32 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式貝努利不等式

1、3.2用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，貝努利不等式3.2.1用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式3.2.2用數(shù)學(xué)歸納法證明貝努利不等式1.會用數(shù)學(xué)歸納法證明簡單的不等式.2.會用數(shù)學(xué)歸納法證明貝努利不等式；了解貝努利不等式的應(yīng)用條件.基礎(chǔ)初探教材整理1用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式在不等關(guān)系的證明中，有多種多樣的方法，其中數(shù)學(xué)歸納法是最常用的方法之一，在運用數(shù)學(xué)歸納法證不等式時，推導(dǎo)“k1”成立時其他的方法如比較法、分析法、綜合法、放縮法等常被靈活地運用.教材整理2貝努利不等式1.定理1(貝努利不等式)設(shè)x1，且x0，n為大于1的自然數(shù)，則(1x)n1nx.2.定理2(選學(xué))設(shè)為有理數(shù)，x1，(1)如果01，則(1x)1x

2、；(2)如果1，則(1x)1x.當(dāng)且僅當(dāng)x0時等號成立.事實上，當(dāng)是實數(shù)時，也是成立的.設(shè)nN，則2n與n的大小關(guān)系是()A.2nnB.2nn，即2nn.【答案】A質(zhì)疑手記預(yù)習(xí)完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問1： 解惑： 疑問2： 解惑： 疑問3： 解惑： 小組合作型數(shù)學(xué)歸納法證明不等式已知Sn1(n1，nN)，求證：S2n1(n2，nN).【精彩點撥】求Sn 再證明比較困難，可運用數(shù)學(xué)歸納法直接證明，注意Sn表示前n項的和(n1)，首先驗證n2，然后證明歸納遞推.【自主解答】(1)當(dāng)n2時，S2211，即n2時命題成立.(2)假設(shè)nk(k2，kN)時命題成立，即S2k

3、11.當(dāng)nk1時，S2k11111.故當(dāng)nk1時，命題也成立.由(1)(2)知，對nN，n2，S2n1都成立.此題容易犯兩個錯誤，一是由nk到nk1項數(shù)變化弄錯，認(rèn)為的后一項為，實際上應(yīng)為；二是共有多少項之和，實際上 2k1到2k1是自然數(shù)遞增，項數(shù)為2k1(2k1)12k.再練一題1.若在本例中，條件變?yōu)椤霸O(shè)f(n)1(nN)，由f(1)1，f(3)1，f(7)，f(15)2，” .試問：你能得到怎樣的結(jié)論？并加以證明.【解】數(shù)列1,3,7,15，通項公式為an2n1，數(shù)列，1，2，通項公式為an，猜想：f(2n1).下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n1時，f(211)f(1)1，不等式成立.假設(shè)當(dāng)

4、nk(k1，kN)時不等式成立，即f(2k1)，則f(2k11)f(2k1)f(2k1)f(2k1).當(dāng)nk1時不等式也成立.據(jù)知對任何nN原不等式均成立.利用數(shù)學(xué)歸納法比較大小設(shè)Pn(1x)n，Qn1nxx2，nN，x(1，)，試比較Pn與Qn的大小，并加以證明. 【導(dǎo)學(xué)號：38000059】【精彩點撥】本題考查數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，解答本題需要先對n取特殊值，猜想Pn與Qn的大小關(guān)系，然后利用數(shù)學(xué)歸納法證明.【自主解答】(1)當(dāng)n1,2時，PnQn.(2)當(dāng)n3時，(以下再對x進行分類).若x(0，)，顯然有PnQn.若x0，則PnQn.若x(1,0)，則P3Q3x30，所以P3Q3.P4Q4

5、4x3x4x3(4x)0，所以P4Q4.假設(shè)PkQk(k3)，則Pk1(1x)Pk(1x)QkQkxQk1kxxkx21(k1)xx2x3Qk1x3Qk1，即當(dāng)nk1時，不等式成立.所以當(dāng)n3，且x(1,0)時，PnQn.1.利用數(shù)學(xué)歸納法比較大小，關(guān)鍵是先用不完全歸納法歸納出兩個量的大小關(guān)系，猜測出證明的方向，再用數(shù)學(xué)歸納法證明結(jié)論成立.2.本題除對n的不同取值會有Pn與Qn之間的大小變化，變量x也影響Pn與Qn的大小關(guān)系，這就要求我們在探索大小關(guān)系時，不能只顧“n”，而忽視其他變量(參數(shù))的作用.再練一題2.已知數(shù)列an，bn與函數(shù)f(x)，g(x)，xR，滿足條件：b1b，anf(bn)

6、g(bn1)(nN)，若函數(shù)yf(x)為R上的增函數(shù)，g(x)f1(x)，b1，f(1)1，證明：對任意xN，an1an.【證明】因為g(x)f1(x)，所以ang(bn1)f1(bn1)，即bn1f(an).下面用數(shù)學(xué)歸納法證明an1an(nN).(1)當(dāng)n1時，由f(x)為增函數(shù)，且f(1)1，得a1f(b1)f(1)1，b2f(a1)f(1)1，a2f(b2)f(1)a1，即a2a1，結(jié)論成立.(2)假設(shè)nk時結(jié)論成立，即ak1ak.由f(x)為增函數(shù)，得f(ak1)f(ak)，即bk2bk1.進而得f(bk2)f(bk1)，即ak2ak1.這就是說當(dāng)nk1時，結(jié)論也成立.根據(jù)(1)和(

7、2)可知，對任意的nN，an1an.利用貝努利不等式證明不等式設(shè)n為正整數(shù)，記ann+1，n1,2,3，.求證：an1an.【精彩點撥】用求商比較法證明an11，n1,2,3，.由于1，因此，根據(jù)貝努利不等式，有1.anan1對于一切正整數(shù)n都成立.本題在證明的過程中，綜合運用了求商比較法，放縮法，進而通過貝努利不等式證明不等式成立.再練一題3.設(shè)a為有理數(shù)，x1.如果0a1，證明：(1x)a1ax，當(dāng)且僅當(dāng)x0時等號成立.【證明】0a1，令a，1mn2(nN).【精彩點撥】【自主解答】(1)當(dāng)n1時，左邊2124；右邊1，左邊右邊；當(dāng)n2時，左邊2226，右邊224，所以左邊右邊；當(dāng)n3時，

8、左邊23210，右邊329，所以左邊右邊.因此當(dāng)n1,2,3時，不等式成立.(2)假設(shè)當(dāng)nk(k3且kN)時，不等式成立，即2k2k2(kN).當(dāng)nk1時，2k1222k22(2k2)22k22k22k1k22k3(k22k1)(k1)(k3)k22k1(k1)2.(因為k3，則k30，k10)所以2k12(k1)2，故當(dāng)nk1時，原不等式也成立.根據(jù)(1)(2)知，原不等式對于任何nN都成立.1.本例中，針對目標(biāo)k22k1，由于k的取值范圍(k1)太大，不便于縮小.因此，用增加奠基步驟(把驗證n1擴大到驗證n1,2,3)的方法，使假設(shè)中k的取值范圍適當(dāng)縮小到k3，促使放縮成功，達到目標(biāo).2.

9、利用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列型不等式的關(guān)鍵是由nk到nk1的變形.為滿足題目的要求，常常要采用“放”與“縮”等手段，但是放縮要有度，這是一個難點，解決這個難題一是要仔細(xì)觀察題目結(jié)構(gòu)，二是要靠經(jīng)驗積累.再練一題4.設(shè)x1，且x0，n為大于1的自然數(shù)，用數(shù)學(xué)歸納法證明(1x)n1nx.【證明】(1)當(dāng)n2時，由x0，知(1x)212xx212x，因此n2時命題成立.(2)假設(shè)nk(k2為正整數(shù))時命題成立，即(1x)k1kx，則當(dāng)nk1時，(1x)k1(1x)k(1x)(1kx)(1x)1xkxkx21(k1)x.即nk1時，命題也成立.由(1)(2)及數(shù)學(xué)歸納法知原命題成立.不等式中的探索、猜想、證明

10、探究2利用數(shù)學(xué)歸納法解決探索型不等式的思路是什么？【提示】利用數(shù)學(xué)歸納法解決探索型不等式的思路是先通過觀察、判斷，猜想出結(jié)論，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明.這種分析問題和解決問題的思路是非常重要的，特別是在求解存在型或探索型問題時.若不等式對一切正整數(shù)n都成立，求正整數(shù)a的最大值，并證明你的結(jié)論. 【導(dǎo)學(xué)號：38000060】【精彩點撥】先通過n取值計算，求出a的最大值，再用數(shù)學(xué)歸納法進行證明，證明時，根據(jù)不等式特征，在第二步，運用比差法較方便.【自主解答】當(dāng)n1時，則，a.(1)n1時，已證.(2)假設(shè)當(dāng)nk時(k1，kN)，當(dāng)nk1時，.，0，也成立.由(1)(2)可知，對一切nN，都有，a的最大

11、值為25.1.不完全歸納的作用在于發(fā)現(xiàn)規(guī)律，探究結(jié)論，但結(jié)論必須證明.2.本題中從nk到nk1時，左邊添加項是，這一點必須清楚.再練一題5.設(shè)an1(nN)，是否存在n的整式g(n)，使得等式a1a2a3an1g(n)(an1)對大于1的一切正整數(shù)n都成立？證明你的結(jié)論.【解】假設(shè)g(n)存在，那么當(dāng)n2時，由a1g(2)(a21)，即1g(2)，g(2)2；當(dāng)n3時，由a1a2g(3)(a31)，即1g(3)，g(3)3，當(dāng)n4時，由a1a2a3g(4)(a41)，即1g(4)，g(4)4，由此猜想g(n)n(n2，nN).下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n2，nN時，等式a1a2a3an1n(an

12、1)成立.(1)當(dāng)n2時，a11，g(2)(a21)21，結(jié)論成立.(2)假設(shè)當(dāng)nk(k2，kN)時結(jié)論成立，即a1a2a3ak1k(ak1)成立，那么當(dāng)nk1時，a1a2ak1akk(ak1)ak(k1)akk(k1)ak(k1)1(k1)(k1)(ak11)，說明當(dāng)nk1時，結(jié)論也成立，由(1)(2)可知，對一切大于1的正整數(shù)n，存在g(n)n使等式a1a2a3an1g(n)(an1)成立.構(gòu)建體系1.用數(shù)學(xué)歸納法證不等式：1成立，起始值至少取()A.7B.8C.9D.10【解析】左邊等比數(shù)列求和Sn2，即1，n7，n取8，選B.【答案】B2.用數(shù)學(xué)歸納法證明2nn2(n5，nN)成立時第二步歸納假設(shè)的正確寫法是()A.假設(shè)nk時命題成立B.假設(shè)nk(kN)時命題成立C.假設(shè)nk(k5)時命題成立D.假設(shè)nk(k5)時命題成立【解析】由題意知n5，nN，故應(yīng)假設(shè)nk(k5)時命題成立.【答案】C3.用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式(n2，nN)的過程中，由nk遞推到nk1時不等式左邊() 【導(dǎo)學(xué)號：38000061】A.增加了一項B.增加了兩項，C.增加了兩項，但減少了一項D.以上各種情況均不對【解析】nk時，左邊，nk1時，左邊，增加了兩項，少了一項.【答案】C4.用