421　曲線的極坐標(biāo)方程的意義

1、4.2.1曲線的極坐標(biāo)方程的意義1理解曲線的極坐標(biāo)方程的意義2掌握求曲線的極坐標(biāo)方程的基本方法和一般步驟3掌握曲線的極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化基礎(chǔ)·初探1曲線的極坐標(biāo)方程一般地，如果一條曲線上任意一點(diǎn)都有一個(gè)極坐標(biāo)適合方程f(，)0；并且，極坐標(biāo)適合方程f(，)0的點(diǎn)都在曲線上那么這個(gè)方程稱(chēng)為這條曲線的極坐標(biāo)方程，這條曲線稱(chēng)為這個(gè)極坐標(biāo)方程的曲線2求曲線的極坐標(biāo)方程的基本步驟(1)建系(建立適當(dāng)?shù)臉O坐標(biāo)系)；(2)設(shè)點(diǎn)(在曲線上任取一點(diǎn)P(，)，使點(diǎn)與坐標(biāo)對(duì)應(yīng))；(3)列式(根據(jù)曲線上的點(diǎn)所滿足的條件列出等式)；(4)化簡(jiǎn)(用極坐標(biāo)，表示上述等式，化簡(jiǎn)得極坐標(biāo)方程)；(5)證明(

2、證明所得的方程是曲線的極坐標(biāo)方程)3直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程的互化或思考·探究1曲線的極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的含義有什么不同？【提示】由于平面上點(diǎn)的極坐標(biāo)的表示形式不惟一，即(，)，(，2)，(，)，(，)都表示同一點(diǎn)的坐標(biāo)，這與點(diǎn)的直角坐標(biāo)的惟一性明顯不同所以對(duì)于曲線上的點(diǎn)的極坐標(biāo)的多種表示形式，只要求至少有一個(gè)能滿足極坐標(biāo)方程即可例如對(duì)于極坐標(biāo)方程，點(diǎn)M(，)可以表示為(，2)或(，2)或(，)等多種形式，其中，只有(，)的極坐標(biāo)滿足方程.2在極坐標(biāo)系內(nèi)，如何確定某一個(gè)點(diǎn)P是否在某曲線C上？【提示】在直角坐標(biāo)系內(nèi)，曲線上每一點(diǎn)的坐標(biāo)一定適合它的方程，可是在極坐標(biāo)系內(nèi)，曲線上一點(diǎn)

3、的所有坐標(biāo)不一定都適合方程，所以在極坐標(biāo)系內(nèi)，確定某一個(gè)點(diǎn)P是否在某一曲線C上，只需判斷點(diǎn)P的極坐標(biāo)中是否有一個(gè)坐標(biāo)適合曲線C的方程即可質(zhì)疑·手記預(yù)習(xí)完成后，請(qǐng)將你的疑問(wèn)記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問(wèn)1：_解惑：_疑問(wèn)2：_解惑：_疑問(wèn)3：_解惑：_求曲線的極坐標(biāo)方程(1)求過(guò)點(diǎn)A(1,0)且傾斜角為的直線的極坐標(biāo)方程；(2)在極坐標(biāo)系中，求半徑為r，圓心為C的圓的極坐標(biāo)方程【自主解答】(1)如圖，設(shè)M(，)(0)為直線上除點(diǎn)A以外的任意一點(diǎn)，則xAM，OAM，OMA，在OAM中，由正弦定理得，即，所以sin()，即(sincos cossin )，化簡(jiǎn)，得(cos sin )

4、1，經(jīng)檢驗(yàn)點(diǎn)A(1,0)的坐標(biāo)適合上述方程，所以滿足條件的直線的極坐標(biāo)方程為(cos sin )1.(2)由題意知，圓經(jīng)過(guò)極點(diǎn)O，設(shè)OA為其一條直徑，設(shè)M(，)為圓上除點(diǎn)O，A以外的任意一點(diǎn)，如圖，則OA2r，連接AM，則OMMA，在RtOAM中，OMOAcosAOM，即2rcos()，即2rsin ，經(jīng)驗(yàn)證，點(diǎn)O(0,0)，A(2r，)的坐標(biāo)皆滿足上式，所以滿足條件的圓的極坐標(biāo)方程為2rsin .再練一題1(1)求從極點(diǎn)出發(fā)，傾斜角為的射線的極坐標(biāo)方程(2)在極坐標(biāo)平面上，求圓心為A，半徑為5的圓的方程【導(dǎo)學(xué)號(hào)：98990009】【解】(1)設(shè)M(，)是所求射線上的任意一點(diǎn)，則射線OM就是集

5、合.所以所求射線的極坐標(biāo)方程是(0)(2)在圓上任取一點(diǎn)P(，)，那么，在AOP中，OA8，AP5，AOP或.由余弦定理得528222×8××cos()，即216cos390為所求圓的極坐標(biāo)方程.直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程的互化進(jìn)行直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程的互化(1)y24x；(2)y2x22x10；(3)；(4)cos21；(5)2cos 24；(6).【自主解答】(1)將xcos ，ysin 代入y24x，得(sin )24cos ，化簡(jiǎn)得sin24cos .(2)將xcos ，ysin 代入y2x22x10得(sin )2(cos )22cos 10，化簡(jiǎn)得2

6、2cos 10.(3)tan .tan，化簡(jiǎn)得yx(x0)(4)cos21.1即cos 2.x2，化簡(jiǎn)得y24(x1)(5)2cos 24，2(cos2sin2)4，即2cos22sin24，x2y24.(6)，2cos 1，2x1，化簡(jiǎn)得3x24y22x10.再練一題2進(jìn)行直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程的互化(1)yx；(2)x2y21；(3)cos 2；(4)2cos .【解】(1)將xcos ，ysin 代入yx得sin cos ，從而.(2)將xcos ，ysin 代入x2y21，得2cos22sin21，化簡(jiǎn)，得2.(3)cos 2，x2，是過(guò)點(diǎn)(2,0)且垂直于x軸的直線(4)2cos

7、，22cos ，x2y22x0，即 (x1)2y21.故曲線是圓心在(1,0)，半徑為1的圓.極坐標(biāo)方程的應(yīng)用已知曲線C1，C2的極坐標(biāo)方程分別為cos 3，4cos (0,0)，求曲線C1與C2交點(diǎn)的極坐標(biāo)【思路探究】聯(lián)立兩極坐標(biāo)方程求解、即為交點(diǎn)的極坐標(biāo)【自主解答】聯(lián)立方程組得即4cos23，cos ±.又0，0，.將代入方程組，得2，C1與C2交點(diǎn)的極坐標(biāo)為(2，)解決極坐標(biāo)系中曲線問(wèn)題大致有兩種思路：化方程為直角坐標(biāo)方程再處理；根據(jù)、的幾何意義，數(shù)形結(jié)合再練一題3在以O(shè)為極點(diǎn)的極坐標(biāo)系中，直線l與曲線C的極坐標(biāo)方程分別是cos()3和sin28cos ，直線l與曲線C交于點(diǎn)A

8、、B，求線段AB的長(zhǎng)【解】直線l與曲線C的直角坐標(biāo)方程分別是xy6和y28x.解方程組得或設(shè)A(2，4)，B(18,12)，所以AB16.真題鏈接賞析(教材第32頁(yè)習(xí)題4.2第5題)將下列極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程：(1)sin3；(2)5sin；(3)2cos 216；(4).若曲線的極坐標(biāo)方程為2sin 4cos ，以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸正半軸建立直角坐標(biāo)系，則該曲線的直角坐標(biāo)方程為_(kāi)【命題意圖】本題主要考查曲線的極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化【解析】2sin 4cos ，22sin 4cos ，x2y22y4x，即x2y22y4x0.【答案】x2y22y4x01在極坐標(biāo)系中有如下三個(gè)結(jié)

9、論：點(diǎn)P在曲線C上，則點(diǎn)P的極坐標(biāo)滿足C的極坐標(biāo)方程；tan 1(R)和(R)表示同一條曲線；1和1表示同一條曲線其中正確的命題是_(填寫(xiě)相應(yīng)的序號(hào))【解析】在極坐標(biāo)系中，曲線上的點(diǎn)的極坐標(biāo)中必有滿足曲線方程的坐標(biāo)，但不一定所有坐標(biāo)都滿足極坐標(biāo)方程，錯(cuò)誤；tan 1(R)和 (R)均表示經(jīng)過(guò)極點(diǎn)傾斜角為的直線，正確；1和1均表示以極點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓，正確【答案】2在極坐標(biāo)系中，過(guò)點(diǎn)P且垂直于極軸的直線方程為_(kāi)【導(dǎo)學(xué)號(hào)：98990010】【解析】設(shè)直線與極軸的交點(diǎn)為A，則OAOP·cos ，又設(shè)直線上任意一點(diǎn)M(，)，則OM·cos OA，即cos .【答案】cos 3極坐標(biāo)方程1表示_【解析】由1得21，即x2y21，故表示