高考數(shù)學函數(shù)與方程的思想方法

1、高考數(shù)學函數(shù)與方程的思想方法函數(shù)思想，是指用函數(shù)的概念和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題和解決問題。方程思想，是從問題的數(shù)量關(guān)系入手，運用數(shù)學語言將問題中的條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學模型（方程、不等式、或方程與不等式的混合組），然后通過解方程（組）或不等式（組）來使問題獲解。有時，還實現(xiàn)函數(shù)與方程的互相轉(zhuǎn)化、接軌，達到解決問題的目的。笛卡爾的方程思想是：實際問題數(shù)學問題代數(shù)問題方程問題。宇宙世界，充斥著等式和不等式。我們知道，哪里有等式，哪里就有方程；哪里有公式，哪里就有方程；求值問題是通過解方程來實現(xiàn)的等等；不等式問題也與方程是近親，密切相關(guān)。而函數(shù)和多元方程沒有什么本質(zhì)的區(qū)別，如函數(shù)yf(x)，就可以看作關(guān)于

2、x、y的二元方程f(x)y0?？梢哉f，函數(shù)的研究離不開方程。列方程、解方程和研究方程的特性，都是應(yīng)用方程思想時需要重點考慮的。函數(shù)描述了自然界中數(shù)量之間的關(guān)系，函數(shù)思想通過提出問題的數(shù)學特征，建立函數(shù)關(guān)系型的數(shù)學模型，從而進行研究。它體現(xiàn)了“聯(lián)系和變化”的辯證唯物主義觀點。一般地，函數(shù)思想是構(gòu)造函數(shù)從而利用函數(shù)的性質(zhì)解題，經(jīng)常利用的性質(zhì)是：f(x)、f(x)的單調(diào)性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、圖像變換等，要求我們熟練掌握的是一次函數(shù)、二次函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)的具體特性。在解題中，善于挖掘題目中的隱含條件，構(gòu)造出函數(shù)解析式和妙用函數(shù)的性質(zhì)，是應(yīng)用函數(shù)思想的關(guān)鍵。對所給

3、的問題觀察、分析、判斷比較深入、充分、全面時，才能產(chǎn)生由此及彼的聯(lián)系，構(gòu)造出函數(shù)原型。另外，方程問題、不等式問題和某些代數(shù)問題也可以轉(zhuǎn)化為與其相關(guān)的函數(shù)問題，即用函數(shù)思想解答非函數(shù)問題。函數(shù)知識涉及的知識點多、面廣，在概念性、應(yīng)用性、理解性都有一定的要求，所以是高考中考查的重點。我們應(yīng)用函數(shù)思想的幾種常見題型是：遇到變量，構(gòu)造函數(shù)關(guān)系解題；有關(guān)的不等式、方程、最小值和最大值之類的問題，利用函數(shù)觀點加以分析；含有多個變量的數(shù)學問題中，選定合適的主變量，從而揭示其中的函數(shù)關(guān)系；實際應(yīng)用問題，翻譯成數(shù)學語言，建立數(shù)學模型和函數(shù)關(guān)系式，應(yīng)用函數(shù)性質(zhì)或不等式等知識解答；等差、等比數(shù)列中，通項公式、前n項

4、和的公式，都可以看成n的函數(shù)，數(shù)列問題也可以用函數(shù)方法解決。、再現(xiàn)性題組：1.方程lgxx3的解所在的區(qū)間為_。A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,+)2.如果函數(shù)f(x)xbxc對于任意實數(shù)t，都有f(2t)f(2t)，那么_。A. f(2)<f(1)<f(4) B. f(1)<f(2)<f(4) C. f(2)<f(4)<f(1) D. f(4)<f(2)<f(1)3.已知函數(shù)yf(x)有反函數(shù)，則方程f(x)a (a是常數(shù)) _。A.有且僅有一個實根 B.至多一個實根 C.至少一個實根 D.不同于以上結(jié)論4.已

5、知sincos，(，)，則tg的值是_。A. B. C. D. 5.已知等差數(shù)列的前n項和為S，且SS (pq，p、qN)，則S_。6.關(guān)于x的方程sinxcosxa0有實根，則實數(shù)a的取值范圍是_。7.正六棱錐的體積為48,側(cè)面與底面所成的角為45°，則此棱錐的側(cè)面積為_。8. 建造一個容積為8m，深為2m的長方體無蓋水池，如果池底和池壁的造價每平方米分別為120元和80元，則水池的最低造價為_?！竞喗狻?小題：圖像法解方程，也可代入各區(qū)間的一個數(shù)（特值法或代入法），選C；2小題：函數(shù)f(x)的對稱軸為2，結(jié)合其單調(diào)性，選A；3小題：從反面考慮，注意應(yīng)用特例，選B；4小題：設(shè)tgx

6、 (x>0），則，解出x2，再用萬能公式，選A；5小題：利用是關(guān)于n的一次函數(shù)，設(shè)SSm，x，則（,p）、(,q)、(x，p+q)在同一直線上，由兩點斜率相等解得x0，則答案：0；6小題：設(shè)cosxt，t-1,1，則att1,1，所以答案：,1；7小題：設(shè)高h，由體積解出h2，答案：24；8小題：設(shè)長x，則寬，造價y4×1204x×80×801760，答案：1760。、示范性題組：例1. 設(shè)a>0，a1，試求方程log(xak)log(xa)有實數(shù)解的k的范圍。(89年全國高考)【分析】由換底公式進行換底后出現(xiàn)同底，再進行等價轉(zhuǎn)化為方程組，分離參數(shù)后分

7、析式子特點，從而選用三角換元法，用三角函數(shù)的值域求解?！窘狻?將原方程化為：log(xak)log， 等價于 （a>0,a1） k ( |>1 ）, 設(shè)csc， (,0)(0, )，則 kf()csc|ctg|當(,0)時，f()cscctgctg<1，故k<1；當(0, )時，f()cscctgtg(0,1)，故0<k<1；綜上所述，k的取值范圍是：k<1或0<k<1。 y C C -ak -a a x 【注】 求參數(shù)的范圍，分離參數(shù)后變成函數(shù)值域的問題，觀察所求函數(shù)式，引入新的變量，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的值域問題，在進行三角換元時，要注意新的

8、變量的范圍。一般地，此種思路可以解決有關(guān)不等式、方程、最大值和最小值、參數(shù)范圍之類的問題。本題還用到了分離參數(shù)法、三角換元法、等價轉(zhuǎn)化思想等數(shù)學思想方法。另一種解題思路是采取“數(shù)形結(jié)合法”： 將原方程化為：log(xak)log，等價于xak (xak>0)，設(shè)曲線C：yxak，曲線C：y (y>0)，如圖所示。由圖可知，當ak>a或a<ak<0時曲線C與C有交點，即方程有實解。所以k的取值范圍是：k<1或0<k<1。還有一種思路是直接解出方程的根，然后對方程的根進行討論，具體過程是：原方程等價變形為后，解得：，所以>ak，即k>0，

9、通分得<0，解得k<1或0<k<1。所以k的取值范圍是：k<1或0<k<1。例2. 設(shè)不等式2x1>m(x1)對滿足|m|2的一切實數(shù)m的取值都成立。求x的取值范圍?！痉治觥?此問題由于常見的思維定勢，易把它看成關(guān)于x的不等式討論。然而，若變換一個角度以m為變量，即關(guān)于m的一次不等式(x1)m(2x1)<0在-2,2上恒成立的問題。對此的研究，設(shè)f(m)(x1)m(2x1)，則問題轉(zhuǎn)化為求一次函數(shù)（或常數(shù)函數(shù)）f(m)的值在-2,2內(nèi)恒為負值時參數(shù)x應(yīng)該滿足的條件?！窘狻繂栴}可變成關(guān)于m的一次不等式：(x1)m(2x1)<0在-2,2

10、 恒成立，設(shè)f(m)(x1)m(2x1),則 解得x（,）【注】 本題的關(guān)鍵是變換角度，以參數(shù)m作為自變量而構(gòu)造函數(shù)式，不等式問題變成函數(shù)在閉區(qū)間上的值域問題。本題有別于關(guān)于x的不等式2x1>m(x1)的解集是-2,2時求m的值、關(guān)于x的不等式2x1>m(x1)在-2,2上恒成立時求m的范圍。一般地，在一個含有多個變量的數(shù)學問題中，確定合適的變量和參數(shù)，從而揭示函數(shù)關(guān)系，使問題更明朗化?；蛘吆袇?shù)的函數(shù)中，將函數(shù)自變量作為參數(shù)，而參數(shù)作為函數(shù)，更具有靈活性，從而巧妙地解決有關(guān)問題。例3. 設(shè)等差數(shù)列a的前n項的和為S，已知a12，S>0，S<0 。.求公差d的取值范圍

11、； .指出S、S、S中哪一個值最大，并說明理由。(92年全國高考)【分析】 問利用公式a與S建立不等式，容易求解d的范圍；問利用S是n的二次函數(shù)，將S中哪一個值最大，變成求二次函數(shù)中n為何值時S取最大值的函數(shù)最值問題?！窘狻?由aa2d12,得到a122d，所以S12a66d12(122d)66d14442d>0，S13a78d13(122d)78d15652d<0。 解得：<d<3。 Snan(n11)dn(122d)n(n1)dn(5)(5)因為d<0，故n(5)最小時，S最大。由<d<3得6<(5)<6.5，故正整數(shù)n6時n(5)最小

12、，所以S最大?！咀ⅰ?數(shù)列的通項公式及前n項和公式實質(zhì)上是定義在自然數(shù)集上的函數(shù)，因此可利用函數(shù)思想來分析或用函數(shù)方法來解決數(shù)列問題。也可以利用方程的思想，設(shè)出未知的量，建立等式關(guān)系即方程，將問題進行算式化，從而簡潔明快。由次可見，利用函數(shù)與方程的思想來解決問題，要求靈活地運用、巧妙的結(jié)合，發(fā)展了學生思維品質(zhì)的深刻性、獨創(chuàng)性。本題的另一種思路是尋求a>0、a<0 ，即：由d<0知道a>a>>a，由S13a<0得a<0，由S6(aa)>0得a>0。所以，在S、S、S中，S的值最大。例4. 如圖，AB是圓O的直徑，PA垂直于圓O所在平面，

13、C是圓周上任一點，設(shè)BAC，PAAB=2r，求異面直線PB和AC的距離。【分析】 異面直線PB和AC的距離可看成求直線PB上任意一點到AC的距離的最小值，從而設(shè)定變量，建立目標函數(shù)而求函數(shù)最小值。 P MA H B D C【解】 在PB上任取一點M，作MDAC于D，MHAB于H，設(shè)MHx，則MH平面ABC，ACHD 。MDx(2rx)sin(sin1)x4rsinx4rsin(sin1)x即當x時，MD取最小值為兩異面直線的距離。【注】 本題巧在將立體幾何中“異面直線的距離”變成“求異面直線上兩點之間距離的最小值”，并設(shè)立合適的變量將問題變成代數(shù)中的“函數(shù)問題”。一般地，對于求最大值、最小值的

14、實際問題，先將文字說明轉(zhuǎn)化成數(shù)學語言后，再建立數(shù)學模型和函數(shù)關(guān)系式，然后利用函數(shù)性質(zhì)、重要不等式和有關(guān)知識進行解答。比如再現(xiàn)性題組第8題就是典型的例子。例5. 已知ABC三內(nèi)角A、B、C的大小成等差數(shù)列，且tgA·tgC2，又知頂點C的對邊c上的高等于4,求ABC的三邊a、b、c及三內(nèi)角。【分析】已知了一個積式，考慮能否由其它已知得到一個和式，再用方程思想求解?！窘狻?由A、B、C成等差數(shù)列，可得B60°；由ABC中tgAtgBtgCtgA·tgB·tgC，得tgAtgCtgB(tgA·tgC1) (1)設(shè)tgA、tgC是方程x(3)x20的兩

15、根，解得x1，x2設(shè)A<C，則tgA1，tgC2， A，C由此容易得到a8，b4，c44?！咀ⅰ勘绢}的解答關(guān)鍵是利用“ABC中tgAtgBtgCtgA·tgB·tgC”這一條性質(zhì)得到tgAtgC，從而設(shè)立方程求出tgA和tgC的值，使問題得到解決。例6. 若(zx) 4(xy)(yz)0,求證：x、y、z成等差數(shù)列?！痉治觥?觀察題設(shè)，發(fā)現(xiàn)正好是判別式b4ac0的形式，因此聯(lián)想到構(gòu)造一個一元二次方程進行求解?！咀C明】 當xy時，可得xz， x、y、z成等差數(shù)列；當xy時，設(shè)方程(xy)t(zx)t(yz)0，由0得tt，并易知t1是方程的根。t·t1 ， 即

16、2yxz ， x、y、z成等差數(shù)列【注】一般地，題設(shè)條件中如果已經(jīng)具備或經(jīng)過變形整理后具備了“xxa、x·xb”的形式，則可以利用根與系數(shù)的關(guān)系構(gòu)造方程；如果具備b4ac0或b4ac0的形式，可以利用根的判別式構(gòu)造一元二次方程。這種方法使得非方程問題用方程思想來解決，體現(xiàn)了一定的技巧性，也是解題基本方法中的一種“構(gòu)造法”。例7. ABC中，求證：cosA·cosB·cosC ?！痉治觥靠紤]首先使用三角公式進行變形，結(jié)合三角形中有關(guān)的性質(zhì)和定理，主要是運用“三角形的內(nèi)角和為180°”。變形后再通過觀察式子的特點而選擇和發(fā)現(xiàn)最合適的方法解決?！咀C明】 設(shè)kc

17、osA·cosB·cosCcos(AB)cos(AB)·cosCcosCcos(AB)cosC整理得：cosCcos(AB)·cosC2k0，即看作關(guān)于cosC的一元二次方程。 cos(AB)8k0 即 8kcos(AB)1 k即cosA·cosB·cosC【注】本題原本是三角問題，引入?yún)?shù)后，通過三角變形，發(fā)現(xiàn)了其等式具有“二次”特點，于是聯(lián)想了一元二次方程，將問題變成代數(shù)中的方程有實解的問題，這既是“方程思想”，也體現(xiàn)了“判別式法”、“參數(shù)法”。此題的另外一種思路是使用“放縮法”,在放縮過程中也體現(xiàn)了“配方法”，具體解答過程是：c

18、osA·cosB·cosCcos(AB)cos(AB)·cosC cosCcos(AB)·cosC cosCcos(AB)cos(AB) 。例8. 設(shè)f(x)lg，如果當x(-,1時f(x)有意義，求實數(shù)a的取值范圍?！痉治觥慨攛(-,1時f(x)lg有意義的函數(shù)問題，轉(zhuǎn)化為124a>0在x(-,1上恒成立的不等式問題?！窘狻?由題設(shè)可知，不等式124a>0在x(-,1上恒成立，即：()()a>0在x(-,1上恒成立。設(shè)t(), 則t， 又設(shè)g(t)tta，其對稱軸為t tta0在,+)上無實根， 即 g()()a>0，得a>

19、;所以a的取值范圍是a>?！咀ⅰ繉τ诓坏仁胶愠闪?，引入新的參數(shù)化簡了不等式后，構(gòu)造二次函數(shù)利用函數(shù)的圖像和單調(diào)性進行解決問題，其中也聯(lián)系到了方程無解，體現(xiàn)了方程思想和函數(shù)思想。一般地，我們在解題中要抓住二次函數(shù)及圖像、二次不等式、二次方程三者之間的緊密聯(lián)系，將問題進行相互轉(zhuǎn)化。在解決不等式()()a>0在x(-,1上恒成立的問題時，也可使用“分離參數(shù)法”： 設(shè)t(), t，則有att(,，所以a的取值范圍是a>。其中最后得到a的范圍，是利用了二次函數(shù)在某區(qū)間上值域的研究，也可屬應(yīng)用“函數(shù)思想”。、鞏固性題組：1. 方程sin2xsinx在區(qū)間(0,2)內(nèi)解的個數(shù)是_。A. 1 B. 2 C. 3 D. 42. 已知函數(shù)f(x)|21|，a<b<c，且f(a)>f(c)>f(b)，則_。A. a<0,b<0,c>0 B. a<0,b>0,c>0 C. 2<2 D. 22<23. 已知函數(shù)f(x)log(x4x8)， x0,2的最大值為2，則a_。A. B. C. 2 D. 44.