matlab 黃金分割法

1、黃金分割法 東南大學(xué)機(jī)械學(xué)院*一 黃金分割法基本思路黃金分割法適用于a，b區(qū)間上的任何單谷函數(shù)求極小值問題，對(duì)函數(shù)除要求“單谷”外不做其他要求，甚至可以不連續(xù)。因此，這種方法的適應(yīng)面非常廣。黃金分割法也是建立在區(qū)間消去法原理基礎(chǔ)上的試探方法，即在搜索區(qū)間a，b內(nèi)適當(dāng)插入兩點(diǎn)a1，a2，并計(jì)算其函數(shù)值。a1，a2將區(qū)間分成三段，應(yīng)用函數(shù)的單谷性質(zhì)，通過函數(shù)值大小的比較，刪去其中一段，是搜索區(qū)間得以縮小。然后再在保留下來的區(qū)間上作同樣的處理，如此迭代下去，是搜索區(qū)間無限縮小，從而得到極小點(diǎn)的數(shù)值近似解。二 黃金分割法的基本原理一維搜索是解函數(shù)極小值的方法之一，其解法思想為沿某一已知方向求目標(biāo)函數(shù)的

2、極小值點(diǎn)。一維搜索的解法很多，這里主要采用黃金分割法（0.618法）。該方法用不變的區(qū)間縮短率0.618代替斐波那契法每次不同的縮短率，從而可以看成是斐波那契法的近似，實(shí)現(xiàn)起來比較容易，也易于人們所接受。黃金分割法是用于一元函數(shù)f(x)在給定初始區(qū)間a,b內(nèi)搜索極小點(diǎn)xmin的一種方法。它是優(yōu)化計(jì)算中的經(jīng)典算法，以算法簡單、收斂速度均勻、效果較好而著稱，是許多優(yōu)化算法的基礎(chǔ)，但它只適用于一維區(qū)間上的凸函數(shù)，即只在單峰區(qū)間內(nèi)才能進(jìn)行一維尋優(yōu)，其收斂效率較低。其基本原理是：依照“去劣存優(yōu)”原則、對(duì)稱原則、以及等比收縮原則來逐步縮小搜索區(qū)間。具體步驟是：在區(qū)間a,b內(nèi)取點(diǎn)：a1 ，a2 把a(bǔ),b分為

3、三段。 如果f(a1)>f(a2)，令a=a1,a1=a2,a2=a+0.618*(b-a)； 如果f(a1)<f(a2) ，令b=a2，a2=a1,a1=b-0.618*(b-a)；如果(b-a)/b和(y1-y2)/y2都大于收斂精度重新開始循環(huán)。因?yàn)閍,b為單峰區(qū)間，這樣每次可將搜索區(qū)間縮小0.618倍，處理后的區(qū)間都將包含極小點(diǎn)的區(qū)間縮小，然后在保留下來的區(qū)間上作同樣的處理，如此迭代下去，將使搜索區(qū)a,b逐步縮小，直到滿足預(yù)先給定的精度時(shí)，即獲得一維優(yōu)化問題的近似最優(yōu)解。插入點(diǎn)原理圖如下：三 實(shí)驗(yàn)程序框圖四 程序運(yùn)行結(jié)果例如：f=x2+2*x,給定搜索區(qū)間-3,5,求此函數(shù)

4、的極小點(diǎn)。1. 首先運(yùn)行主程序：2.會(huì)提示你輸入各個(gè)變量的值：2. 輸完各個(gè)變量的值，以及所求函數(shù)后，再運(yùn)行 ：xmin=golden(f,a,b,e)系統(tǒng)調(diào)用m文件的內(nèi)容，這時(shí)候matlab就會(huì)輸出函數(shù)的最優(yōu)值。即該函數(shù)的最小值點(diǎn)在x=-1，最小點(diǎn)的函數(shù)值fmin=-1，一共經(jīng)過了29次迭代。五 實(shí)驗(yàn)心得 通過此次實(shí)驗(yàn)，加深了對(duì)黃金分割法的基本理論和算法框圖及步驟的全面理解，掌握了matlab的使用方法。此方法適用于一維函數(shù)求最小值的問題。原理比較簡單，稍微復(fù)雜一點(diǎn)的就是縮小區(qū)間的時(shí)候怎么進(jìn)行換名，另外一個(gè)難點(diǎn)就是如何用matlab來實(shí)現(xiàn)，此次實(shí)驗(yàn)通過自學(xué)matlab的基本操作以及matla

5、b編程語言，最后完成了此次實(shí)驗(yàn)。 附錄matlab程序代碼主程序：syms x a b e; %定義變量a=input('搜索區(qū)間的第一點(diǎn)a='); %確定搜索區(qū)間b=input('搜索區(qū)間的第二點(diǎn)b=');e=input('搜索精度ne='); %收斂精度disp('需求的優(yōu)化函數(shù)f=f(x)，調(diào)用xmin=golden(f,a,b,e)');m文件：function xmin=golden(f,a,b,e)k=0;a1 =b-0.618*(b-a); %插入點(diǎn)的值a2 =a+0.618*(b-a);while b-a>e %循環(huán)條件 y1=subs(f,a1); y2=subs(f,a2);if y1>y2 %比較插入點(diǎn)的函數(shù)值的大小 a=a1; %進(jìn)行換名 a1=a2; y1=y2; a2=a+0.618*(b-a);else b=a2; a2=a1; y2=y1; a1=b-0.618*(b-a);endk=k+1;end %迭代到滿足條件