應(yīng)用彈塑性力學(xué)ch8-溫度應(yīng)力問題

1、要點要點:（1）溫度場的確定）溫度場的確定 熱傳導(dǎo)微分方程、溫度場邊界條件熱傳導(dǎo)微分方程、溫度場邊界條件的確定。的確定。（2）溫度應(yīng)力場問題的基本方程）溫度應(yīng)力場問題的基本方程（3）溫度應(yīng)力場問題的求解方法）溫度應(yīng)力場問題的求解方法8-1 8-1 關(guān)于溫度場和熱傳導(dǎo)的一些概念關(guān)于溫度場和熱傳導(dǎo)的一些概念 8-2 8-2 熱傳導(dǎo)微分方程熱傳導(dǎo)微分方程8-3 8-3 溫度場的邊值條件溫度場的邊值條件8-4 8-4 按位移求解溫度應(yīng)力的平面問題按位移求解溫度應(yīng)力的平面問題8-1 8-1 關(guān)于溫度場和熱傳導(dǎo)的一些概念關(guān)于溫度場和熱傳導(dǎo)的一些概念（1 1） 溫度應(yīng)力溫度應(yīng)力當(dāng)彈性體的當(dāng)彈性體的溫度改變溫

2、度改變時，由于時，由于受到約束作用受到約束作用，造成，造成彈性體彈性體不能不能自由膨脹與收縮，由此而產(chǎn)生的應(yīng)力。自由膨脹與收縮，由此而產(chǎn)生的應(yīng)力。 稱為稱為溫度應(yīng)力溫度應(yīng)力或或變溫應(yīng)力變溫應(yīng)力溫度應(yīng)力產(chǎn)生的條件：溫度應(yīng)力產(chǎn)生的條件：溫度改變；溫度改變；受到約束作用，物體不能自由變形。受到約束作用，物體不能自由變形。（2 2） 熱傳導(dǎo)熱傳導(dǎo)熱量從物體的一部分傳遞到另一部分，或從一個物體傳入熱量從物體的一部分傳遞到另一部分，或從一個物體傳入與之相接觸的另一物體。與之相接觸的另一物體。 稱為熱傳導(dǎo)稱為熱傳導(dǎo)（3 3） 溫度場及其描述溫度場及其描述任一瞬時，物體內(nèi)各點的溫度隨位置（坐標(biāo)）的分布規(guī)律，任

3、一瞬時，物體內(nèi)各點的溫度隨位置（坐標(biāo)）的分布規(guī)律，稱為該瞬時的溫度場。稱為該瞬時的溫度場。),(tzyxTT 穩(wěn)定穩(wěn)定溫度場：溫度場：若物體內(nèi)各點的溫度若物體內(nèi)各點的溫度只隨位置（坐標(biāo)）而變化只隨位置（坐標(biāo)）而變化，而不隨時間，而不隨時間而變化的溫度場。而變化的溫度場。穩(wěn)定穩(wěn)定溫度場溫度場：若物體內(nèi)各點的溫度若物體內(nèi)各點的溫度只隨位置（坐標(biāo)）而變化只隨位置（坐標(biāo)）而變化，而不隨時間，而不隨時間而變化的溫度場。而變化的溫度場。 即：即：0),(ttzyxT不穩(wěn)定不穩(wěn)定溫度場溫度場： 穩(wěn)定穩(wěn)定溫度場也稱溫度場也稱定常溫度場。定常溫度場。若物體內(nèi)各點的溫度若物體內(nèi)各點的溫度不僅隨位置（坐標(biāo)）而變化不

4、僅隨位置（坐標(biāo)）而變化，而且隨時，而且隨時間而變化的溫度場。間而變化的溫度場。 不穩(wěn)定不穩(wěn)定溫度場也稱溫度場也稱非定常溫度場。非定常溫度場。平面穩(wěn)定平面穩(wěn)定溫度場溫度場：),(tyxTT 0),(ttyxT, 0),(ztyxT（4 4） 等溫度面等溫度面任一瞬時，連接場內(nèi)溫度相同的各點，得任一瞬時，連接場內(nèi)溫度相同的各點，得到的曲面，稱為該瞬時的等溫面。到的曲面，稱為該瞬時的等溫面。（4 4） 等溫度面等溫度面任一瞬時，連接場內(nèi)溫度相同的各點，得任一瞬時，連接場內(nèi)溫度相同的各點，得到的曲面，稱為該瞬時的等溫面。到的曲面，稱為該瞬時的等溫面。圖中虛線表示相差為圖中虛線表示相差為T 的一些等溫面

5、。的一些等溫面。等溫度面的性質(zhì)等溫度面的性質(zhì)：（a）沿等溫面，溫度不變；而沿其它面，）沿等溫面，溫度不變；而沿其它面，溫度都為變化的。溫度都為變化的。（b）沿等溫面的法線方向，溫度的變化）沿等溫面的法線方向，溫度的變化率最大。率最大。（5 5） 溫度梯度溫度梯度為表示溫度為表示溫度 T 在某一點在某一點 P 處的變化率，在處的變化率，在 P 點取一點取一矢量矢量，稱為，稱為溫度梯度，溫度梯度， 用用T 表示。表示。T：方向：方向： 沿等沿等溫面的法線方向，即指溫度增加的方向；溫面的法線方向，即指溫度增加的方向；大小：大?。簄T取等取等溫面的法線方向單位矢量為溫面的法線方向單位矢量為 n0，沿溫

6、度，沿溫度增加增加方向。方向。（5 5） 溫度梯度溫度梯度為表示溫度為表示溫度 T 在某一點在某一點 P 處的變化率，在處的變化率，在 P 點取一點取一矢量矢量，稱為，稱為溫度梯度，溫度梯度， 用用T 表示。表示。T：方向：方向： 沿等沿等溫面的法線方向，即指溫度增加的方向；溫面的法線方向，即指溫度增加的方向；大?。捍笮。簄T取等取等溫面的法線方向單位矢量為溫面的法線方向單位矢量為 n0，沿溫度增加方向。，沿溫度增加方向。則則溫度梯度可表示為：溫度梯度可表示為：nT0nT溫度梯度的物理意義溫度梯度的物理意義： 溫度梯度代表該點的最大溫度變化率的溫度梯度代表該點的最大溫度變化率的方向方向和和大小

7、大小。溫度梯度的投影：溫度梯度的投影：),cos(xnnT),cos(ynnT),cos(znnTxTyTzT（6 6） 熱流速度與熱流密度熱流速度與熱流密度熱流速度熱流速度：單位時間內(nèi)通過等溫面面積單位時間內(nèi)通過等溫面面積S 的熱量，的熱量，dtdQ用用表示。表示。熱流密度或熱通量：熱流密度或熱通量：通過等溫面單位面積的熱流速度，用通過等溫面單位面積的熱流速度，用 q 表表示示熱流密度的大小熱流密度的大小，則有，則有SdtdQq/熱流密度的熱流密度的矢量表示矢量表示：SdtdQ/0nqn0 為溫度梯度方向的單位矢量。為溫度梯度方向的單位矢量?！啊北硎緹崃髅芏鹊谋硎緹崃髅芏鹊氖噶勘硎臼噶勘硎緌

8、 的方向的方向總是與溫度梯度的方向相反。即：熱量總是與溫度梯度的方向相反。即：熱量總是由高溫面?zhèn)鞯降蜏孛妗？偸怯筛邷孛鎮(zhèn)鞯降蜏孛妗＃? 7） 熱傳導(dǎo)基本定律熱傳導(dǎo)基本定律熱流密度與溫度梯度成正比，而方向相反熱流密度與溫度梯度成正比，而方向相反。即。即Tq（i i）式中，比例常數(shù)式中，比例常數(shù) 稱為稱為導(dǎo)熱系數(shù)導(dǎo)熱系數(shù)，可表示為，可表示為SnTdtdQ/由此可見，由此可見，導(dǎo)熱系數(shù)導(dǎo)熱系數(shù) 的物理意義為的物理意義為：單位溫度梯度下通過等溫面單位面積的熱流速度。單位溫度梯度下通過等溫面單位面積的熱流速度。 的量綱：的量綱： 熱量熱量長度長度 1 1 時間時間 1 1 溫度溫度 1 1熱流密度的大小

9、：熱流密度的大小：nTq熱流密度矢量熱流密度矢量 在在 x 軸上的投影為軸上的投影為q),cos(xqqxq),cos(xnTq),cos(0 xnTnxT同理，熱流密度矢量同理，熱流密度矢量 在在 y 軸、軸、 z 軸上的投影為軸上的投影為q,xTqx,yTqy,zTqz（8-28-2）表明：熱流密度矢量表明：熱流密度矢量 在任一方向上的投影，等于導(dǎo)熱系數(shù)乘在任一方向上的投影，等于導(dǎo)熱系數(shù)乘以溫度在該方向上的遞減率。以溫度在該方向上的遞減率。q8-2 8-2 熱傳導(dǎo)微分方程熱傳導(dǎo)微分方程1. 熱傳導(dǎo)微分方程熱傳導(dǎo)微分方程（1 1） 熱平衡原理熱平衡原理在任意一段時間內(nèi)，物體的在任意一段時間內(nèi)

10、，物體的任一微小部分所積蓄的熱量任一微小部分所積蓄的熱量（亦即溫度升高（亦即溫度升高所需的熱量），等于所需的熱量），等于傳入該微小部分的熱量傳入該微小部分的熱量加上加上內(nèi)部熱源所供給的熱量內(nèi)部熱源所供給的熱量。 熱平衡原理熱平衡原理（2 2） 溫度升高積蓄的熱量溫度升高積蓄的熱量zxyOzxydxdzdy取如圖微元體取如圖微元體 dxdydz ，設(shè)微元體，設(shè)微元體在在dtdt時間內(nèi)，溫度由時間內(nèi)，溫度由 T 升高到：升高到：dttTT由于溫度升高，微元體積蓄的熱量為：由于溫度升高，微元體積蓄的熱量為：dttTdxdydzc式中，式中，為材料的密度；為材料的密度； c 為材料為材料的比熱容，即單

11、位質(zhì)量的物體溫度升高的比熱容，即單位質(zhì)量的物體溫度升高 1 1所需的熱量；所需的熱量；zxyOzxydxdzdyxqdxxqqxx（3 3） 熱流傳入的熱量熱流傳入的熱量在在dt時間內(nèi)，微元體時間內(nèi)，微元體 dxdxydz 的左的左面?zhèn)魅氲臒崃浚好鎮(zhèn)魅氲臒崃浚篸ydzdtqx在在dtdt時間內(nèi)，微元體時間內(nèi)，微元體 dxdxydz 的右的右面?zhèn)鞒龅臒崃浚好鎮(zhèn)鞒龅臒崃浚篸ydzdtdxxqqxx在在dtdt時間內(nèi)，微元體時間內(nèi)，微元體 dxdxydz 凈傳入凈傳入的熱量：的熱量：dxdydzdtxqx由熱流密度與溫度梯度的關(guān)系，有由熱流密度與溫度梯度的關(guān)系，有,22dxdydzdtxTdxdyd

12、zdtxqx同理，可得微元同理，可得微元體從其它兩個方向凈體從其它兩個方向凈傳入的熱量：傳入的熱量：,22dxdydzdtyTdxdydzdtyqydxdydzdtzTdxdydzdtzqz22zxyOzxydxdzdyxqdxxqqxx在在dt時間內(nèi)，微元體時間內(nèi)，微元體 dxdxydz 凈傳入凈傳入的總熱量：的總熱量：dxdydzdtzTyTxT222222Tdxdydzdt2（4 4） 物體內(nèi)熱源產(chǎn)生的熱量物體內(nèi)熱源產(chǎn)生的熱量設(shè)熱源強度為：設(shè)熱源強度為：W（單位時間、單位體積內(nèi)供給的熱量），（單位時間、單位體積內(nèi)供給的熱量），熱源供給微元體熱源供給微元體 dxdxydz 熱量：熱量：則則

13、dt時間內(nèi)，時間內(nèi)，Wdxdydzdt熱源：熱源：（1 1）供熱的熱源）供熱的熱源 正熱源正熱源，如金屬通電發(fā)熱、混凝土硬化，如金屬通電發(fā)熱、混凝土硬化時發(fā)熱、水份結(jié)冰時發(fā)熱等；時發(fā)熱、水份結(jié)冰時發(fā)熱等；（2 2）吸熱的熱源）吸熱的熱源 負(fù)熱源負(fù)熱源；如水蒸發(fā)時吸熱、冰粒溶解時；如水蒸發(fā)時吸熱、冰粒溶解時吸熱等。吸熱等。Tdxdydzdt2Wdxdydzdt（5 5） 熱傳導(dǎo)微分方程熱傳導(dǎo)微分方程zxyOzxydxdzdyxqdxxqqxx由熱平衡原理，可知由熱平衡原理，可知dttTdxdydzc（溫度升高積蓄的熱量）（溫度升高積蓄的熱量）= = （熱流傳入的熱量）（熱源供給的熱量）（熱流傳入

14、的熱量）（熱源供給的熱量） 將上式兩邊同除以：將上式兩邊同除以：,dxdydzdtc并移項整理得：并移項整理得：cWTctT2（a a）或簡寫為：或簡寫為：cWTatT2（b b）其中：其中：ca （8-38-3）a 稱為稱為導(dǎo)溫系數(shù)導(dǎo)溫系數(shù)。單位：米單位：米2/時。時。 熱傳導(dǎo)微分方程。熱傳導(dǎo)微分方程?；炷恋膶?dǎo)溫系數(shù)混凝土的導(dǎo)溫系數(shù) a = 0.003 = 0.003 0.0050.005。cWTatT2（b b） 熱傳導(dǎo)微分方程。熱傳導(dǎo)微分方程。說明：說明： 式中系數(shù)：式中系數(shù)：cWTctT2（a a）ac,均可近似地當(dāng)作常數(shù)，均可近似地當(dāng)作常數(shù)，但熱源強度但熱源強度 W 一般不能一般不

15、能當(dāng)作常量，而必須是當(dāng)作常量，而必須是)(tWW （6 6） 混凝土硬化過程中的熱傳導(dǎo)微分方程混凝土硬化過程中的熱傳導(dǎo)微分方程混凝土硬化期間（硬化發(fā)熱期）混凝土硬化期間（硬化發(fā)熱期） 不穩(wěn)定溫度場（非定常溫度場）不穩(wěn)定溫度場（非定常溫度場）絕熱溫升（絕熱溫升（ ）：把混凝土試塊放在把混凝土試塊放在絕熱的條件絕熱的條件下，使混凝土硬化時發(fā)生的熱量全部下，使混凝土硬化時發(fā)生的熱量全部用于提高混凝土試塊本身的溫度，這時，量得用于提高混凝土試塊本身的溫度，這時，量得試塊溫度的升高值試塊溫度的升高值 。)(t絕熱溫升（絕熱溫升（ ）: :)(t)( C絕熱溫升率：絕熱溫升率：t 絕熱溫升絕熱溫升 關(guān)于時

16、間的變化關(guān)于時間的變化率率混凝土硬化發(fā)熱期熱傳導(dǎo)方程的簡化：混凝土硬化發(fā)熱期熱傳導(dǎo)方程的簡化：由于混凝土試塊不大，且處于絕熱由于混凝土試塊不大，且處于絕熱情況下，所以可近似認(rèn)為試塊內(nèi)的情況下，所以可近似認(rèn)為試塊內(nèi)的溫度溫度分布是均勻的分布是均勻的，即溫度只隨時間而變化，即溫度只隨時間而變化，而不隨坐標(biāo)而變化，即而不隨坐標(biāo)而變化，即T20222222zTyTxT此時，熱傳導(dǎo)微分方程成為：此時，熱傳導(dǎo)微分方程成為：cWtT（b b）cWTatT2（c c）而此時的而此時的 就是絕熱溫升率就是絕熱溫升率 。tTt 因此有因此有tcWtTatT2將其代回式（將其代回式（b b），有），有（8-48-4

17、） 混凝土硬化發(fā)熱期熱傳導(dǎo)微分方程混凝土硬化發(fā)熱期熱傳導(dǎo)微分方程cWtT（b b）cWTatT2（c c）而此時的而此時的 就是絕熱溫升率就是絕熱溫升率 。tTt 因此有因此有tcW8-3 8-3 溫度場的邊值條件溫度場的邊值條件cWTatT2熱傳導(dǎo)微分方程：熱傳導(dǎo)微分方程：cWTctT2或或由方程涉及的變量（由方程涉及的變量（t、x、y、z）初始條件初始條件1. 初始條件初始條件一般形式：一般形式：),(0zyxfTtt（8-58-5）若初始為均勻分布，則：若初始為均勻分布，則：CTtt0（8-68-6）其中：其中：C 為常數(shù)。為常數(shù)。2. 邊界條件邊界條件（1 1） 第一類邊界條件第一類邊

18、界條件已知物體表面上任一點在所有各瞬時的溫度，即已知物體表面上任一點在所有各瞬時的溫度，即),(tzyxfTs) ,(邊界Szyx（8-78-7）可知，其定解條件：可知，其定解條件：、邊界條件。、邊界條件。式中：式中：TS 為物體表面的溫度。為物體表面的溫度。CTs在最簡單的情況下有在最簡單的情況下有（8-88-8）（C 為常數(shù)）為常數(shù)） 此類邊界條件，需由人工來實現(xiàn)，如：將物體與周圍介質(zhì)進行特殊的此類邊界條件，需由人工來實現(xiàn)，如：將物體與周圍介質(zhì)進行特殊的熱交換過程。熱交換過程。（2 2） 第二類邊界條件第二類邊界條件已知物體表面上任一點處已知物體表面上任一點處法向熱流密度法向熱流密度，即，

19、即),(tzyxfqSn),(邊界Szyx其中：下標(biāo)其中：下標(biāo) s 表示表面；下標(biāo)表示表面；下標(biāo) n 表示法向。表示法向。由式（由式（8-18-1）：）：),(tzyxfqnTSnS),(邊界Szyx（8-98-9）（1 1） 第一類邊界條件第一類邊界條件已知物體表面上任一點在所有各瞬時的溫度，即已知物體表面上任一點在所有各瞬時的溫度，即),(tzyxfTs),(邊界Szyx（8-78-7）對絕熱邊界，有對絕熱邊界，有0SnT（8-108-10）（3 3） 第三類邊界條件第三類邊界條件已知物體表面上任一點處已知物體表面上任一點處運流（對流）放熱情況運流（對流）放熱情況。熱量的熱量的運流（對流）

20、定律：運流（對流）定律：單位時間內(nèi)從物體表面單位時間內(nèi)從物體表面?zhèn)飨蛑車橘|(zhì)的熱流密度傳向周圍介質(zhì)的熱流密度與兩者的與兩者的溫度差成正比溫度差成正比)(eSSnTTq（8-118-11）式中：式中： Te 為周圍介質(zhì)的溫度；為周圍介質(zhì)的溫度； 為運流放熱系數(shù)，簡稱為運流放熱系數(shù)，簡稱放熱系數(shù)放熱系數(shù)；利用熱流密度與溫度梯度的關(guān)系，有利用熱流密度與溫度梯度的關(guān)系，有)(eSSTTnT或?qū)懗桑夯驅(qū)懗桑?(eSSTTnT（8-128-12）考慮一種極限情況：考慮一種極限情況：周圍介質(zhì)的周圍介質(zhì)的熱流速度熱流速度很大，運流幾乎是完全的，則很大，運流幾乎是完全的，則物體表面被迫取物體表面被迫取周圍介質(zhì)的

21、溫度周圍介質(zhì)的溫度，此時可近似?。?，此時可近似取：eSTT （8-138-13） 若式中，若式中，Te 是隨時間是隨時間 t 變化的函數(shù)，則式（變化的函數(shù)，則式（8-138-13）同第一類邊界條件。）同第一類邊界條件。若若Te 是不隨時間是不隨時間 t 變化，則式（變化，則式（8-138-13）同第一類邊界條件（）同第一類邊界條件（8-88-8）。）。（4 4） 第四類邊界條件第四類邊界條件已知物體和與之接觸的另一物體以熱傳導(dǎo)方式進行熱交換，且設(shè)兩物已知物體和與之接觸的另一物體以熱傳導(dǎo)方式進行熱交換，且設(shè)兩物體完全接觸，即物體表面溫度體完全接觸，即物體表面溫度 TS 與接觸體表面溫度與接觸體表

22、面溫度 Tc 相同，即相同，即cSTT （8-148-14） 類似于第一類邊界條件類似于第一類邊界條件)(eSSTTnT（8-128-12）3. 熱傳導(dǎo)方程的求解熱傳導(dǎo)方程的求解cWTatT2熱傳導(dǎo)微分方程：熱傳導(dǎo)微分方程：cWTctT2或或初始條件初始條件：),(0zyxfTtt（8-58-5）邊界條件：邊界條件：（1 1） 第一類邊界條件：第一類邊界條件：),(tzyxfTs（8-78-7）（2 2） 第二類邊界條件：第二類邊界條件：),(tzyxfqnTSnS),(邊界Szyx（8-98-9）（3 3） 第三類邊界條件：第三類邊界條件：)(eSSTTnT（8-128-12）（4 4） 第

23、四類邊界條件：第四類邊界條件：cSTT （8-148-14）通常溫度場問題的求解比較困難，尤其難以得到解析解。一般采用數(shù)通常溫度場問題的求解比較困難，尤其難以得到解析解。一般采用數(shù)值求解，如：值求解，如：有限差分法有限差分法，有限單元法有限單元法等。等。cWTatT2熱傳導(dǎo)微分方程：熱傳導(dǎo)微分方程：cWTctT2),(0zyxfTtt（8-58-5）),(tzyxfTs) ,(邊界Szyx（8-78-7）),(tzyxfqnTSnS),(邊界Szyx（8-98-9）)(eSSTTnT（8-128-12）初始條件：初始條件：邊界條件：邊界條件：第一類：第一類：第二類：第二類：第三類：第三類：或：

24、或：溫度應(yīng)力問題：溫度應(yīng)力問題：二、溫度應(yīng)力場的確定二、溫度應(yīng)力場的確定一、溫度場一、溫度場 T 的確定的確定8-4 8-4 按位移求解溫度應(yīng)力的平面問題按位移求解溫度應(yīng)力的平面問題說明：說明：在以后的討論中，在以后的討論中，T 表示溫度的改變，而不是某一點的溫度。表示溫度的改變，而不是某一點的溫度。升溫時，升溫時， T 為正；降溫時，為正；降溫時， T 為負(fù)。為負(fù)。1. 熱彈性問題的基本假定熱彈性問題的基本假定（1 1）材料在材料在熱學(xué)熱學(xué)和和力學(xué)力學(xué)意義上都是彈性的、均勻的、各向同性的。即意義上都是彈性的、均勻的、各向同性的。即有材料常數(shù)均與位置、方向無關(guān)。有材料常數(shù)均與位置、方向無關(guān)。（

25、2 2）材料常數(shù)與溫度變化無關(guān)，或取平均值；不考慮蠕變、松馳和相材料常數(shù)與溫度變化無關(guān)，或取平均值；不考慮蠕變、松馳和相變等發(fā)生。變等發(fā)生。（3 3）不考慮溫度變化速率所引起的慣性效應(yīng)。不考慮溫度變化速率所引起的慣性效應(yīng)。（4 4）不計變形與溫度變化之間的耦合效應(yīng)。不計變形與溫度變化之間的耦合效應(yīng)。 稱稱非耦合的線性熱彈性理論非耦合的線性熱彈性理論，簡稱，簡稱“熱彈性理論熱彈性理論”。2. 熱彈性問題的基本方程熱彈性問題的基本方程（1 1）平衡微分方程、幾何方程、相容方程、邊界條件）平衡微分方程、幾何方程、相容方程、邊界條件同第二章給出的結(jié)果。同第二章給出的結(jié)果。2. 熱彈性問題的基本方程熱彈

26、性問題的基本方程（1 1）平衡微分方程、幾何方程、相容方程、邊界條件）平衡微分方程、幾何方程、相容方程、邊界條件00YyxXyxyxyyxx（2-2）yuxvyvxuxyyx 幾何方程幾何方程（2-9） 平衡微分方程平衡微分方程yxxyxyyx22222（2-22） 相容方程相容方程vvuuss（2-17）YlmXmlsxysysxysx)()()()(（2-18） 位移邊界條件位移邊界條件 應(yīng)力邊界條件應(yīng)力邊界條件（2 2）物理方程）物理方程dxdzdyTdxdxTdydyTdzdzT自自由由變變形形從物體內(nèi)任取一微元體從物體內(nèi)任取一微元體 dxdxydz ， 當(dāng)溫度升當(dāng)溫度升高高 T 度時

27、，各邊的長度變形為度時，各邊的長度變形為TdxdxTdydyTdzdz其中，其中， 為線膨脹系數(shù)。為線膨脹系數(shù)。 其熱應(yīng)變?yōu)槠錈釕?yīng)變?yōu)門zyx0zxyzxy（a）可見，可見，自由熱變形自由熱變形引起體積變形引起體積變形。其體積應(yīng)變：。其體積應(yīng)變：Tezyx3當(dāng)微元體的變形受到約束限制而不能自由發(fā)生，或同時受其它載荷作用時，當(dāng)微元體的變形受到約束限制而不能自由發(fā)生，或同時受其它載荷作用時，微元體的總應(yīng)變就由其它條件引起的應(yīng)變與溫度引起的應(yīng)變之和，即微元體的總應(yīng)變就由其它條件引起的應(yīng)變與溫度引起的應(yīng)變之和，即TEzyxx)(1TExzyy)(1TEyxzz)(1yzyzG1xyxyG1zxzxG1

28、（8-15） 溫度應(yīng)力問溫度應(yīng)力問題題物理方程物理方程xyyztba（a）平面平面 應(yīng)力情形應(yīng)力情形圖示等厚薄板，圖示等厚薄板，在同時受到外力和在同時受到外力和變溫變溫 T 作用，作用， 設(shè)溫度和外力均不隨板厚設(shè)溫度和外力均不隨板厚z 方向變化，方向變化， 此時仍有此時仍有, 0z, 0yz0 xz將其代入式（將其代入式（8-15），有），有TEyxx)(1TExyy)(1xyxyE)1 (2（8-16）將其上式用形變分量表示，有將其上式用形變分量表示，有（b）1)(12TEEyxx1)(12TEExyyxyxyE)1 (2（c）（b）平面應(yīng)變情形平面應(yīng)變情形如無限長柱體，如無限長柱體， 在同

29、時受到外力和在同時受到外力和 變溫變溫 T 作用，作用，設(shè)溫度和外力均不設(shè)溫度和外力均不隨板厚隨板厚z 方向變化，即：方向變化，即：T =T（x，y）。）。此時仍構(gòu)成一平面應(yīng)變問題，有此時仍構(gòu)成一平面應(yīng)變問題，有, 0z, 0yz0 xz將其代入式（將其代入式（8-15），有），有TEyxx)1 ()1(12TExyy)1 ()1(12xyxyE)1 (2（h）比較平面應(yīng)力情形式（比較平面應(yīng)力情形式（8-16），有），有TEyxx)(1TExyy)(1xyxyE)1 (2（8-16）EE211)1 ( TEyxz)(（8-20）TEzyxx)(1TExzyy)(1TEyxzz)(1yzyzG1

30、xyxyG1zxzxG1（8-15） 溫度應(yīng)力問溫度應(yīng)力問題題物理方程物理方程 3. 按位移求解溫度應(yīng)力的基本方程按位移求解溫度應(yīng)力的基本方程幾何方程：幾何方程：,xux,yvyyuxvxy（d）將其代入式（將其代入式（c），有），有1)(12TEyvxuEx1)(12TExuyvEyyuxvExy)1 (2（8-17）將其代入平衡方程（設(shè)將其代入平衡方程（設(shè)X =Y =0），有），有0)1 (212122222xTyxvyuxu0)1 (212122222yTyxuxvyv（8-18）0)1 (212122222xTyxvyuxu0)1 (212122222yTyxuxvyv（8-18）討論

31、：討論：分別代替了體力分量：分別代替了體力分量：0)1 (212122222xTyxvyuxu0)1 (212122222yTyxuxvyv（8-18）021211021211222222222222YyxuxvyvEXyxvyuxuE（2-20）yTExTE1,1（1）將式（）將式（8-18）與式（）與式（2-20）比較：）比較：YX,（平衡微分方程比較平衡微分方程比較）（3）由以上比較，得到結(jié)論由以上比較，得到結(jié)論：在一定的位移邊界條件下，彈性體中由于變溫引起的位移，就等于在一定的位移邊界條件下，彈性體中由于變溫引起的位移，就等于溫度不變而受有下列假想載荷作用時的位移：溫度不變而受有下列假

32、想載荷作用時的位移：體力分量：體力分量：,1xTEXyTEY1（f）（4）溫度應(yīng)力的實驗?zāi)M：）溫度應(yīng)力的實驗?zāi)M：可由上述替換，通過加載荷的方法，代替加熱?？捎缮鲜鎏鎿Q，通過加載荷的方法，代替加熱。把一個熱學(xué)與力學(xué)的把一個熱學(xué)與力學(xué)的耦合問題，轉(zhuǎn)變?yōu)橐粋€單純的力學(xué)問題。耦合問題，轉(zhuǎn)變?yōu)橐粋€單純的力學(xué)問題。（5）對于既有溫度應(yīng)力，又有其它載荷引起的應(yīng)力時，需將兩者疊加即可。）對于既有溫度應(yīng)力，又有其它載荷引起的應(yīng)力時，需將兩者疊加即可。8-5 8-5 位移勢函數(shù)的應(yīng)用位移勢函數(shù)的應(yīng)用1. 按位移求解的基本方程按位移求解的基本方程0)1 (212122222xTyxvyuxu0)1 (21212

33、2222yTyxuxvyv（8-18）位移表示的平衡方程位移表示的平衡方程 2. 求解過程求解過程基本步驟：基本步驟：（1）求出微分方程（）求出微分方程（8-18）的任一組特解，這組解只要求滿）的任一組特解，這組解只要求滿足微分方程（足微分方程（8-18），而不必滿足邊界條件。），而不必滿足邊界條件。（2）不計變溫）不計變溫T，求出微分方程（，求出微分方程（8-18）的任一組補充解，）的任一組補充解，然后，將兩組解疊加，使其滿足全部邊界條件。然后，將兩組解疊加，使其滿足全部邊界條件。（1）求方程（）求方程（8-18）的一組特解）的一組特解引入一函數(shù)引入一函數(shù)),(yx使位移特解表示為使位移特解

34、表示為,xuyv（8-21）函數(shù)函數(shù)),(yx稱為稱為位移勢函數(shù)位移勢函數(shù)。 將將vu,代入方程代入方程 (8-18)0)1 (212122222xTyxvyuxu0)1 (212122222yTyxuxvyv（8-18）得到：得到：xTx)1 (2yTy)1 (2注意到，注意到，、 均為常數(shù)，均為常數(shù)， 若取函數(shù)若取函數(shù) 滿足下列微分方程：滿足下列微分方程：T)1 (2（8-22）則方程（則方程（8-18）能滿足。）能滿足。 表明式（表明式（8-21）能作為一組特解。）能作為一組特解。式（式（8-22）亦）亦可表示為：可表示為：2)1 (1T（8-22）1)(12TEyvxuEx1)(12T

35、ExuyvEyyuxvExy)1 (2（8-17）,xuyv（8-21）再將式（再將式（8-21）與式（）與式（8-22）代入式（）代入式（8-17），），可得到位移特解的應(yīng)力分量為：可得到位移特解的應(yīng)力分量為：221yEx221xEyyxExy21（2）不計變溫）不計變溫T，求方程（，求方程（8-18）的一組補充解）的一組補充解設(shè)補充解為：設(shè)補充解為：vu ,使其方程（使其方程（8-18）的齊次方程（不計變溫）：）的齊次方程（不計變溫）：0212122222 yxvyuxu0212122222 yxuxvyv總的位移分量：總的位移分量：,uuu vvv 它必須滿足位移邊界條件；它必須滿足位移

36、邊界條件； 總的應(yīng)力分量：總的應(yīng)力分量：,xxx ,yyy xyxyxy 它必須滿足應(yīng)力邊界條件。它必須滿足應(yīng)力邊界條件。說明：說明：（1）當(dāng)溫度變化函數(shù)）當(dāng)溫度變化函數(shù) T 已知時，已知時，方程（方程（8-22）：）：T)1 (2（8-22）通常比較容易求解。通常比較容易求解。 但必須先求出溫度變化場但必須先求出溫度變化場T。（2）方程（）方程（8-18）的補充解）的補充解 不容易由下述方程直接求得不容易由下述方程直接求得vu ,0212122222 yxvyuxu0212122222 yxuxvyv而通常用而通常用應(yīng)力函數(shù)解法應(yīng)力函數(shù)解法來求解。來求解。（3）疊加特解和補充解，以滿足問題的

37、全部邊界條件）疊加特解和補充解，以滿足問題的全部邊界條件但對應(yīng)于位移特解的應(yīng)力分量仍可式（但對應(yīng)于位移特解的應(yīng)力分量仍可式（8-23）求得，即）求得，即221yEx221xEyyxExy21（8-23）應(yīng)力分量應(yīng)力分量 的計算也不變，即的計算也不變，即zTEyxz)(（8-20）（3）對于平面應(yīng)變問題，）對于平面應(yīng)變問題，三個材料常數(shù)三個材料常數(shù)須作相應(yīng)的替換。須作相應(yīng)的替換。位移勢函數(shù)位移勢函數(shù) 所滿足的方程（所滿足的方程（8-22）變?yōu)椋海┳優(yōu)椋篢12（8-22）T1121)1 ( 例：例：圖示矩形薄板，發(fā)生如下變溫：圖示矩形薄板，發(fā)生如下變溫：)1 (220byTT其中：其中：T0 為常數(shù)。試求其應(yīng)力分布。為常數(shù)。試求其應(yīng)力分布。解：解：（1）由方程（）由方程（8-22）求位移勢函數(shù)）求位移勢函數(shù) 求特解求特解T)1 (2（8-22）22021)1 (byT（a）取位移勢函數(shù)取位移勢函數(shù)為為42ByAy （b）代入式（代入式（a），可確定常數(shù)），可確定常數(shù)A、B22021)1 (122byTByA兩邊比較系數(shù)，得常數(shù)兩邊比較系數(shù)，得常數(shù)A、B,2)1 (0TA,12)1 (20bTB將常數(shù)將常數(shù)A、B代回式（代回式（b）, 有有2420122)1 (byyT求特解應(yīng)力分量：求特解應(yīng)力分量：24