畫法幾何制圖—平面的投影及相對位置

1、1 1三峽大學(xué)三峽大學(xué)小結(jié)一、各種位置直線的投影特性一、各種位置直線的投影特性(三大類七種位置直線三大類七種位置直線) 投影面平行線投影面平行線（一斜兩平行一斜兩平行）水平線、正平線、側(cè)平線水平線、正平線、側(cè)平線 在其平行的投影面上的投影反映線段實長及與相應(yīng)投影面的在其平行的投影面上的投影反映線段實長及與相應(yīng)投影面的夾角。另兩個投影平行于相應(yīng)的投影軸。夾角。另兩個投影平行于相應(yīng)的投影軸。 投影面垂直線投影面垂直線（一點兩垂直一點兩垂直）鉛垂線、正垂線、側(cè)垂線鉛垂線、正垂線、側(cè)垂線 在其垂直的投影面上的投影積聚為一點。另兩個投影反映在其垂直的投影面上的投影積聚為一點。另兩個投影反映實長且垂直于相

2、應(yīng)的投影軸。實長且垂直于相應(yīng)的投影軸。a b a(b)a b ba aa b b b a ab ba 一般位置直線一般位置直線（三斜無實長三斜無實長）三個投影與各投影軸都傾斜。三個投影與各投影軸都傾斜。2 2三峽大學(xué)三峽大學(xué)二、直線上的點二、直線上的點 從屬性從屬性：點的投影在直線的同名投影上：點的投影在直線的同名投影上。 定比性定比性：點分線段之比在投影中不變。：點分線段之比在投影中不變。 AB:CB=ac:cb=a”c”:c”b”AB:CB=ac:cb=a”c”:c”b”baabccaccbabca b c 3 3三峽大學(xué)三峽大學(xué)三、兩直線的相對位置三、兩直線的相對位置 平行平行 相交相交

3、 交叉交叉 同面投影互相平行同面投影互相平行( (注意投影面平行線注意投影面平行線) )。 同面投影相交，交點是兩直線的同面投影相交，交點是兩直線的共有點共有點，且符合點的投影特性。，且符合點的投影特性。 同面投影可能相交，但同面投影可能相交，但“交點交點”不符合點的投影特性。所謂不符合點的投影特性。所謂“交點交點”是兩直線上一對是兩直線上一對重影點重影點的投影。的投影。b abcdc a d abcdb a c d kk b bc d dcXa a3 (4 )341 2 1(2)4 4三峽大學(xué)三峽大學(xué)四、相互垂直的兩直線的投影特性四、相互垂直的兩直線的投影特性 兩直線同時平行于某一投影面時兩

4、直線同時平行于某一投影面時，在該投影面上的，在該投影面上的投影反映直角。投影反映直角。 兩直線中有一條平行兩直線中有一條平行于某一投影面時，在該投影面上于某一投影面時，在該投影面上的投影反映直角的投影反映直角。 兩直線均為一般位置直線時兩直線均為一般位置直線時，在三個投，在三個投影面上的投影都不反映直角。影面上的投影都不反映直角。直角投影直角投影定理定理a c b abc.即要在投影圖中畫垂直或判斷即要在投影圖中畫垂直或判斷垂直，必須有投影面平行線。垂直，必須有投影面平行線。5 5三峽大學(xué)三峽大學(xué)1.4 1.4 平面的投影平面的投影一、平面的表示法一、平面的表示法a ab bc ca a b

5、b c c 不在同一直線不在同一直線上的三個點上的三個點a ab bc ca a b b c c a ab bc ca a b b c c d dd d 兩平行直線兩平行直線a ab bc ca a b b c c 兩相交直線兩相交直線*a ab bc ca a b b c c 平面圖形平面圖形1 1、用幾何元素表示平面、用幾何元素表示平面直線及線外一點直線及線外一點6 6三峽大學(xué)三峽大學(xué)2.2.跡線表示法跡線表示法 空間平面與投影面的交線空間平面與投影面的交線叫平面的跡線。叫平面的跡線。 平面平面P P與與H H面的交線為面的交線為水平跡線水平跡線P PH H，與，與V V面的交線為面的交線

6、為正面正面跡線跡線P PV V，與，與W W面的交線為面的交線為側(cè)面跡線側(cè)面跡線P PW W。7 7三峽大學(xué)三峽大學(xué)a.a.一般位置平面的跡線表示法一般位置平面的跡線表示法VHPPVPHPVPHb.b.特殊位置平面的跡線表示法特殊位置平面的跡線表示法QVPVVHQV8 8三峽大學(xué)三峽大學(xué)平行平行垂直垂直傾斜傾斜實形性實形性類似性類似性積聚性積聚性 平面對一個投影面的投影特性平面對一個投影面的投影特性二、平面的投影二、平面的投影平面平面/投影面投影面投影反映實形面投影反映實形面平面平面投影面投影面投影積聚成直線投影積聚成直線平面平面投影面投影面投影類似原平面投影類似原平面9 9三峽大學(xué)三峽大學(xué)

7、各種位置平面的投影各種位置平面的投影( (三類七種情況三類七種情況) )投影面垂直面投影面垂直面 投影面平行面投影面平行面一般位置平面一般位置平面特殊位置平面特殊位置平面垂直于某一投影面，垂直于某一投影面，傾斜于另兩個投影面傾斜于另兩個投影面平行于某一投影面，平行于某一投影面，垂直于另兩個投影面垂直于另兩個投影面與三個投影面都傾斜與三個投影面都傾斜 鉛垂面鉛垂面(H) 正垂面正垂面(V)側(cè)垂面?zhèn)却姑?W) 水平面水平面(/H) 正平面正平面(/V) 側(cè)平面?zhèn)绕矫?/W)1010三峽大學(xué)三峽大學(xué)VWHPPH 鉛垂面鉛垂面投影特性：投影特性：1. abc積聚為一條線，積聚為一條線， 與與OX、 O

8、YH的夾角的夾角反映反映 、 角；角； 2 .a b c 、 a b c 為為 ABC的類似形；的類似形；ABCacbababbaccc1 1） 投影面垂直面的投影投影面垂直面的投影1111三峽大學(xué)三峽大學(xué)VWHQQV正垂面正垂面 投影特性：投影特性：1. a b c 積聚為一條線，與積聚為一條線，與OX、 OZ的夾角的夾角反映反映、 角；角； 2.abc、a b c 為為 ABC的類似形。的類似形。ababbacccAcCabB1212三峽大學(xué)三峽大學(xué)VWHSWS側(cè)垂面?zhèn)却姑嫱队疤匦裕和队疤匦裕?、 a b c 積聚為一條線，積聚為一條線， 與與OYW 、 OZ 的夾角的夾角反映反映、角角；

9、2 、 abc、 a b c 為為 ABC的類似形。的類似形。CabABcabbbaaccc1313三峽大學(xué)三峽大學(xué)abca c b c b a 類似性類似性類似性類似性積聚性積聚性鉛垂面鉛垂面投影特性：投影特性：1.在它垂直的投影面上的投影積聚成直線。該直線與投影在它垂直的投影面上的投影積聚成直線。該直線與投影軸的夾角反映空間平面與另外兩投影面夾角的大小。軸的夾角反映空間平面與另外兩投影面夾角的大小。2.另兩個投影面上的投影有類似性。另兩個投影面上的投影有類似性。是什么位置是什么位置的平面？的平面？投影特征投影特征：一斜兩類似：一斜兩類似1414三峽大學(xué)三峽大學(xué)VWH水平面水平面投影特性：投

10、影特性： 1.a b c /OX、 a b c /OYW，分別分別積聚為直線積聚為直線; 2 .水平投影水平投影abc反映反映 ABC實形實形。 CABabcbacabccabbbaacc2 2） 投影面平行面的投影投影面平行面的投影1515三峽大學(xué)三峽大學(xué)正平面正平面VWH投影特性：投影特性： 1.abc/OX 、 a b c /OZ，分別分別積聚為直線；積聚為直線； 2 .正面投影正面投影a b c 反映反映 ABC實形。實形。 cabbacbcabacabcbcaCBA1616三峽大學(xué)三峽大學(xué)投影特性：投影特性： 1.abc/OYY、 a b c /OZ，分別分別積聚為直線；積聚為直線；

11、 2.側(cè)平面投影側(cè)平面投影a b c 反映反映 ABC實形。實形。 側(cè)平面?zhèn)绕矫鎂WHabbbacccabcbacabcCABa1717三峽大學(xué)三峽大學(xué)a b c a b c abc積聚性積聚性積聚性積聚性實形性實形性水平面水平面投影特性：投影特性：1.在它所平行的投影面上的投影反映實形。在它所平行的投影面上的投影反映實形。2.另兩個投影面上的投影分別積聚成與相應(yīng)的投影軸另兩個投影面上的投影分別積聚成與相應(yīng)的投影軸平行的直線。平行的直線。投影特征投影特征：兩線一實形：兩線一實形1818三峽大學(xué)三峽大學(xué)一般位置平面一般位置平面投影特性投影特性 1. abc 、 a b c 、 a b c 均為均

12、為 ABC的類似形；的類似形； 2.不反映不反映 、 、 的真實角度。的真實角度。 abcbacababbaccbacCAB3 3） 一般位置平面的投影（一般位置平面的投影（三類似三類似）1919三峽大學(xué)三峽大學(xué)的水平面R。 過直線AB的正垂面P；過點C的正平面Q；過直線DE 2.用有積聚性的跡線表示下列平面:QHRV例：用有積聚性的跡線表示下列平面：過直線例：用有積聚性的跡線表示下列平面：過直線AB的的正垂面正垂面P；過點；過點C的正平面的正平面Q；過直線；過直線DE的水平面的水平面R。ababPVPH2020三峽大學(xué)三峽大學(xué) 5.已知平面圖形的兩個投影，求作第三個投影，并判斷平面的空間位置

13、。三角形是 面a)平面圖形是 面b)平面圖形是 面c)bac水平水平正垂正垂側(cè)垂側(cè)垂投影面平行面投影面平行面: :兩線一實形兩線一實形投影面垂直面投影面垂直面: :一斜兩類似一斜兩類似2121三峽大學(xué)三峽大學(xué)在平面內(nèi)取在平面內(nèi)取直線的方法直線的方法 定理一定理一若一直線過平面上的若一直線過平面上的兩點，則此直線必在兩點，則此直線必在該平面內(nèi)。該平面內(nèi)。定理二定理二若一直線過平面上的一點，若一直線過平面上的一點，且平行于該平面上的另一且平行于該平面上的另一直線，則此直線在該平面直線，則此直線在該平面內(nèi)。內(nèi)。平面上取任意直線平面上取任意直線三、平面上的直線和點三、平面上的直線和點2222三峽大學(xué)三

14、峽大學(xué)abcb c a abcb c a d mnn m d例例1 1：已知平面由直線：已知平面由直線ABAB、ACAC所確定，試在平所確定，試在平面內(nèi)任作一條直線。面內(nèi)任作一條直線。解法一解法一解法二解法二根據(jù)定理二根據(jù)定理二根據(jù)定理一根據(jù)定理一有無數(shù)解。有無數(shù)解。2323三峽大學(xué)三峽大學(xué)例例2 2：在：在平面平面ABCABC內(nèi)內(nèi)作一條水平線，使其到作一條水平線，使其到H H面面的距離為的距離為1010mmmm。n m nm10c a b cab 唯一解！唯一解！2424三峽大學(xué)三峽大學(xué) 平面上取點平面上取點若點在平面內(nèi)的任一直線上，則此點一定在該平面上。若點在平面內(nèi)的任一直線上，則此點一定

15、在該平面上。即：點在線上，則點在面上。即：點在線上，則點在面上。2525三峽大學(xué)三峽大學(xué) 先找出過此點而又在平面內(nèi)的一條直線作為輔助先找出過此點而又在平面內(nèi)的一條直線作為輔助線，然后再在該直線上確定點的位置。線，然后再在該直線上確定點的位置。例例1 1：已知：已知K K點在平面點在平面ABCABC上，求上，求K K點的水平投影。點的水平投影。bacc a k b k 面上取點的方法：面上取點的方法：首先面上取線首先面上取線abcab k c d kd利用平面的積聚性求解利用平面的積聚性求解通過在面內(nèi)作輔助線通過在面內(nèi)作輔助線(細(xì)實線細(xì)實線)求解求解2626三峽大學(xué)三峽大學(xué)例例2 2 已知已知

16、ABCABC給定一平面給定一平面, ,試判斷點試判斷點D D是否屬于該平面。是否屬于該平面。d dabcabcee點點D不屬于平面不屬于平面ABCd dabcabcee點點D屬于平面屬于平面ABC2727三峽大學(xué)三峽大學(xué)例例3 3：作出三角形：作出三角形ABCABC平面內(nèi)三角形平面內(nèi)三角形DEFDEF的水平投影。的水平投影。d de e求線先找兩已知點，求線先找兩已知點，求點先找已知線。求點先找已知線。aabccbf fefd12122828三峽大學(xué)三峽大學(xué)bckada d b c ada d b c k bc例例4 4：ACAC為正平線，補全平行四邊形為正平線，補全平行四邊形ABCDABCD

17、的水平投影。的水平投影。解法一解法一解法二解法二找點找點B B先求線先求線DBDB，求線求線DBDB先找點先找點K K。利用平行四邊形利用平行四邊形對邊平行對邊平行2929三峽大學(xué)三峽大學(xué) 3.判斷點K是否在平面上。例例5 5：判斷點：判斷點K K是否在平面上是否在平面上（另判斷四點是否在同一平面（另判斷四點是否在同一平面* *）點在面上點在面上點不在面上點不在面上(*)點不在面上點不在面上3030三峽大學(xué)三峽大學(xué)例例6 6：已知平面：已知平面ABCDABCD的邊的邊BC/HBC/H面，完成其正面投影。面，完成其正面投影。b bcc1 111aadda ab bc cd dBCBC為水平線為水

18、平線bc/OXbc/OX分析：根據(jù)分析：根據(jù)add想辦法求想辦法求bcbc3131三峽大學(xué)三峽大學(xué)ab b c c bac c例例7 7 已知已知 ABC ABC 給定一平面，試過點給定一平面，試過點C C作屬于該平面的正平線，作屬于該平面的正平線，過點過點A A作屬于該平面作屬于該平面 的水平線的水平線。mnnm正平線上的點正平線上的點Y Y坐坐標(biāo)相同標(biāo)相同，水平線上，水平線上的點的點Z Z坐標(biāo)相同，坐標(biāo)相同，交點交點K K是既滿足是既滿足Y Y坐坐標(biāo)又滿足標(biāo)又滿足Z Z坐標(biāo)的坐標(biāo)的點。點。kk3232三峽大學(xué)三峽大學(xué) 6.在ABC內(nèi)確定K點，使K點距H面為18mm，距V面為15mm。k k

19、1 12 211k k例例8 8：在：在ABCABC內(nèi)確定內(nèi)確定K K點，使點，使K K點距點距H H面為面為18mm18mm，距，距V V面為面為1515mm.mm. 分別畫出：分別畫出：1.1.距距H H面面18mm18mm的的水平線水平線（Z Z相同相同=18=18）。）。2.2.距距V V面面15mm15mm的的正平線正平線（Y Y相同相同=15=15）。）。3.3.兩條線的兩條線的交點交點滿足滿足K K點的點的條件。條件。2218153333三峽大學(xué)三峽大學(xué)例例9 9：在平面：在平面ABCABC上取一點上取一點K K，使點，使點K K在點在點A A之下之下1515mmmm（Z Z）、

20、在點）、在點A A之前之前20mm20mm處（處（Y Y）。（思考題）。（思考題）K K在點在點A A之下之下15mm15mm的水平線上的水平線上K K在點在點A A之前之前20mm20mm的正平線上的正平線上3434三峽大學(xué)三峽大學(xué)四、四、 圓的投影圓的投影圓的投影特性：圓的投影特性：1 1、圓平面在所、圓平面在所平行平行投影面上的投影投影面上的投影反映實形反映實形；( (實形性實形性) )2 2、圓平面在所、圓平面在所垂直垂直的投影面上的投影是的投影面上的投影是直線直線，其長度等于圓，其長度等于圓的直徑的直徑；( (積聚性積聚性) )3 3、圓平面在所、圓平面在所傾斜傾斜的投影面上的投影是

21、的投影面上的投影是橢圓橢圓。其長軸是圓的。其長軸是圓的平行于這個投影面的直徑平行于這個投影面的直徑ABAB的投影（的投影（abab）；短軸是與上述直徑）；短軸是與上述直徑垂直的直徑垂直的直徑DEDE的投影的投影( (de)de)。( (類似性類似性) )本節(jié)到此本節(jié)到此3535三峽大學(xué)三峽大學(xué)橢圓的近似畫法橢圓的近似畫法( (四心法四心法) )：AABBC CDE EFF1 12 23 34 4橢圓的畫法橢圓的畫法一節(jié)到此1.1.CF=CE=OA-OCCF=CE=OA-OCO O2.2.作作AFAF的中垂線的中垂線, ,與兩軸交得與兩軸交得1.21.2兩點，取對稱點兩點，取對稱點3.43.4。

22、3.3.分別以分別以1.2.3.41.2.3.4點為圓心，點為圓心，1A.3B.2C.4D1A.3B.2C.4D為半徑作弧，拼成近為半徑作弧，拼成近似橢圓。似橢圓。3636三峽大學(xué)三峽大學(xué)四、相互垂直的兩直線的投影特性四、相互垂直的兩直線的投影特性 兩直線同時平行于某一投影面時兩直線同時平行于某一投影面時，在該投影面上的，在該投影面上的投影反映直角。投影反映直角。 兩直線中有一條平行兩直線中有一條平行于某一投影面時，在該投影面上于某一投影面時，在該投影面上的投影反映直角的投影反映直角。 兩直線均為一般位置直線時兩直線均為一般位置直線時，在三個投，在三個投影面上的投影不一定反映直角。影面上的投影

23、不一定反映直角。直角投影直角投影定理定理a c b abc.即要在投影圖中畫垂直或判斷即要在投影圖中畫垂直或判斷垂直，必須有投影面平行線。垂直，必須有投影面平行線。小結(jié)3737三峽大學(xué)三峽大學(xué)一、各種位置平面的投影特性一、各種位置平面的投影特性 一般位置平面（三類似）一般位置平面（三類似） 投影面垂直面（一斜兩類似）投影面垂直面（一斜兩類似） 投影面平行面（兩線一實形）投影面平行面（兩線一實形）三個投影為邊數(shù)相等的類似多邊形。三個投影為邊數(shù)相等的類似多邊形。在其垂直的投影面上的投影積聚成直線。在其垂直的投影面上的投影積聚成直線。 另外兩個投影為類似多邊形。另外兩個投影為類似多邊形。 在其平行的

24、投影面上的投影反映實形。在其平行的投影面上的投影反映實形。 另外兩個投影積聚為直線。另外兩個投影積聚為直線。ababbacccabbbaacccbbaaccbac3838三峽大學(xué)三峽大學(xué)二、平面上的點與直線二、平面上的點與直線( (P27-30)P27-30) 平面上的點平面上的點 一定位于平面內(nèi)的某條直線上一定位于平面內(nèi)的某條直線上. . 平面上的直線（平面上的直線（求線先找已知點求線先找已知點） 過平面上的兩個點。過平面上的兩個點。 過平面上的一點并平行于該平面上的某條直線。過平面上的一點并平行于該平面上的某條直線。ddabcabcee3939三峽大學(xué)三峽大學(xué)1.5 1.5 直線與平面及兩

25、平面的相對位置直線與平面及兩平面的相對位置相對位置包括相對位置包括平行、相交（垂直）。平行、相交（垂直）。一、平行問題一、平行問題 直線與平面平行直線與平面平行 平面與平面平行平面與平面平行 直線與平面平行直線與平面平行定理定理: 若一直線平行于平面上的某一直線，若一直線平行于平面上的某一直線，則該直線與此平面必平行。則該直線與此平面必平行。即：將線面即：將線面/ / ，轉(zhuǎn)化為線線，轉(zhuǎn)化為線線/4040三峽大學(xué)三峽大學(xué) 直線與平面平行直線與平面平行當(dāng)直線與特殊位置平面相平行時，直線的投影當(dāng)直線與特殊位置平面相平行時，直線的投影平行平行于于平面的具有平面的具有積聚性積聚性的同面投影，如圖。的同面

26、投影，如圖。gg/2.2.當(dāng)直線與平面都為特殊情況且平行時，直線與平面當(dāng)直線與平面都為特殊情況且平行時，直線與平面的的積聚性投影積聚性投影在同面投影上。在同面投影上。特殊情況：特殊情況：4141三峽大學(xué)三峽大學(xué)例例1 1：過：過A A點作平面平行于線段點作平面平行于線段BCBC。bbcccaaXOdd 作圖：作圖：ad/bcad/bc，ad/bcad/bc故，故，BC/BC/平面平面DAFDAF分析：分析：線線線線/，則線面則線面/；過；過A A點點做直線做直線AD/BCAD/BC。ff可過可過A A點任意點任意作直線作直線AFAF4242三峽大學(xué)三峽大學(xué)n a c b m abcmn有無數(shù)解

27、有無數(shù)解分析分析: :過過M M點作點作一條一條/平面內(nèi)平面內(nèi)的任意直線的的任意直線的直線直線, ,即得即得. .例例2 2：過：過M M點作直線點作直線MNMN平行于平面平行于平面ABCABC。4343三峽大學(xué)三峽大學(xué)正平線正平線c c b b a a m m a abc cm mn n唯一解唯一解n n 分析分析: :在平面在平面ABCABC內(nèi)作一條正平內(nèi)作一條正平線線,MN/,MN/此正平線此正平線, ,即得即得. .例例3 3：過：過M M點作直線點作直線MNMN平行于平行于V V面和平面面和平面ABCABC。4444三峽大學(xué)三峽大學(xué) 若一平面上的若一平面上的兩相交直線兩相交直線對應(yīng)平

28、行于另一平面上的對應(yīng)平行于另一平面上的兩相兩相交直線交直線，則這兩平面相互平行。，則這兩平面相互平行。 若兩若兩投影面垂直面投影面垂直面相互平相互平行，則它們行，則它們具有積聚性具有積聚性的那組的那組投影必相互平行投影必相互平行。f h abcdefha b c d e c f b d e a abcdef2. 2. 兩平面平行兩平面平行/4545三峽大學(xué)三峽大學(xué) 2.判別下列平面與平面是否平行。a)b) 平行平行舉例例例 判斷下列兩平面是否平行判斷下列兩平面是否平行不平行不平行4646三峽大學(xué)三峽大學(xué)直線與平面相交直線與平面相交平面與平面相交平面與平面相交 直線與平面相交直線與平面相交( (

29、實物實物) ) 直線與平面相交，其直線與平面相交，其交點交點是直線與平面的是直線與平面的共有點，且交共有點，且交點點是直線與平面可見與不可見的是直線與平面可見與不可見的分界點。分界點。要討論的問題：要討論的問題： 求求直線與平面的直線與平面的交點。交點。 判別兩者之間的相互遮擋的判別兩者之間的相互遮擋的可見性?？梢娦?。 我們只討論直線與平面中至少我們只討論直線與平面中至少有一個元素處于特殊位有一個元素處于特殊位置的情況置的情況（直線特殊或者平面特殊）。（直線特殊或者平面特殊）。二、相交問題二、相交問題( (重點與難點重點與難點) )4747三峽大學(xué)三峽大學(xué)（1 1）. .直線與平面相交（平面為

30、特殊位置）直線與平面相交（平面為特殊位置）VHPHPABCacbkNKM4848三峽大學(xué)三峽大學(xué)abcmnc n b a m 1.1.空間空間及投影分析及投影分析 平面平面ABCABC是一鉛垂面，其水平投是一鉛垂面，其水平投影積聚成一條直線，該直線與影積聚成一條直線，該直線與mnmn的交的交點即為點即為K K點的水平投影。點的水平投影。 求交點求交點 判別可見性（判別可見性（V V面）面） 由水平投影可知，由水平投影可知，KNKN段在平面段在平面ABCABC前，故正面投影上前，故正面投影上k k n n 為可見。為可見。再根再根據(jù)據(jù): :交點是可見與不可見的分界點交點是可見與不可見的分界點，求

31、得求得k k m m 上一段不可見。上一段不可見。還可通過重影點判別可見性。還可通過重影點判別可見性。k 1 (2 )2.2.作圖作圖k21抓住交點是共抓住交點是共有點的特點有點的特點例：求直線例：求直線MNMN與平面與平面ABCABC的交點的交點K K并判別可見性并判別可見性4949三峽大學(xué)三峽大學(xué)（2 2） 直線為特殊位置直線為特殊位置5050三峽大學(xué)三峽大學(xué)km(n)bm n c b a ac 直線為特殊位置直線為特殊位置1.1.空間及投影分析空間及投影分析 直線直線MNMN為鉛垂線，其水平為鉛垂線，其水平投影積聚成一個點，故交點投影積聚成一個點，故交點K K的水平投影也積聚在該點上。的

32、水平投影也積聚在該點上。 求交點求交點 判別可見性（判別可見性（V V面）面）用重影點判斷用重影點判斷 點點位于平面上，在前；點位于平面上，在前；點位位于于MNMN上，在后。故上，在后。故k k 2 2 為不可見為不可見。1 (2 )k 212.2.作圖作圖用面上取點法用面上取點法5151三峽大學(xué)三峽大學(xué)兩平面相交兩平面相交( (實物實物) ) 兩平面相交其交線為直線，兩平面相交其交線為直線，交線是交線是兩平面的兩平面的共有線，共有線，同時同時交線上的點交線上的點都是兩平面的都是兩平面的共有點，交線共有點，交線是兩平面可見與是兩平面可見與不可見的不可見的分界線。分界線。要討論的問題：要討論的問

33、題： 求兩平面的交線求兩平面的交線方法：方法： 確定兩平面的確定兩平面的兩個共有點。兩個共有點。 確定確定一個共有點及交線的方向。一個共有點及交線的方向。 只討論兩平面中至少有一個處于特殊位置的情況（即只討論兩平面中至少有一個處于特殊位置的情況（即兩種情況：一個平面處于特殊，兩個平面都處于特殊）。兩種情況：一個平面處于特殊，兩個平面都處于特殊）。 判別兩平面之間的相互遮擋的判別兩平面之間的相互遮擋的可見性。可見性。5252三峽大學(xué)三峽大學(xué)（1 1）兩平面都為特殊平面）兩平面都為特殊平面( (書書) )5353三峽大學(xué)三峽大學(xué)可通過正面投影直可通過正面投影直觀地進(jìn)行判別。觀地進(jìn)行判別。abcde

34、fc f db e a m (n )1.1.空間及投影分析空間及投影分析 平面平面ABCABC與與DEFDEF都為都為正垂面正垂面，它們的正面投影都積聚成直線。它們的正面投影都積聚成直線。交線必為一條正垂線交線必為一條正垂線。 求交線求交線 判別可見性（判別可見性（H H面）面）2.2.作圖作圖 從正面投影上可看出，在從正面投影上可看出，在交線左側(cè)，平面交線左側(cè)，平面ABCABC在上，其在上，其水平投影可見。水平投影可見。nm例例1 1：求兩平面的交線：求兩平面的交線MNMN，并判別可見性。，并判別可見性。5454三峽大學(xué)三峽大學(xué)VH（2 2）. . 其中一平面為特殊平面其中一平面為特殊平面F

35、BACEHabcMNmnP5555三峽大學(xué)三峽大學(xué)b c f h a e abcefh1.1.空間及投影分析空間及投影分析 平面平面EFHEFH是一水平面，它的正是一水平面，它的正面投影有積聚性。面投影有積聚性。a a b b 與與e e f f hh的交點的交點m m 、 b b c c 與與efef h h 的交的交點點n n , ,即為兩平面的兩個共有點的即為兩平面的兩個共有點的正面投影，故正面投影，故m m n n 是是MNMN的正面投的正面投影影。 求交線求交線 判別可見性判別可見性(H(H面面) ) m m n n bb在在efhefh上面，上面，故水平投影故水平投影mnbmnb可

36、見，其他可見可見，其他可見性可根據(jù)投影特點得出。性可根據(jù)投影特點得出。2.2.作圖作圖mn nm （2 2）. . 其中一平面為特殊平面（求交線其中一平面為特殊平面（求交線MNMN）5656三峽大學(xué)三峽大學(xué)c d e f a b abcdef投影分析投影分析 N N點的水平投影點的水平投影n n位于位于defdef的外面，說明點的外面，說明點N N位于位于DEFDEF所確定的平面內(nèi)，但不所確定的平面內(nèi)，但不位于位于DEFDEF這個圖形內(nèi)。這個圖形內(nèi)。 所以所以ABCABC和和DEFDEF的交線的交線應(yīng)為應(yīng)為MKMK。nn m kmk 互交互交KNKN后面的藍(lán)色后面的藍(lán)色平面的投影平面的投影57

37、57三峽大學(xué)三峽大學(xué)三、垂直問題三、垂直問題 1. 1.直線與平面直線與平面 與鉛垂面垂直的直線為水平線與鉛垂面垂直的直線為水平線,H面面;與正垂面垂直的直線是正平線與正垂面垂直的直線是正平線,V面面.與鉛垂線垂直的平面是水平面與鉛垂線垂直的平面是水平面, V;與正垂線垂直的平面是正平面與正垂線垂直的平面是正平面, H.1 1）平面特殊）平面特殊投影面投影面垂直面垂直面的直線是投影面的直線是投影面平行線平行線，并在平面積聚性投影上反映，并在平面積聚性投影上反映直角；直角；即即2 2）直線特殊）直線特殊投影面投影面垂直線垂直線的平面是投影面的平面是投影面平行面平行面，并在平面積聚性投影上反映，并

38、在平面積聚性投影上反映直角；直角；即即作點作點A A到平面到平面CDEFCDEF的距離？的距離？（EFDEFD呢？）呢？）5858三峽大學(xué)三峽大學(xué)2.2.平面與平面垂直平面與平面垂直只介紹只介紹兩個投影面垂直面相垂直：兩個投影面垂直面相垂直：它們的交線為投影面的垂直線，且在積聚性的投影反映直角它們的交線為投影面的垂直線，且在積聚性的投影反映直角; ;pqqP下面舉例下面舉例5959三峽大學(xué)三峽大學(xué) 5.判別下列直線與平面,平面與平面是否垂直。a)b)c)d)垂直垂直 垂直垂直不垂直不垂直 ed(e)6060三峽大學(xué)三峽大學(xué) 3.求直線與平面的交點,并表明可見性。a)b)c)1k1舉例舉例此點是

39、此點是ABAB和和MNMN的重影點的重影點k例例 求直線與平面的交點求直線與平面的交點, ,并判別可見性并判別可見性. .VW6161三峽大學(xué)三峽大學(xué)1(2)123(4)34 4.求兩平面的交線，并表明可見性。a)b)c)本節(jié)到此本節(jié)到此6262三峽大學(xué)三峽大學(xué)小結(jié)：小結(jié)：直線與平面及兩平面的相對位置直線與平面及兩平面的相對位置 直線與平面平行直線與平面平行 直線平行于平面內(nèi)的一條直線。當(dāng)直線與特殊位置平面相平行直線平行于平面內(nèi)的一條直線。當(dāng)直線與特殊位置平面相平行時，直線的投影時，直線的投影平行于平行于平面的具有平面的具有積聚性積聚性的同面投影。的同面投影。 兩平面平行兩平面平行 若兩若兩投

40、影面垂直面投影面垂直面相互平行，相互平行，則它們則它們具有積聚性具有積聚性的那組投影必的那組投影必相互平行。相互平行。f h abcdefha b c d e 一、平行問題一、平行問題（P38P38）6363三峽大學(xué)三峽大學(xué)二、相交問題二、相交問題 求直線與平面求直線與平面 平面特殊平面特殊，利用，利用交點的一個投影為直線與平面積聚性投交點的一個投影為直線與平面積聚性投影的交點，另一個投影可投在直線的另一個投影上；影的交點，另一個投影可投在直線的另一個投影上；可見性可見性直接判斷。直接判斷。( (P47)P47) 直線特殊直線特殊，利用，利用交點的一個投影與直線的積聚性投影重交點的一個投影與直

41、線的積聚性投影重合，另一個投影可利用合，另一個投影可利用平面上取點的方法求解；平面上取點的方法求解；可見性可見性用重用重影點判斷。影點判斷。( (P49)P49)km(n)bn c b a ac1 (2 )k 21abcmnc n b a m k k6464三峽大學(xué)三峽大學(xué) 兩平面相交兩平面相交 一平面特殊一平面特殊，可利用特殊位置平面的積聚性找出兩平面，可利用特殊位置平面的積聚性找出兩平面的兩個共有點，求出交線；的兩個共有點，求出交線；可見性可見性可直接判斷?？芍苯优袛?。( (P54)P54) 兩平面特殊兩平面特殊，交線為投影面的垂直線，交線為投影面的垂直線，可見性可見性可直接判可直接判斷斷( (P52)P52)。acdefc f db e a m (n )nmbbacnlmcmalnfkfk6565三峽大學(xué)三峽大學(xué)三、垂直問題三、垂直問題1 1）. .直線與投影面垂直面：直線與投影面垂直面：與鉛垂面相垂直的直線是水平線，與與鉛垂面相垂直的直線是水平線，與正垂面相垂直的是正平線，正垂面相垂直的是正