314　空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示

1、3.1.4空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示【選題明細(xì)表】 知識點、方法題號空間向量基本定理的概念1,2用基底表示向量4,6,9,10,11空間向量的坐標(biāo)表示3,5,7,8【基礎(chǔ)鞏固】1.有以下三個命題:三個非零向量a,b,c不能構(gòu)成空間的一個基底,則a,b,c共面;若兩個非零向量a,b與任何一個向量都不能構(gòu)成空間的一個基底,則a,b共線;若a,b是兩個不共線向量,而c=a+b(,R且0),則a,b,c能構(gòu)成空間的一個基底.其中真命題的個數(shù)是(C)(A)0(B)1(C)2(D)3解析:正確,中,由平面向量的基本定理可知a,b,c共面,故為假命題.選C.2.設(shè)p:a,b,c是三個非零向量;q:a,b

2、,c為空間的一個基底,則p是q的(B)(A)充分不必要條件(B)必要不充分條件(C)充要條件 (D)既不充分也不必要條件解析:當(dāng)非零向量a,b,c不共面時,a,b,c可以當(dāng)基底,否則不能當(dāng)基底.當(dāng)a,b,c為基底時,一定有a,b,c為非零向量.因此p/ q,qp.故選B.3.在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中,下列說法正確的是(D)(A)向量的坐標(biāo)與點B的坐標(biāo)相同(B)向量的坐標(biāo)與點A的坐標(biāo)相同(C)向量與向量的坐標(biāo)相同(D)向量與向量-的坐標(biāo)相同解析:因為A點不一定為坐標(biāo)原點,所以A不正確;同理B,C都不正確;由于=-,所以D正確.4.(2019武漢檢測)長方體ABCD-A1B1C1D1中,AC與B

3、D的交點為M.設(shè)=a,=b,=c,則下列向量中與相等的向量是(A)(A)-a+b+c(B)a+b+c(C)a-b+c(D)-a-b+c解析:=+=+=+(+)=+(+)=c+(-a+b)=-a+b+c.故選A.5.三棱錐P-ABC中,ABC為直角,PB平面ABC,AB=BC=PB=1,M為PC的中點,N為AC的中點,以,為基底,則的坐標(biāo)為解析:=-=(+)-(+)=-,即=(,0,-).答案:(,0,-)6.已知四面體ABCD,=a,=b,=c,點M在棱DA上,=3,N為BC中點,則=.解析:如圖所示,連接DN,則=+=-+(+)=-a+b+c.答案:-a+b+c7.已知ABCD-A1B1C1

4、D1是棱長為2的正方體,E,F分別為BB1和DC的中點,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,試寫出,的坐標(biāo).解:設(shè)x,y,z軸的單位向量分別為e1,e2,e3,其方向與各軸的正方向相同,則=+=2e1+2e2+2e3,所以=(2,2,2).因為=+=2e1+2e2+e3,所以=(2,2,1).因為=e2,所以=(0,1,0).【能力提升】8.以棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1的棱AB,AD,AA1所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則平面AA1B1B對角線交點的坐標(biāo)為(B)(A)(0,)(B)(,0,)(C)(,0)(D)(,)解析:如圖,由題意知平面AA1B1B對角線交點

5、的橫坐標(biāo)為AB的中點值,豎坐標(biāo)為AA1的中點值,縱坐標(biāo)為0,所以平面AA1B1B對角線交點的坐標(biāo)為(,0,).故選B.9.如圖,在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,M為AC和BD的交點,若=a,=b,=c,則=.解析:=-=(+)-(+)=-+-=-a+b-c.答案:-a+b-c10.在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別在B1B和D1D上,且BE=BB1,DF=DD1.(1)證明:A,E,C1,F四點共面;(2)若=x+y+z,求x+y+z的值.(1)證明:因為=+=+=(+)+(+)=(+)+(+)=+,所以A,E,C1,F四點共面.(2)解:因為=-=+-(+)=+-=-+,所以x=-1,y=1,z=,所以x+y+z=.【探究創(chuàng)新】11.如圖,在平行六面體ABCD-ABCD中,E,F,G分別是AD,DD,DC的中點,請選擇恰當(dāng)?shù)幕紫蛄孔C明:(1)EGAC;(2)平