同濟(jì)第六版《高等數(shù)學(xué)》教案第04章不定積分

1、同濟(jì)五版高等數(shù)學(xué)講稿 WORD-第05章定積分第四章不定積分教學(xué)目的：1、 理解原函數(shù)概念、不定積分的概念。2、 掌握不定積分的基本公式，掌握不定積分的性質(zhì)，掌握換元積分法(第一，第二)與分部積分法。3、 會(huì)求有理函數(shù)、三角函數(shù)有理式和簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù)的積分。教學(xué)重點(diǎn)：1、 不定積分的概念；2、 不定積分的性質(zhì)及基本公式；3、 換元積分法與分部積分法。教學(xué)難點(diǎn)：1、 換元積分法；2、 分部積分法；3、 三角函數(shù)有理式的積分。4、 41不定積分的概念與性質(zhì)、原函數(shù)與不定積分的概念定義1如果在區(qū)間I上可導(dǎo)函數(shù)F(x)的導(dǎo)函數(shù)為f(x)即對(duì)任一xI都有F(x)“*)或?*)f(x)dx那么函數(shù)F(x)就

2、稱為f(x)(或f(x)dx)在區(qū)間I上的原函數(shù)例如因?yàn)?sinx)cosx所以sinx是cosx的原函數(shù)又如當(dāng)x(1)時(shí)因?yàn)? .x)提問(wèn)：12、x所以Jx是:2, x的原函數(shù)頁(yè)腳內(nèi)容15cosx和一還有其它原函數(shù)嗎?2Vx原函數(shù)存在定理如果函數(shù)f(x)在區(qū)間I上連續(xù)那么在區(qū)間I上存在可導(dǎo)函數(shù)F(x)使對(duì)任一xI都有F(x)f(x)簡(jiǎn)單地說(shuō)就是連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)兩點(diǎn)說(shuō)明第一如果函數(shù)f(x)在區(qū)間I上有原函數(shù)F(x)那么f(x)就有無(wú)限多個(gè)原函數(shù)F(x)C都是f(x)的原函數(shù)其中C是任意常數(shù)即如果(x)和F(x)都是f (x)的原第二f(x)的任意兩個(gè)原函數(shù)之間只差一個(gè)常數(shù)函數(shù)則(x)F(x

3、)C(C為某個(gè)常數(shù))定義2在區(qū)間I上函數(shù)f(x)的帶有任意常數(shù)項(xiàng)的原函數(shù)稱為f(x)(或f(x)dx)在區(qū)間I上的不定積分記作f(x)dx其中記號(hào)稱為積分號(hào)f(x)稱為被積函數(shù)f(x)dx稱為被積表達(dá)式x稱為積分變量根據(jù)定義如果F(x)是f(x)在區(qū)間I上的一個(gè)原函數(shù)那么F(x)C就是f(x)的不定積分即f(x)dxF(x)C因而不定積分f(x)dx可以表示f(x)的任意一個(gè)原函數(shù)例1因?yàn)閟inx是cosx的原函數(shù)所以cosxdxsinxC因?yàn)榛蚴荍的原函數(shù)2 v x所以1 dx ln( x) C (x<0) x合并上面兩式得到0)2)且其上任一點(diǎn)處的切線斜率等于這點(diǎn)橫坐標(biāo)的兩倍求y f

4、(x) 按題設(shè)曲線上任一點(diǎn)(xy)處的切線斜率為_(kāi)dx,x2<x例2.求函數(shù)f(x)工的不定積分x解：當(dāng)x>0時(shí)(lnx)x1.-dxlnxC(x>0)x當(dāng)x<0時(shí)ln(x)工(1)工1 dx ln|x| C (x x例3設(shè)曲線通過(guò)點(diǎn)(1 此曲線的方程解設(shè)所求的曲線方程為y f (x) 2x,xx即f(x)是2x的一個(gè)原函數(shù)因?yàn)?xdxx2C故必有某個(gè)常數(shù)C使f(x)x2C即曲線方程為yx2C因所求曲線通過(guò)點(diǎn)(12)故21CC1于是所求曲線方程為yx21積分曲線函數(shù)f(x)的原函數(shù)的圖形稱為f(x)的積分曲線從不定積分的定義即可知下述關(guān)系1f(x)dxf(x)dx或df

5、(x)dxf(x)dx又由于F(x)是F(x)的原函數(shù)所以F(x)dxF(x)C或記作dF(x)F(x)C以記號(hào)由此可見(jiàn)微分運(yùn)算(以記號(hào)d表示)與求不定積分的運(yùn)算(簡(jiǎn)稱積分運(yùn)算表示)是互逆的當(dāng)記號(hào)與d連在一起時(shí)或者抵消或者抵消后差一個(gè)常數(shù)二、基本積分表(1) kdxkxC(k是常數(shù))(2) xdx-x1C1(3) 1dxln|x|Cx(4) exdxexCx(5) axdxaCIna(6) cosxdxsinxC(7) sinxdxcosxC(8) 1Tdxsec2xdxtanxCcos2x(9)12dxcsc2xdxcotxCsin2x(10)12dxarctanxC1x2(11)1,dxa

6、rcsinxx2(12)secxtanxdxsecx(13)cscxcotdxcscx(14)shxdxchx(15)chxdxshx4x3dx12x2x2.xdx5x2dx15251-x2172x，7dxx3/x43dx3113x33c3xC、不定積分的性質(zhì)性質(zhì)1函數(shù)的和的不定積分等各個(gè)函數(shù)的不定積分的和f(x)g(x)dxf(x)dxg(x)dx這是因?yàn)?，f(x)dxg(x)dxf(x)dxg(x)dxf(x)g(x).性質(zhì)2求不定積分時(shí)被積函數(shù)中不為零的常數(shù)因子可以提到積分號(hào)外面來(lái)kf(x)dxkf(x)dx(k是常數(shù)0)例7.x(x25)dx5(x215x2)dx5x2dx15x2dx

7、5x2dx51x2dx例8區(qū)雯dxx2x3x33x23x2x1dx(x33W)dxxx21.xdx3dx3dxx3dx-x23x3ln|x|-Cx22x例9例10例11例12例13例14例15(ex3cosx)dxexdx3cosxdxex3sinxC2xexdx(2e)xdx-(e)-ln(2e)2XJ，xx(1x2)2xexC1In2Carctanxx3x3-5dx1#卻tan2xdxtanxsin21dx2(x(sec2x1)dxsec2xdxdxsinx)2(1cosx)dx1sin2xcos2dx2x124-dxsinx4cotxC§ 4 2換元積分法一、第一類(lèi)換元法設(shè)f(

8、u)有原函數(shù)F(u)u(x)且(x)可微那么根據(jù)復(fù)合函數(shù)微分法有dF(x)dF(u)F(u)duF(x)d(x)F(x)(x)dx所以F(x)(x)dxF(x)d(x)F(u)dudF(u)dF(x)因此F(x)(x)dxF(x)d(x)F(u)dudF(u)dF(x)F(x)C即f(x)(x)dxf(x)d(x)f(u)duu(x)F(u)Cu(x)F(x)C定理1設(shè)f(u)具有原函數(shù)u(x)可導(dǎo)則有換元公式f(x)(x)dxf(x)d(x)f(u)duF(u)CF(x)C被積表達(dá)式中的dx可當(dāng)作變量x的微分來(lái)對(duì)待從而微分等式(x)dxdu可以應(yīng)用到被積表達(dá)式中在求積分g(x)dx時(shí)如果函數(shù)

9、g(x)可以化為g(x)f(x)(x)的形式那么g(x)dxf(x)(x)dxf(u)duu例1.2cos2xdxcos2x(2x)dxcos2xd(2x)cosudusinuCsin2xC例31 .1 x2d(1 x2)1 u2du-u2 C23.3x2人(32x)dx2六d(32x)1 1dx1ln|u|C11n|32x|C2 u22222例3.2xexdxex(x2)dxexd(x2)eudu2ejCex2C例4.xdx2dx11x2(x2)dx、1x2dx22231(1X2產(chǎn)C例5.tanxdxsinxdx1dcosxcosxcosx1duln|u|Culn|cosx|C即tanxdx

10、ln|cosx|C類(lèi)似地可得cotxdxln|sinx|C熟練之后變量代換就不必再寫(xiě)出了例6.212dx&-1dxa2x2a21(x)2a71_d闔仃Ca1(x)2aaaa7即212dx1arctan-Ca2x2aa例7.ch-dxachxdxashxCaaaa例8.當(dāng)a0時(shí)，1dx11dx1d-arcsin-Ca2x2a.1(,2.1(12aa2a12a.xarcsin - Ca111(-)dx 1-x a x a 2a-dx x a-dx x ad(x a) d(x a) x a2ain|xa|in|xa|c2aln|x-a|Cxa10.一dx一x(1 2in x)d in x1

11、2in xd(1 2inx)1 2in x1ln|121nxiC例11.edx2e11 .”xdVX2e3'%3a2e3xC3含三角函數(shù)的積分例12.sin3xdxsin10xsinxdx(1cos2x)dcosx213dcosxcos2xdcosxcosxcos3xC3例13.sin2xcos8432xdxsin2xcos-x sin2x sin4x Cxdsinxsin2x(1sin2x)2dsinx(sin2x2sin4xsin6x)dsinx1sin3x2sin5x1sin7xC357例14.cos2xdx .111 .dx cos2xd2x x sin2x C424例 15.

12、 cos4 xdx (cos2x)2dx2(1 cos2x)2 dx1-(1 2 cos2x cos2 2x)dx-cos2xdx1(dxcos2xdx)4(212cos2x 勺 cos4x)dx22、/1 /3 4(2x例16.cos3xcos2xdx(cosx cos5x)dx1.sin2xsin4x)C81.1.sinxsin5xC1dx2sin xcos-221.17.cscxdxdxsinxdxtan|吟dtanx2tan-2ln|tanx|CIn|cscxcotx|Ccscxdxln|cscxcotx|C18.secxdxcsc(x-)dxIn|csc(x-2)cot(x)1C2I

13、n|secxtanx|secxdxIn |sec x tan x |二、第二類(lèi)換元法定理2設(shè)x(t)是單調(diào)的、可導(dǎo)的函數(shù)并且(t)0又設(shè)f(t)(t)具有原函數(shù)F(t)則有換元公式f(x)dxf(t)(t)dtF(t)F1(x)C其中t(x)是x(t)的反函數(shù)這是因?yàn)镕1(x)F(t嚴(yán)f(t)(tf(t)f(x)dxdxdt例19.求Ja2x2dx(a>0)解：設(shè) x a sin t 一 t 一 22那么 a2 x2，a2 a2sin2t acostdx a cos t d t于是a2x2dxacostacostdta2cos2tdta2(1t因?yàn)閠arcsinx,asin2t2sint

14、cost2a4sin2t)C22axa所以,a2x2dxa2(1t；sin2t)Carcsin-x.a2x2解：設(shè)xasintt那么a2x2dxacostacostdta2cos2tdta2(1t1sin2t)Ca2_.xarcsinxixa2x2C提示：,a2x2%a2a2sin2tacostdxacostdt提不：tarcsin-,sin2t2sintcosta2xa.a2x2因?yàn)槠渲衅渲欣?0.求尸(a>0)22.xa解法a2sect設(shè)xatant,a2a2tan2ta-.1tan2t那么asecdxasecdxx2a2dx,22xatantIn|secCiCIna解法atan空e

15、c21dtasectsectdtIn|sectan所以tant|2_2ln(Xa-)aa那么ln(x,x2a2)C1dx2xa2asec2tasectsectdtln|secttan11CCiCIn提示:x2a2ln(xa一x2a2)aln(x,x2a2)C1a2a2tan2tasectdxasec21出提示：secttant同濟(jì)五版高等數(shù)學(xué)講稿 WORD-第05章定積分解法二：設(shè)xasht那么一dxach-tdtdttCarshxCx2a2achtaIInx，吟)21Cln(xJx2a2)G其中CiCIna提示：、x2a2.a2sh2ta2achtdxachtdt例23.求Ldx(a>

16、0).x2a2解：當(dāng)x>a時(shí)設(shè)xasect(0t)那么,x2a2.a2sec2ta2a、sec2t1atant于是頁(yè)腳內(nèi)容ii因?yàn)閠ant其中其中dxx2a2x2a2adxx2a2CiCIn當(dāng)x<a時(shí)dx22xaCiC2ln綜合起來(lái)有asec：tantdtsectdtatantsectIn|secduu2a2ln(xInIn|secttanf所以tant|則u>aIn(u-u2a2)C,x2a2)Cxx2a2a2dxx2a2In|xa2a-|CIn(x.x2a2)CiIn(x.x2a2)CiCIn(x-x2In|x.x2a21a2)Ci同濟(jì)五版高等數(shù)學(xué)講稿 WORD-第05章

17、定積分頁(yè)腳內(nèi)容40解：當(dāng)x>a時(shí)設(shè)xasect(0ty)那么dxx*2a2asecttantdtatantsectdtIn|secttant|Cln(xx _2C In X - xa才)Caaln(x,x2a2)C其中CiClna當(dāng)x<a時(shí)令xu則u>a于是dxdu、u2 a2ln(uln(x.x2a2)ln(x.x2a2)C1其中CiC21na提示：、x2a2,a2sec2ta2a,sec2t1atant提不：tant,x2 a2asect x a綜合起來(lái)有dxln|x . x2 a21 C補(bǔ)充公式(16) tanxdxIn|cosx|CcotxdxIn|sinx|C(18

18、) secxdxIn|secxtanx|C(19) cscxdxIn|cscxcotx|C(20) 212dx1arctanCa2x2aa(21) -rdxIn|*|Cxa2axa(22) 1dxarcsinxC-a2x2a(23)(24)dx22xadxx2a2ln(x.x2a2)Cln|x,x2a21C移項(xiàng)得對(duì)這個(gè)等式兩邊求不定積分uv dx uv u vdx或 udv uv vdu§33分部積分法設(shè)函數(shù)uu(x)及vv(x)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)那么兩個(gè)函數(shù)乘積的導(dǎo)數(shù)公式為(uv)uvuvuv(uv)uv得這個(gè)公式稱為分部積分公式分部積分過(guò)程：uvdxudv uv vdu uv u vd

19、x例1xcosxdxxdsinxxsinxsinxdxxsinxcosxC例2xexdxxdexxexexdxxexexC例3x221 x2exdxx2dexx2exexdx2x2ex2xexdxx2ex2xdexx2ex2xex2exdxx2ex2xex2exCex(x22x2)C例4xlnxdx-lnxdx2-x2lnx-x2-dx222x-x2lnx-xdx-x2lnx-x2C2224例5arccosxdxxarccosxxdarccosx1.xarccosxxdx1x212、22xarccosx1(1x2)2d(1x2)xarccosx1x2C21212121,例6xarctanxdx

20、arctanxdx2x2arctanxx2zdx-x2arctanx-(1-)dx22'1x"12.11x2arctanxxarctanxC222例7求exsinxdx解因?yàn)閑xsinxdxsinxdexexsinxexdsinxexsinxexcosxdxexsinxcosxdexexsinxexcosxexdcosxexsinxexcosxexdcosxexsinxexcosxexsinxdx所以exsinxdx1ex(sinxcosx)C例8求sec3xdx解因?yàn)閟ec3xdxsecxsec2xdxsecxdtanxsecxtanxsecxtan2xdxsecxtanx

21、secx(sec2x1)dxsecxtanxsec3xdxsecxdxsecxtanxIn|secxtanx|sedxdx所以sec3xdx1,(secxtanx2In|secxtanx|)C例9求1ndx其中n為正整數(shù)解112dx2arctanCx2a2aan1時(shí)，用分部積分法dx(x2a2)n1(x2a2)n12(n1)(xx2a2)n1x2(n1)(x2a2)n1Inx2xkdx(x2a2)na2(x2a2)n1(x2a2)n2(n1)(In1a2In)2a2(n1)(x2a2)n1以此作為遞推公式并由dx(2n3)I-I1-arctanC即可得In例10求e，xdx解令xt2dx2td

22、texdx2tetdt1)C2ex(,x1)Cexdxexd(x)22.xdex2xex22xex2exC2e5(.x1)C第一換元法與分部積分法的比較：共同點(diǎn)是第一步都是湊微分f(x)(x)dxf(x)d(x)令(x)uf(u)duu(x)v(x)dxu(x)dv(x)u(x)v(x)v(x)du(x)哪些積分可以用分部積分法？xcosxdxxexdxx2exdxxlnxdxarccosxdxxarctanxdxexsinxdxsec3xdx2xex2dxex2dx2eudux2exdxx2dexx2exexdx2§44幾種特殊類(lèi)型函數(shù)的積分一、有理函數(shù)的積分有理函數(shù)的形式有理函數(shù)

23、是指由兩個(gè)多項(xiàng)式的商所表示的函數(shù)即具有如下形式的函數(shù)：P(x)a0xna1xn1an1xanQ(x)boxmbixm1bmixbm其中m和n都是非負(fù)整數(shù)a0aia2an及b0bib2bm都是實(shí)數(shù)并且a。0bo0當(dāng)nm時(shí)稱這有理函數(shù)是真分式而當(dāng)nm時(shí)稱這有理函數(shù)是假分式3xx2x 1 x(x2 1) 11x2 1假分式總可以化成一個(gè)多項(xiàng)式與一個(gè)真分式之和的形式例如x21真分式的不定積分求真分式的不定積分時(shí)再積分如果分母可因式分解則先因式分解然后化成部分分式求2x3dxx25x6提示x 3 x2 5x-dx 63dx(x 2)(x 3)3dx3 dx)dx6ln| x 3| 5ln| x2| Cx

24、 3 A B(x 2)(x 3) x 3 x 2A B 13A 2B 3 A 6(A B)x ( 2A 3B)(x 2)(x 3)B 5分母是二次質(zhì)因式的真分式的不定積分x 2 x2 2xdxx 2 x2 2x-dx 3(工一2二3一0)dx2 x2 2x 3x2 2x 32x 2 x2 2x3dx12xdx21rl(x22x3)arctanCx22x312(2x2)3x22x31x22x22x33712x3x(x1)2dxx(x1)21Ldx(x1)2J提示1dxxx11dx(x1)2dxln|x|ln|x11|Cx11x(x1)21xxx(x1)2x(x1)(x1)2x(x1)(x1)2x

25、x11(x1)2二、三角函數(shù)有理式的積分三角函數(shù)有理式是指由三角函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算所構(gòu)成的函數(shù)分子分母都包含三角函數(shù)的和差和乘積運(yùn)算理式表示故三角函數(shù)有理式也就是sin用于三角函數(shù)有理式積分的變換：由于各種三角函數(shù)都可以用、cosx的有理式sin其特點(diǎn)是x及cosx的有把sinx、cosx表成tan|的函數(shù)然后作變換sinx2tanx2sinxcos-222xsec2二2cosxcos2l2tanx2uu21tan2xsin2-22sec2x21u2u2變換后原積分變成了有理函數(shù)的積分1sinx.dxsinx(1cosx),xtan一2sinxsinx(1cosx)dxsinx(12

26、uu22u1u21cosx一1u2u22arctanudx2-ydu1u2產(chǎn))1u21u22du(u12u)du21(2uln|u|)C1tan2xtan5.1in|tanx|C2'24222121解令utan2則(1-2ur)1sinxdx1u22dusinx(1cosx)2u11u1u2FV(11V)1(u222uln|u|)C2(u21)du1tan2xtanx1ln|tanx|C42222說(shuō)明：并非所有的三角函數(shù)有理式的積分都要通過(guò)變換化為有理函數(shù)的積分例如cosxdx1d(1sinx)ln(1sinx)C1 sinx1sinx三、簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù)的積分無(wú)理函數(shù)的積分一般要采用第二

27、換元法把根號(hào)消去例5求Xx_2dxx解設(shè)Jx1u即xu21則-dx-2udu2-uduxu21u211 、2 (11u2)du2(uarctanu)C2(.x1arctan.x1)C例6求%13x2解設(shè)Vx2u即xu3 (x 2)2 33 x 2 ln|1 3 x 2| C2則2一3dxL3u2du3U_Udu13x21u1u1u23(u1六)du3(u2uln|1u|)Cdx(13x)x解設(shè)xdx6t5dt從而dx(13x).xt2647dt1t26(1Jp)dt6(tarctant)C6(6x1xdxxarctan6x)x/xxdx(t21)t2t(t21)2dtt224dtt21練習(xí)dx

28、2cosx(1/dt1xxln11一x-xdx2cosx作變換ttan-22dt1t21t2t2則有dx-1cosx1t21t2t3Fdt232arctan43tarctan(sin5x,求一4dxcosxsin5x,4dxcosxsin4x,4dcosxcosx(1cos2x)24cosxdcosx(1xcos-)dcosxxcosxcosx13cos3x3x1x23x-dx23x1x23x-dx23x1dx(x2)(x1)/74.()dxx2x1dxx21dxx17ln|x2|4ln|x1|§ 4.5 分表的使用為了實(shí)用的方便往往把常用的積分可根據(jù)被積函數(shù)的類(lèi)型直接地或經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)積分

29、的計(jì)算要比導(dǎo)數(shù)的計(jì)算來(lái)得靈活、復(fù)雜公式匯集成表這種表叫做積分表求積分時(shí)單變形后在表內(nèi)查得所需的結(jié)果積分表一、含有axb的積分dx ax1-b aln|ax b| C5.6.7.8.9.b|Cax bb22bln|ax b| ax bx(3x 4)2dx解這是含有3x 4的積分在積分表中查得公式2. (axb)dx1(axb)1C(1)a(1)3. xdx-1(axbbln|axb|)Caxba24. x2dx-11(axb)22b(axb)b2ln|axb|Caxba32dx11naxbCx(axb)bxdx1alaxb0一丁lnCx2(axb)bxb2xx-7dx-1ln|ax(axb)2a

30、2x2.1,732dxaxb(axb)2a3dx11.axbn-TTlnCx(axb)2b(axb)b2xx-dx-1ln|axb|(axb)2a2bCaxb現(xiàn)在a3、b4x14dx1ln|3x4|-4(3x4)293x4二、含有Jaxb的積分axbdx2(axb)3C3a12.xaxbdx_2T(3ax2b)(axb)3C15a23.x2，axbdx2-nr(15a2x212abx8b2)(axb)3C105a34.5.x,axbx2.axbdxdx6.dxxvaxb7.dx8.x2-axb33dxx9.axbx2三、含x2dx-22(ax2b),axbC3a22-(3a2x24abx8b2

31、).axbC15a3''11n廄Waxbv'baxbb7bC(b0)arctan-axbC(b0).axbadxbx2bx、axb2、axbbrdxx、axbaxbadxx2x，axba2的積分dx2.dx2n3dx3.(x2a2)n2(n1)a2(x2a2)n12(n1)a2(x2a2)n1四、含有ax2b(a0)的積分1.-dx-ax2b1arctan.axC(bab、b0)(b0)2.aXbdx1大皿坪2b|C3.x2dxxbdxax2baaax2b4.dxx(ax2 b)LnC2b|ax2 b|5-x2(axxb)bxba74dx6.dx土in|ax2b|x3(

32、ax2b)2b2x27.dxx11dx(ax2b)22b(ax2b)2bax2b五、含有ax2bxc(a0)的積分dx六、含有%,x2a2(a0)的積分arsh-C1ln(x.x2a2)Ca2.dxxa2-x2 a24.1x25.6.-=lx.x2 a2x2.(x2 a2)3x x2dx7.dxx x2 a2-ln a8.dxx2 - x2 a29.x2 a2dxa2_ Ca2a2-ln(x.x2 a2)xx2 a2x2 a2|x|x2 a2a2xxx2a2ln(x.x2 a2) x2 a2)dxx4x29因?yàn)閐x - dx所以這是含有 JX2飛2的積分 這里a 2在積分表中查得公式dx1.x2a2anInCx,x2a2a|x|于是dxx. 4x2 9123214x2 9 3-in32|x|七、含有v'x2-2(a0)的積分2.3.dx,x2 a2dx,(x2 a2)3xarch 兇 C1 in |x . x2 a21 C|x| 一ax a2 . x2a2 Cx dx . x2 a2 C, x2 a25.x2dx.x2 a2x x2 a2 和|x.x2 a21