更大。第二種方法有

17、些直觀。給定偏好的描述，我們考慮消費者試圖最大化的是什么一一什么樣的商品束刻畫了消費者的選擇行為。這種方法暫時有些模糊，在我們分析幾個例子之后， 它就會明朗化。完全替代還記得紅鉛筆和藍鉛筆的例子嗎？對消費者來說，只有鉛筆總數(shù)才是最重要的。于是， 自然可用鉛筆總數(shù)衡量效用。因此我們暫時選擇一個效用函數(shù)u（Xi,X2） = xi + x2。這個函數(shù)可行嗎？就問下面兩個問題即可：該函數(shù)沿著無差異曲線的函數(shù)值是常數(shù)嗎？更受偏好的商品束賦予了更大的數(shù)值了嗎？這兩個問題的答案都是肯定的，因此我們就得到了一個效用函數(shù)。當然，這不是唯一可行的效用函數(shù)。我們也可以使用鉛筆總數(shù)的平方。于是效用函數(shù)V(Xi,X2)

18、= (Xi +X2)2 = X： +2X1X2 +X；同樣可以表示完全替代的偏好，當然U(Xi,X2)的其他任何單調(diào)變換都可以表示這一偏好。如果兩種商品不是1： 1替代的，結果會怎樣？例如，假設消費者要求得到兩兩單位的商品2,他才愿意放棄一單位的商品1。這表示對消費者來說，商品1的價值是商品2的兩倍。因此效用函數(shù)的形式為 u(X1,X2) = 2x1 + x2。注意，由該效用函數(shù)產(chǎn)生的無差異曲線的斜率 為-2。一般來說，完全替代類型的偏好可用下列形式的效用函數(shù)表示u(x1,x2) = ax1 + bx2.此處，a和b均為正數(shù)，分別表示商品 1和2的“價值”。注意，它的無差異曲線的斜 率為-a/

19、b。完全互補這是左鞋和右鞋的情形。在這種偏好中，消費者只關心他有多少雙雙鞋子，因此自然可以 選擇鞋子的雙數(shù)作為效用函數(shù)。鞋子的雙數(shù)取決于右鞋數(shù)量X1和左鞋數(shù)量 X2中最小(minimum )的那個。于 是，完全互補的效用函數(shù)采取的形式為ux) = minX|,x2。為證實該函數(shù)實際可行，選擇一個商品束比如(10,10)。若商品1增加一單位則得到(11,10),它應該和(10,10 )位于同一條無差異曲線上。是不是？是的，因為 mi n10,10 = min 11,10 =10。因此，用效用函數(shù) u(X1, X2) = min X), x?刻畫1:1完全互補的偏好是可行的。通常，該效用函數(shù)的任何

20、單調(diào)變換同樣可以刻畫上述偏好。如果完全替代商品不是 1:1替代的，比如消費者每喝一杯茶時總是放入2茶匙糖，結果1會如何？如果用 X1表示茶的杯數(shù)，X2表示糖的茶匙數(shù)，那么糖茶的杯數(shù)為minxn x?。2這樣的問題有點麻煩，所以我們停下來思考一下。如果茶的杯數(shù)大于糖的茶匙數(shù)的一半 即X1 >(1/2)X2，則不可能做到每杯茶里都放入 2茶匙糖。在這種情形，糖茶的數(shù)量等于 (1/2)x2。(你可以用某些具體數(shù)字代替 和X2驗證一下。)當然，該效用函數(shù)的任何單調(diào)變換仍然能刻畫這個偏好。例如，我們可以乘以2消滅掉分數(shù)，這樣得到的效用函數(shù)為min2xvx2。一般地，刻畫完全互補類型偏好的效用函數(shù)具

21、有下列形式u(X1,X2)= minax1,bx2.其中a和b是正數(shù)，表示兩商品的搭配比例。擬線性偏好我們以前未見過擬線性偏好的無差異曲線。假設消費者的無差異曲線族是由無差異曲線互相垂直移動得到，如圖 4.4所示。這表明將一條無差異曲線垂直移動就可以得到所有的無 差異曲線。由此可推知，無差異曲線的表達式為x2 = k - v(x1)，其中k為常數(shù)，不同的無差異曲線k值不同。這個式子是說，每條無差異曲線的高度等于為的函數(shù)-v(x1)加上某個常數(shù)k。k值越大，無差異曲線位置越高。( -v(xj中的負號只是一種慣例做法；下面我們將知道為什么加了負號比較方便。)圖44擬線性偏好。所有的無差異曲線都可由

22、一條無差異曲線垂直移動得到。標記這種無差異曲線自然的方法是使用k進行標記。大致來說，k值是無差異曲線沿著縱軸的高度。解出k并令其等于效用，可得u(xX2)= k = v(x1) + x2.上述效用函數(shù)對于商品2來說是線性的，但對于商品1來說(可能)是非線性的；因此,擬線性 效用(quasilinear utility )的意思是"部分為線性"的效用。擬線性效用具體的例子有u(x,x2) =、._捲+ x?或者u(x1,x2) = In x, + x2等等。擬線性效用函數(shù)可能不太符合實際， 但便于分析，我們在以后章節(jié)的例子中就會知道它比較簡便?？虏?道格拉斯偏好另外一種常用的

23、效用函數(shù)類型是柯布-道格拉斯(Cobb-Douglas )效用函數(shù)u(Xi,X2)= x：x；.其中c和d為正數(shù)，表示消費者對兩商品的偏好保羅道格拉斯是20世紀的經(jīng)濟學家，在芝加哥大學任教，后來成為美國的參議員；查爾斯柯布為阿默斯特學院(Amherst College )的數(shù)學家?？虏?道格拉斯函數(shù)最初用于分析生產(chǎn)行為。°柯布-道格拉斯效用函數(shù)在一些情形下比較有用。柯布-道格拉斯效用函數(shù)描述的偏好通常具有圖4.5所示的形狀。在圖 4.5A中，我們畫出了當 c=1/2,d=1/2時的無差異曲線；在圖 4.5B中，畫出了 c=1/5,d=4/5時的無差異曲線。注意一下當參數(shù) c和d變化時

24、無差異曲線的 形狀怎樣變化。A ct 1/2 d/2圖4.5:柯布-道格拉斯無差異曲線 。當c=1/2,d=1/2時的無差異曲線（圖 A）;當 c=1/5,d=4/5時的無差異曲線（圖 B ）?？虏?道格拉斯無差異曲線的形狀類似于凸且單調(diào)的無差異曲線，我們在第3章把后者稱為“具有良好性狀的無差異曲線”?？虏?道格拉斯偏好是性狀良好無差異曲線的標準例子， 事實上，它的表達式大概是能產(chǎn)生良好性狀偏好的最簡單的代數(shù)表達式。在以后章節(jié)你會發(fā)現(xiàn)，使用柯布-道格拉斯函數(shù)表達經(jīng)濟思想很是方便。當然，柯布-道格拉斯效用函數(shù)的任何單調(diào)變換也能表示同樣的偏好，此處分析幾個變 換的例子比較有好處。首先，如果取效用函

25、數(shù)的自然對數(shù)，項的乘積將變成項的加和，于是我們有v（x-i, x2） = In（x：x：） = cln x-i + d In x2.c d該效用函數(shù)的無差異曲線的形狀和U（Xi,X2）= XX2的無差異曲線的形狀類似，因為取對數(shù)是單調(diào)變換。（對自然對數(shù)知識的簡要回顧，請見本書末的數(shù)學附錄。）第二個例子，假設柯布-道格拉斯效用函數(shù)為u（Xi,X2）=x：x：.將效用變?yōu)樵瓉淼?/（c + d）次幕，即c+dix：+dc現(xiàn)在令a=，我們得到下列新的效用函數(shù)a 1- av(Xi,X2)=Xi X2這意味著我們總可以將柯布-道格拉斯效用函數(shù)進行單調(diào)變換，使得指數(shù)的總和等于i.以后我們將看到這樣的處理有

26、個有用的解釋?？虏?道格拉斯效用函數(shù)的表達形式很多，你應該學會識別它們，因為這類偏好很有用。4.4邊際效用假設某消費者消費的商品束為（X1，X2），如果我們多給他一點商品1,他的效用將怎樣變化？這個變化比率稱為商品1的邊際效用（marginal utility ）。我們將其記為 MU!，它是一個比率MU,?UU(X| + ?X|,X2)- U(X|,X2)10#它衡量效用變化 ？u與商品1數(shù)量變化？的比率這個定義表明，為了計算商品1消費數(shù)量的微小變化引起的效用變化，只要將消費的變化量乘以該商品的邊際效用即可：?U =MU1類似地，可以定義商品 2的邊際效用：MU2?U?X2口（人，乂2 + ?

27、x2） - 口（人，x2）?X2注意，當計算商品2的邊際效用時，我們保持商品1的消費量不變。我們可以用下式計算商 品2消費量變化引起的效用變化?U = mu2很重要的一點，是要知道邊際效用的大小取決于效用的大小。因此，邊際效用取決于我們選取的效用衡量方法。如果我們將效用（函數(shù)）乘以2，則邊際效用也乘以 2。這樣處理我們?nèi)钥傻玫揭粋€完全有效的效用函數(shù)，因為它表示同樣的偏好，區(qū)別僅在于標記的數(shù)值不同。這表明邊際效用本身不含有選擇行為的內(nèi)容。我們?nèi)绾胃鶕?jù)消費者的選擇行為計算邊際效用？無法計算。選擇行為僅僅揭示了消費者如何將不同商品束排序的信息。邊際效用取決于我們使用什么樣的效用函數(shù)來反映偏好排序，邊

28、際效用本身沒有特別意義。然而，我們可以使用邊際效用，計算含有選擇行為內(nèi)同的其他事情，在下一節(jié)我們將看到這一點。4.5邊際效用和邊際替代率可以使用效用函數(shù) u（xx2）計算第3章定義的邊際替代率（MRS）。我們已知道 MRS 衡量無差異曲線在給定商品束那一點的斜率；可以認為MRS是一個比率，消費者恰好愿意按此比率用一定數(shù)量的商品 2替代商品1。這樣我們就有了計算 MRS的一種簡便方法。假設兩種商品消費量的變化（？X？X2）恰好使效用不變，即消費量沿著一條無差異曲線變動。于是必然有MU1+ MU2=?U =0.11#解出無差異曲線的斜率，可得MRSi2 =?X1MU1MU2#使用微積分處理邊際效用

29、的內(nèi)容請見本章后的附錄。#（注意上式左端2在1的上邊，而在上式右端1在2的上邊。別搞混了!MRS的代數(shù)符號為負：如果你增加商品 1的消費那么你必須減少.商品2的消費，才能 使效用不變。然而，時刻牢記這個負號讓人厭煩，因此經(jīng)濟學家通常將MRS的絕對值（即一個正數(shù)）當作 MRS。在不至于混淆的前提下，我們遵循這種慣例。關于MRS的計算有個有趣的事情：可以通過觀察某人的實際行為來計算MRS 我們找到恰好使他不愿買也不愿賣的那個交換率，我們已在第3章探討過這個問題。效用函數(shù)，從而邊際效用函數(shù)，不是唯一的。某個效用函數(shù)任何單調(diào)變換得到的效用函數(shù)同樣可行。例如，如果我們將效用乘以 2，則邊際效用也乘以 2

30、。因此，邊際效用函數(shù) 的大小取決于我們主觀選取的效用函數(shù)。 邊際效用不依賴于選擇行為，而是依賴于我們用于 刻畫選擇行為而選取的效用函數(shù)。然而，邊際效用比率提供了一個可觀測的尺度，即邊際替代率。對效用函數(shù)進行單調(diào)變換不會影響邊際效用比率大小。舉例驗證，例如如果你將效用函數(shù)乘以 2,此時mrs2變?yōu)镸RS122MU,2MU2消去分子分母中的 2,可知邊際替代率的大小沒變。這個結論對任何單調(diào)變換都成立。進行單調(diào)變換只是對無差異曲線重新標記，MRS的計算仍然沿著同一條無差異曲線進行。盡管單調(diào)變換改變了邊際效用數(shù)值，但邊際效用的比率與你標記偏好的方法無關。4.6交通效用效用函數(shù)在本質(zhì)上是描述選擇行為的方

31、法：如果可買得起商品束 Y，但卻選擇了商品束X，則X的效用一定比 Y大。對消費者的選擇行為進行分析，就可以估計出描述他們行為 的效用函數(shù)。上述想法廣泛應用于交通經(jīng)濟學，用來研究消費者的交通行為。在多數(shù)大城市，人們可以選擇乘公交車或者開車上班。每一種選擇代表了一個消費束，這個消費束由不同的特征變量組成：行程時間，等待時間，花費的現(xiàn)金費用，舒適度，便利性等等。令為表示行程時間，X2表示等待時間，等等。如果令（X1，X2，,Xn）表示開車的n個不同特征變量，（y1,y2,.,yn）表示乘公交車的相應特征變量，我們可以用一個模型分析人們選擇開車還是乘公交，他們做出選擇的依據(jù)為是否更偏好其中的一個消費束

32、。更具體地說，假設典型消費者對上述特征變量的偏好可用下列效用函數(shù)表示U(X1,X2,.,Xn)=馭 + 債X2+.+ %其中，系數(shù) 仏直,伍為n個未知參數(shù)。當然，上述效用函數(shù)的任何單調(diào)變換可以同樣地描 述人們的選擇行為，但是線性形式的函數(shù)更容易用統(tǒng)計方法處理。假設我們獲得了若干消費者基于上述n個變量的交通方式選擇的數(shù)據(jù)?？墒褂媒y(tǒng)計方法找到B （i=1,）的數(shù)值，使得這些數(shù)值最好地擬合了消費者們的上述選擇。這些統(tǒng)計方法可以估計出不同交通模式的效用函數(shù)。研究發(fā)現(xiàn)效用函數(shù)具有下列形式1U（TW,TT,C） = - 0.147TW - 0.0411TT - 2.24C（4.2）其中，TW=步行往返公交

33、車或自駕車的總時間TT=行程總時間（分鐘）C=行程總成本（元）Domenich-McFadden的書中估計出的效用函數(shù)，正確地刻畫了家庭樣本中93%家庭的交通方式選擇行為。方程（4.2）中變量的系數(shù)刻畫了典型家庭對交通行程不同特征變量賦予的權重；即每 種特征變量的邊際效用。兩個系數(shù)之間的比率衡量兩個特征變量之間的邊際替代率。例如， 步行往返時間的邊際效用與行程總時間的邊際效用的比值，表明對于典型消費者來說，步行時間代表的勞累程度大約是行程時間勞累程度的3倍。換句話說，消費者為了少步行1分鐘，愿意增加3分鐘的行程。類似地，行程總成本與行程總時間的比率，表明典型消費者對于這兩個變量的權衡選擇。在該

34、研究中，消費者認為每分鐘交通時間的價值為0.0411/2.24=0.0183元，即每小時的價值為1.10元。而同期（1967年）的每小時工資大約為2.85元。這樣估計出的效用函數(shù)對于下列決策非常重要：對公交系統(tǒng)做出某些改變是否值得。例如，在上面的效用函數(shù)中， 影響交通方式選擇的一個顯著變量是行程時間。城市交通管理部門可以花錢增加公交車的數(shù)量，以減少乘客行程時間。但是，因此增加的乘客能彌補公交系統(tǒng)額外增加的成本嗎？給定效用函數(shù)和消費者樣本數(shù)據(jù)，我們可以預測出哪些消費者將自己開車，哪些消費者將搭乘公交車。這樣我們就可以大體計算出收入是否能夠彌補額外的成本。而且，我們可以使用邊際替代率估計行程時間減

35、少對每個消費者的價值價值。在上面的交通 行為研究中，我們已知道，1967年人們認為交通時間的價值是每小時1.10元。因此，如果將行程減少20分鐘，人們愿意支付 0.37元。這個數(shù)字衡量了提供更準時公交服務的金錢收 益。這個收益必須與提供更準時服務的成本相比較，以便確定這樣的服務是否值得做。對收益進行量化，無疑有助于管理部門作出交通政策的合理決策?？偨Y1.效用函數(shù)只是偏好排序的一種表示方法。效用水平的數(shù)值大小沒有實質(zhì)含義。2.因此，給定任何一個效用函數(shù)，它的任何單調(diào)變換仍然表示相同的偏好。3.邊際替代率MRS，可由效用函數(shù)計算出，計算公式為MR2 = ?X2 /?X1 = - MU1 / MU?

36、.請見Thomas Domenich和Daniel McFadden,城市交通需求（North-Holland出版公司，1975）。該書中的 統(tǒng)計估計除了包括我們上述列舉的變量外，還包括家庭的若干人口學特征。Daniel McFadden因為研發(fā)了估計這類模型的方法，于 2000年獲得了諾貝爾經(jīng)濟學獎。復習題1.課文中說，將某數(shù)字變?yōu)樗钠娲蝺缡且环N單調(diào)單變調(diào)換變換。那么，將其變?yōu)樗呐即蝺缡菃握{(diào) 變換嗎？（提示：要考慮類似 f（u）= u2 的情形。）【復習內(nèi)容】單調(diào)變換?！窘忸}思路】作者范里安在教材中指出： “單調(diào)變換是將一組數(shù)字轉換為另外一組數(shù)字的方法，這種方法 要保留轉換前后數(shù)字的順序

37、不變。單調(diào)變換和單調(diào)函數(shù)是一回事?！边@段話，換一種表述方法是：如果某既定偏好可用函數(shù)u = u（xi，x2）進行刻畫，則可以對函數(shù) u進行復合（構造復合函數(shù)）比如f（u） = f （u（x,x2），但要保證這個復合函數(shù)是正單調(diào)函數(shù)（即單調(diào)遞增的函數(shù)），即對U = U（Xi，X2）進行正單調(diào)變換。所以說正單調(diào)變換和正單調(diào)函數(shù)是一回事。因此，我們對原效用函數(shù)并不要求它是單調(diào)遞增的， 但對這個函數(shù)進行正單調(diào)變換后得到的 新效用函數(shù)一定是單調(diào)遞增的。原因在于正單調(diào)變換和正單調(diào)函數(shù)是一回事。也正因為此，題目中的“將某數(shù)字變?yōu)樗钠娲蝺缡且环N單調(diào)變換”這種說法并不嚴格，因 為當冪指數(shù)等于 i 時，這正是原

38、效用函數(shù)本身， 但它不是正單調(diào)變換， 否則這意味著要求原 效用函數(shù)必須為單調(diào)的。而我們未必一定要求原效用函數(shù)是單調(diào)的， 盡管我們通常這么要求。 所以，幕指數(shù)應將 1除外。通常情況下，口 = 口（為必）>0，因此f （u） = u2是（正的）單調(diào)變換，也就是說f （u） = u2是單調(diào)遞增的函數(shù)。但是，也有可能存在 u = u（Xi，X2）<0的情形。舉個例子，給某消費者兩種商品，但這兩種 商品都是他非常討厭的，由于這種情形下，他的效用不可能為正，即口 = 口（為，） <0。所以該情形下f （u） =u2就不是（正的）單調(diào)變換，但它是（負的）單調(diào)變換，但根據(jù)我們的 目的，我們不

39、考慮負單調(diào)變換的情形?！緟⒖即鸢浮恳娚鲜鼋忸}思路中的最后兩段文字。222.下列哪些是單調(diào)變換？ （？ （1） u = 2v- 13；（2）u =-1/v2；（3）u =1/v2；（4）u =lnv；（5） u = - e-v ； （ 6） u = v2 ； （ 7） u = v2 （其中 v > 0 ） ； （8） u = v2 （其中 v < 0 ）。 【考察內(nèi)容】單調(diào)變換?！緟⒖即鸢浮浚? ）是（正的）單調(diào)變換。因為復合函數(shù)U是函數(shù)v的單調(diào)遞增函數(shù)。以下題目的原因請類推。（2） v > 0時是（正的）單調(diào)變換，v< 0時是（負的）單調(diào)變換（即變換后得到的函數(shù)U是遞減

40、函數(shù)） ，由于我們不考慮負單調(diào)變換的情形，因此自此以后凡是說到單調(diào)變換就是指 正單調(diào)變換。以下各題不再一一說明。（3）v < 0時是單調(diào)變換， v > 0時不是。（4） 是單調(diào)變換（順便指出，此題暗含著v > 0的假設，否則u =1 nv無定義）。（5）是單調(diào)變換。（6） v >0時是單調(diào)變換，v <0時不是。(7)和(8)請見(6)。3課文中有個結論，即如果偏好是單調(diào)的，那么經(jīng)過原點的對角線與每條無差異曲線只能有 一個交點。你能嚴格證明這個結論嗎？ ？(握示:：如果它與某條無差異曲線有兩個交點，結 果會如何？ ？) 【考察內(nèi)容】單調(diào)偏好的定義；無差異曲線的特征

41、【參考答案】反證法。假設這條對角線與一條無差異曲線交于兩個不同的點：(xx2)； (yi,y2)。由于這兩個點在同一條無差異曲線上，因此(xX2)(%,y2)。另外，這兩個點都在該對角線上，因此必有x1 > y),x2 > y2或者為< y(,x2 < y2。不妨設x1 > y1 ,x2 > y2，由于偏好是單調(diào)的， 這意味著(xX2)f (yi，y2)。顯然(為兀片(%必)和剛才得到的(XiX) (%, y?)矛盾。 所以如果偏好是單調(diào)的，那么經(jīng)過原點的對角線與每條無差異曲線只能有一個交點。4.效用函數(shù)u(xi,x2)= Xj + X2表示什么類型的偏好？

42、 ？效用函數(shù)v(xi，x2)= 13xi+13x2 呢？【考察內(nèi)容】單調(diào)變換；完全替代類型的偏好對效用函數(shù)u(x1,x2)作單調(diào)變換f (u) = U2，可得新的效用函數(shù) f (u) = u2 = X-I + x2 ；不妨 令 w(x1,x2) = X1 + x2。1對效用函數(shù)v(xvx2)作單調(diào)變換g(v) = v，可得新的效用函數(shù)131g(v) =v = x1 + x2 = w(x1,x2)。13由于單調(diào)變換不改變原有的偏好關系，因此可知u(x-!, X2) = . X1 + x2 ， v(x,x2) =13為+13x2和w(xx2) = x + x2這三個效用函數(shù)代表的偏好關系是相同的。

43、而 我們已知道 W(X1,X2)= X1 + X2表示1:1完全替代的偏好類型。所以u(X,X2)h. X1 + X2和V(X|, X2) = 13為+ 13x2都表示1:1完全替代的偏好類型。5.效用函數(shù)u(X1,X2)=X1 + . X2表示什么類型的偏好？效用函數(shù)2 v(X1 , X2)= X1 + 2X1 X2 + X2 是 u(x1, X2)的單調(diào)變換嗎？【考察內(nèi)容】擬線性偏好；單調(diào)變換。u(X1,X2)= X1 + -、X2表示擬線性的偏好類型。因為X1>0,X2>0(消費數(shù)量不能為負)，所以u(X1,X2)=X1+ 1X2X)，對效用函數(shù)2u(X1,X2)做單調(diào)變換f

44、 (u) = u (請參考第2題第(6 )小題的答案)，可得IIf (u) = x； + 2% .x2+ x2,而這正是效用函數(shù)v(x-!,x2),因此 v(x1,x2)=彳 + 2x仁x2+ x2是u(x,X2)的單調(diào)變換。26.假設效用函數(shù)為口伙剛二 軌。它表示什么類型的偏好？ ？函數(shù)V（Xi，X2）= XM2是 u（Xi，X2）的單調(diào)變換嗎？ W（X1,X2）=是U（X1，X2）的單調(diào)變換嗎？【考察內(nèi)容】柯布一道格拉斯型偏好；單調(diào)變換【參考答案】（1）U（Xi,X2）= . X1X2表示柯布一道格拉斯型偏好。（2 ）判斷一個函數(shù)是否為另一個函數(shù)的單調(diào)變換，有時使用一個小技巧反而更方便。這

45、個小技巧就是第7題的結論，即對一個效用函數(shù)進行單調(diào)變換不會改變邊際替代率。MUu（Xi,X2）= X1X2 的邊際替代率 MRS12 = - -MU1 =-住；v（Xi,X2）= X；X2 的邊際替代率MRS12 = -= - 2X2，二者不等， 因此 V（X1,X2） = x；x2不是u（xx2）的單調(diào)變換。MU 2x-i（3）因為U（X1，X2）= '、X1X2 >0 （請參考第2題第（6）小題的答案），所以對該函數(shù)作單 調(diào)變換f （u） = u4可得f （u） = u4 = xx| = w（X1,X2），所以答案為：是。7你能說明為什么對一個效用函數(shù)進行單調(diào)變換不會改變邊際替代率？【考察內(nèi)容】單調(diào)變換【參考答案】假設我們對某個效用函數(shù)進行單調(diào)變換，比如V（ X1, X2 ） = f （u（ X|, X2）。我們計算一 下該效用函數(shù)的MR02。使用鏈式法則MRS12