第一篇 第2練

1、第2練復數(shù)與平面向量明晰考情1.命題角度：復數(shù)的四那么運算和幾何意義；以平面圖形為背景 ,考查平面向量的線性運算、平面向量的數(shù)量積.2.題目難度：復數(shù)題目為低檔難度 ,平面向量題目為中低檔難度.考點一復數(shù)的概念與四那么運算要點重組(1)復數(shù)：形如abi(a ,bR)的數(shù)叫做復數(shù) ,其中a ,b分別是它的實部和虛部 ,i為虛數(shù)單位.假設b0 ,那么abi為實數(shù)；假設b0 ,那么abi為虛數(shù)；假設a0且b0 ,那么abi為純虛數(shù).(2)復數(shù)相等：abicdiac且bd(a ,b ,c ,dR).(3)共軛復數(shù)：abi與cdi共軛ac ,bd(a ,b ,c ,dR).(4)復數(shù)的模：向量的模r叫做

2、復數(shù)zabi(a ,bR)的模 ,記作|z|或|abi| ,即|z|abi|r(r0 ,rR).(5)復數(shù)的四那么運算類似于多項式的四那么運算 ,復數(shù)除法的關鍵是分子分母同乘分母的共軛復數(shù).1.(2019·全國)等于()A.i B.iC.i D.i答案D解析i.應選D.2.a ,bR ,i是虛數(shù)單位.假設ai與2bi互為共軛復數(shù) ,那么(abi)2等于()A.54i B.54iC.34i D.34i答案D解析由得a2 ,b1 ,即abi2i ,(abi)2(2i)234i.應選D.3.i是虛數(shù)單位 ,a ,bR ,那么“ab1是“(abi)22i的()A.充分不必要條件 B.必要不充

3、分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件答案A解析當ab1時 ,(abi)2(1i)22i ,反過來(abi)2a2b22abi2i ,那么a2b20,2ab2 ,解得a1 ,b1或a1 ,b1.故“ab1是“(abi)22i的充分不必要條件 ,應選A.4.復數(shù)z(12i)(3i) ,其中i為虛數(shù)單位 ,那么z的實部是_.答案5解析z(12i)(3i)55i.故z的實部為5.考點二 復數(shù)的幾何意義要點重組(1)復數(shù)zabi復平面內(nèi)的點Z(a ,b)(a ,bR).(2)復數(shù)zabi(a ,bR)平面向量.5.設aR ,假設(13i)(1ai)R(i是虛數(shù)單位) ,那么a等于()A.3 B.

4、3 C. D.答案B解析(13i)(1ai)1ai3i3a ,(13i)(1ai)R ,虛部為0 ,那么a30 ,a3.6.(2019·株洲質(zhì)檢)設復數(shù)z滿足(1i)zi ,那么|z|等于()A. B.C. D.2答案A解析由(1i)zi ,得zi ,|z|.7.如圖 ,在復平面內(nèi) ,復數(shù)z1 ,z2對應的向量分別是 , ,那么|z1z2|_.答案2解析由題意知 ,z12i ,z2i ,z1z22 ,|z1z2|2.8.復數(shù)z ,那么復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點位于第_象限.答案二解析因為i4nkik(nZ) ,且ii2i3i40 ,所以ii2i3i2 019ii2i3i1i1 ,所以z

5、(1i)i ,對應的點為 ,在第二象限.考點三 平面向量的線性運算方法技巧(1)向量加法的平行四邊形法那么：共起點；三角形法那么：首尾相連；向量減法的三角形法那么：共起點連終點 ,指向被減.(2)O為平面上任意一點 ,那么A ,B ,C三點共線的充要條件是存在s ,t ,使得st ,且st1 ,s ,tR.(3)證明三點共線問題 ,可轉(zhuǎn)化為向量共線解決.9.(2019·全國)在ABC中 ,AD為BC邊上的中線 ,E為AD的中點 ,那么等于()A. B.C. D.答案A解析作出示意圖如下圖.×()().應選A.10.如圖 ,在ABC中 ,N是AC邊上一點 ,且 ,P是BN上的

6、一點 ,假設m ,那么實數(shù)m的值為()A. B. C.1 D.3答案B解析 , ,mm.又B ,N ,P三點共線 ,m1 ,m.11.如圖 ,在正方形ABCD中 ,M ,N分別是BC ,CD的中點 ,假設 ,那么等于()A.2 B.C. D.答案D解析方法一如圖以AB ,AD為坐標軸建立平面直角坐標系 ,設正方形邊長為1 , , ,(1,1). ,解得故.方法二以 ,作為基底 ,M ,N分別為BC ,CD的中點 , , , ,又 ,因此解得所以.12.假設|a|1 ,|b| ,且|a2b| ,那么向量a與向量b夾角的大小是_.答案解析由|a2b| ,得|a|24a·b4|b|27 ,

7、14a·b4×37 ,a·b.cosa ,b ,又0a ,b ,a ,b.考點四平面向量的數(shù)量積方法技巧(1)向量數(shù)量積的求法：定義法 ,幾何法(利用數(shù)量積的幾何意義) ,坐標法.(2)向量運算的兩種根本方法：基向量法 ,坐標法.13.向量a(1,2) ,b(1,0) ,c(3,4) ,假設為實數(shù) ,(ba)c ,那么的值為()A. B.C. D.答案A解析ba(1,0)(1,2)(1 ,2) ,又c(3,4) ,且(ba)c ,所以(ba)·c0 ,即3(1)2×43380 ,解得.14.(2019·全國)ABC是邊長為2的等邊三角

8、形 ,P為平面ABC內(nèi)一點 ,那么·()的最小值是()A.2 B.C. D.1答案B解析方法一(解析法)建立坐標系如圖所示 ,那么A ,B ,C三點的坐標分別為A(0 ,) ,B(1 ,0) ,C(1,0).圖設P點的坐標為(x ,y) ,那么P(x ,y) ,(1x ,y) ,(1x ,y) ,·()(x ,y)·(2x ,2y)2(x2y2y)22×.當且僅當x0 ,y時 ,·()取得最小值 ,最小值為.應選B.方法二(幾何法)如圖所示 ,2(D為BC的中點) ,那么·()2·.圖要使·最小 ,那么與方向相反

9、,即點P在線段AD上 ,那么(2·)min2| ,問題轉(zhuǎn)化為求|的最大值.又當點P在線段AD上時 ,|2× ,|22 ,·()min(2·)min2×.應選B.15.(2019·全國)向量 , ,那么ABC等于()A.30° B.45° C.60° D.120°答案A解析|1 ,|1 ,cosABC.又0°ABC180° ,ABC30°.16.在平面內(nèi) ,···6 ,動點P ,M滿足|2 , ,那么|2的最大值是_.答案16解析由易得A

10、BC是等邊三角形且邊長為2.設O是ABC的中心 ,那么|2.以O為原點 ,直線OA為x軸建立平面直角坐標系 ,如下圖 ,那么A(2,0) ,B(1 ,) ,C(1 ,).設P(x ,y) ,由|2 ,得(x2)2y24. ,M , ,|2 ,它表示圓(x2)2y24上的點P(x ,y)與點D(1 ,3)的距離的平方的 ,|max228 ,|16.1.(2019·全國)設有下面四個命題：p1：假設復數(shù)z滿足R ,那么zR；p2：假設復數(shù)z滿足z2R ,那么zR；p3：假設復數(shù)z1 ,z2滿足z1z2R ,那么z12；p4：假設復數(shù)zR ,那么R.其中的真命題為()A.p1 ,p3 B.

11、p1 ,p4 C.p2 ,p3 D.p2 ,p4答案B解析設zabi(a ,bR) ,z1a1b1i(a1 ,b1R) ,z2a2b2i(a2 ,b2R).對于p1 ,假設R ,即R ,那么b0 ,即zabiaR ,所以p1為真命題；對于p2 ,假設z2R ,即(abi)2a22abib2R ,那么ab0.當a0 ,b0時 ,zabibiR ,所以p2為假命題；對于p3 ,假設z1z2R ,即(a1b1i)(a2b2i)(a1a2b1b2)(a1b2a2b1)iR ,那么a1b2a2b10.而z12 ,即a1b1ia2b2ia1a2 ,b1b2.因為a1b2a2b10D/a1a2 ,b1b2

12、,所以p3為假命題；對于p4 ,假設zR ,即abiR ,那么b0abiaR ,所以p4為真命題.應選B.2.在ABC中 ,有如下命題 ,其中正確的選項是_.(填序號)；0；假設()·()0 ,那么ABC為等腰三角形；假設·>0 ,那么ABC為銳角三角形.答案解析在ABC中 , ,錯誤；假設·>0 ,那么B是鈍角 ,ABC是鈍角三角形 ,錯誤.3.向量a(1,2) ,b(1,1) ,且a與ab的夾角為銳角 ,那么實數(shù)的取值范圍是_.答案解析ab(1 ,2) ,由a·(ab)>0 ,可得>.又a與ab不共線 ,0.故>且0.解

13、題秘籍(1)復數(shù)的概念是考查的重點 ,虛數(shù)及純虛數(shù)的意義要把握準確.(2)復數(shù)的運算中除法運算是高考的熱點 ,運算時要分母實數(shù)化(分子分母同乘以分母的共軛復數(shù)) ,兩個復數(shù)相等的條件在復數(shù)運算中經(jīng)常用到.(3)注意向量夾角的定義和范圍.在ABC中 ,和的夾角為B；向量a ,b的夾角為銳角要和a·b>0區(qū)別開來(不要無視向量共線情況 ,兩向量夾角為鈍角類似處理).1.設i是虛數(shù)單位 ,那么復數(shù)i3等于()A.i B.3iC.i D.3i答案C解析i3ii2ii.應選C.2.bi(a ,bR) ,那么ab等于()A.1 B.1C.2 D.2答案B解析方法一由可得a2i(bi)i ,

14、即a2ibi1.由復數(shù)相等可得所以ab1.方法二2aibi ,由復數(shù)相等可得解得所以ab1.3.設i是虛數(shù)單位 ,那么復數(shù)在復平面內(nèi)所對應的點位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答案B解析1i ,由復數(shù)的幾何意義知 ,1i在復平面內(nèi)的對應點為(1,1) ,該點位于第二象限 ,應選B.4.(2019·安慶模擬)在ABC中 ,點D是邊BC上任意一點 , M是線段AD的中點 ,假設存在實數(shù)和 ,使得 ,那么等于()A. B.C.2 D.2答案B解析因為點D在邊BC上 ,所以存在tR ,使得tt.因為M是線段AD的中點 ,所以()(t1)t.又 ,所以(t1) ,t

15、,所以.5.“復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點在第三象限是“a0的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件答案D解析由題意得za3i ,假設z在復平面內(nèi)對應的點在第三象限 ,那么a<0 ,應選D.6.(2019·通州期末)ABC的外接圓的圓心為O ,半徑為1 ,假設0 ,且| ,那么·等于()A. B.C.3 D.2答案C解析0 , ,故點O是BC的中點 ,且ABC為直角三角形 ,又ABC的外接圓的半徑為1 ,| ,BC2 ,AB1 ,CA ,BCA30° ,·|·cos 30°×2&#

16、215;3.7.a>0 ,2 ,那么a等于()A.2 B. C. D.1答案B解析2 ,即a23.又a>0 ,a.8.(2019·梧州模擬)在ABC中 ,AB2 ,AC3 ,BC ,假設向量m滿足|m2|3 ,那么|m|的最大值與最小值的和為()A.7 B.8C.9 D.10答案D解析由AB2 ,AC3 ,BC ,得BC2AB2AC2 ,即A為直角.以A點為坐標原點 ,AB所在直線為x軸 ,AC所在直線為y軸建立平面直角坐標系(圖略) ,那么A(0,0) ,B(2,0) ,C(0,3) ,設m的終點坐標為(x ,y) ,|m2|3 ,(x4)2(y3)29 ,故|m|的最大值與最小值分別為圓(x4)2(y3)29上的點到原點距離的最大值和最小值 ,故最大值為538 ,最小值為532 ,即最大值與最小值之和為10 ,應選D.9.z134i ,z2ti ,且z1·2是實數(shù) ,那么實數(shù)t_.答案解析z2ti ,2ti ,z1·2(34i)(ti)3t3i4ti4i2(3t4)(4t3)i.又z1·2是實數(shù) ,4t30 ,即t.10.假設點M是ABC所在平面內(nèi)的一點 ,且滿足53 ,那么ABM與ABC的面積之比為_.答案解析設AB的中點為D ,由53 ,得3322 ,即32.故C ,M ,D三點共線 ,如下圖 , ,也就是AB