電磁場與電磁波第七章

1、 第七章第七章 導行電磁波導行電磁波第七章第七章 導行電磁波導行電磁波 本章討論局域在導波裝置中沿一定方向傳輸?shù)碾姶挪▽须姶挪▽须姶挪ā?導波裝置導波裝置也稱為傳輸線或?qū)邢到y(tǒng)。如果導波裝置的橫截面尺寸、形狀、介質(zhì)分布、材料及邊界均沿傳輸方向不變，則稱之為規(guī)則導波裝置規(guī)則導波裝置。常用的導行系統(tǒng)如圖7-1所示。其中最簡單、最常用的是矩形波導、圓柱形波導和同軸線。 主要內(nèi)容：首先討論導行電磁波的分析方法，然后具體討論矩形波導、圓柱形波導的傳輸模式、場分布以及傳輸特性。 第七章第七章 導行電磁波導行電磁波圖 7-1 常用的導波裝置 第七章第七章 導行電磁波導行電磁波7.1 導行電磁波的一般分析

2、 分析導行電磁波，就是要得出導行電磁波沿軸向（縱向）的傳播規(guī)律以及電磁場在橫截面內(nèi)的分布情況。通常有縱向分量法和赫茲矢量法兩種分析方法，這里僅采用縱向分量法?？v向分量法的思想是，將導行系統(tǒng)中的電磁場矢量分解為縱向分量和橫向分量，由亥姆霍茲方程得出縱向分量滿足的標量微分方程，求解該標量微分方程，得到縱向分量；再根據(jù)麥克斯韋方程組，找出橫向分量與縱向分量之間的關(guān)系，用縱向分量來表示橫向分量。 第七章第七章 導行電磁波導行電磁波z7.1.1 導行電磁波的表達式 無源區(qū)域內(nèi)，時諧電磁場滿足齊次亥姆霍茲方程：022EEk022HHk （7-1-1a） （7-1-1b） 在導行系統(tǒng)中，電磁波沿其軸向（縱向

3、）傳播。建立廣義柱坐標系 (u1, u2, z)。對于規(guī)則導行系統(tǒng)，電磁場在橫截面內(nèi)的分布與縱向坐標 z 無關(guān)，行波狀態(tài)下沿 z 方向傳播的導行電磁波可寫為 z-2121e)()(uuzuu,E,E（7-1-2a） （7-1-2b） z-2121e)()(uuzuu,H,H 第七章第七章 導行電磁波導行電磁波 拉普拉斯算子可寫為222T2z （7-1-3） 將式（7-1-2）和（7-1-3）代入式（7-1-1），可得 E (u1, u2)、 H (u1, u2) 滿足的方程為 0)()(212c212Tuukuu,E,E（7-1-4a） （7-1-4b)）其中222c kk（7-1-5） 當

4、kc 0 時，kc 稱為本征值，由導行系統(tǒng)的邊界條件和傳輸模式?jīng)Q定。導行系統(tǒng)問題歸結(jié)為求解方程（7-1-4）。0)()(212c212Tuukuu,H,H 第七章第七章 導行電磁波導行電磁波7.1.2 導波場縱向分量與橫向分量的微分方程 將電磁場矢量表示為橫向分量和縱向分量之和，即zzzzHEeHHeEETT （7-1-6a）（7-1-6b） 將式(7-1-6)代入式(7-1-4)，可得到關(guān)于電場 E (u1, u2)以及磁場 H (u1, u2)橫向分量的矢量亥姆霍茲方程和縱向分量的標量亥姆霍茲方程，即0)()(0)()(21z2c21z2T21T2c21T2TuuEkuuEuukuu,E,

5、E （7-1-7a） （7-1-7b） 第七章第七章 導行電磁波導行電磁波 矢量方程（7-1-7a）和（7-1-7c）的求解比較困難，因此通常并不直接求解 ET 和 HT，而是結(jié)合導行系統(tǒng)的邊界條件求解標量波動方程（7-1-7b）和（7-1-7d），得到縱向場分量后，再利用場的橫向分量與縱向分量之間的關(guān)系求得所有橫向分量。場的橫向分量與縱向分量之間的關(guān)系式可由麥克斯韋方程組導出。 0)()(0)()(21z2c21z2T21T2c21T2TuuHkuuHuukuu,H,H （7-1-7c）（7-1-7d） 第七章第七章 導行電磁波導行電磁波7.1.3 導波場的橫向分量與縱向分量之間的關(guān)系式 哈

6、密頓算子也可表示為橫向分量與縱向分量之和，即zzeT（7-1-8） 將式（7-1-6）和（7-1-8）代入無源區(qū)域時諧場麥克斯韋方程組的兩個旋度方程，并注意到對于行波狀態(tài)下的導行波有 z可得 （7-1-9a） （7-1-9b） TTTjEHeeHzzzzzEeHjTT 第七章第七章 導行電磁波導行電磁波TTTjHEeeEzzzzzHeEjTT（7-1-9c） （7-1-9d） 由橫向方程 (7-1-9a) 和(7-1-9c) 可以求得 ET 和 HT 。用 j 乘以式(7-1-9a) ，對式(7-1-9c)作 -ez 運算，然后兩式相加，并利用矢量恒等式加以整理，可得zzzzzzEHkHEke

7、HeETTT2cTTT2cjj（7-1-10） 可見，只要求得了導波場的縱向分量，由式（7-1-10）便可確定導波場的所有橫向分量。式（7-1-10）即為行波狀態(tài)下場的橫向分量與縱向分量之間的關(guān)系式，簡稱行波橫-縱關(guān)系式。 第七章第七章 導行電磁波導行電磁波 在廣義柱坐標中， 222111T11uhuhee式（7-1-10）可寫為分量形式： )j(122112c1uhHuhEkEzzu)j(111222c2uhHuhEkEzzu)j(122112c1uhEuhHkHzzu)j(111222c2uhEuhHkHzzu（7-1-11a）（7-1-11b） （7-1-11c）（7-1-11d） 第七

8、章第七章 導行電磁波導行電磁波 zzuuHETEEj21 zzuuEHTHHj21， （7-1-12a）其中 112222112c1uhuhuhuhkT （7-1-12b） 式（7-1-11）還可以寫成便于記憶的矩陣形式： 第七章第七章 導行電磁波導行電磁波 若電場和磁場在傳播方向上的分量 Ez= 0、 Hz= 0 ，即電磁場各分量均在橫截面內(nèi)，則此種傳輸波型稱為橫電磁波，簡稱TEM 波或 TEM 模。對于 TEM 波，kc=0 。 TEM波是雙導體結(jié)構(gòu)傳輸系統(tǒng)（例如平行雙導線、同軸線）的主模。單導體結(jié)構(gòu)的規(guī)則金屬波導中不能傳輸TEM波。7.2 導行波波型的分類以及導行波的傳輸特性7.2.1

9、導行波波型的分類 導行波的波型是指能夠單獨存在于導行系統(tǒng)中的電磁波的場結(jié)構(gòu)形式，也稱為傳輸模式。導行波波型大致分為三類。 1.TEM波 第七章第七章 導行電磁波導行電磁波2.TE波和TM波 若電場在電磁波傳播方向上的分量 Ez= 0 ，即電場僅在橫截面內(nèi)，則此種波型稱為橫電波，簡稱 TE 波或 H 波。若磁場在電磁波傳播方向上的分量 Hz= 0 ，即磁場僅在橫截面內(nèi)，則此種波型稱為橫磁波，簡稱 TM 波或 E 波。 TE 波和 TM 波的 kc 0。常用的TE波和TM波傳輸系統(tǒng)是單導體結(jié)構(gòu)的規(guī)則金屬波導，如矩形波導、圓柱形波導。 3.表面波 所謂表面波是指電磁波沿傳輸線表面?zhèn)鞑サ牟ㄐ汀１砻娌ㄊ?/p>

10、TE 波和 TM 波的混合模式。常用的表面波傳輸系統(tǒng)有介質(zhì)波導和光纖等。 第七章第七章 導行電磁波導行電磁波7.2.2 導行波的傳輸特性1.截止波長與傳輸條件 由導行電磁波的表達式（7-1-2）可知，導行波的傳輸狀態(tài)取決于傳播常數(shù) ，而 滿足關(guān)系： （7-2-1）22c2kk 對于無損耗的理想導行系統(tǒng), 是實數(shù)， 為工作波長，kc 是由導行系統(tǒng)邊界條件和傳輸模式所決定的本征值，也是實數(shù)。令 ，c 稱為截止波長。因此，隨著工作波長的不同， 2 的取值有三種可能，即 2 0， 2 0 ，即 c，則 = 為實數(shù)，導波場表示為 第七章第七章 導行電磁波導行電磁波 這表明，導行系統(tǒng)中的電磁場沿傳輸方向（

11、 +z 軸）指數(shù)衰減，不是傳輸?shù)牟?，故稱 2 0 時為截止狀態(tài)。zzuuuu-21-21)e()e(,HH,EE(2) 2 0，即 c，則 = j 為虛數(shù)，導波場表示為 上式表明，導行系統(tǒng)中的電磁場是沿 +z 軸傳輸?shù)牡确?，故稱 2 2b 的矩形波導中，不同模式截止波長的分布情況如圖7-3-2所示。 第七章第七章 導行電磁波導行電磁波圖 7-3-2 不同模式截止波長的分布 矩形波導的主模是TE10模。并且，對于相同的 m 和 n， 模的截止波長相同。這種不同模式具有相同截止波長的現(xiàn)象稱為簡并現(xiàn)象，這些模式稱為簡并模。對于矩形波導，當 m, n 分別相等時， TEmn 和 TEmn模是簡并的，

12、也稱為 E-H 簡并。 第七章第七章 導行電磁波導行電磁波【例】規(guī)則金屬矩形波導 BJ-100 (a =22.86mm, b = 10.16mm)，其中填充 r = 2.1 的聚四氟乙烯。求截止波長較長的前五個模式的截止頻率。若工作頻率分別為 9GHz 和 11GHz，問波導中可能存在哪些模式？ 解： 由22c)()(2bnamcrcccvf可得 對于 TE10 模cm572. 42c aZcGH528. 4f對于 TE20模cm286. 2c aZcGH056. 9f對于 TE01模cm032. 22c bZcGH188.10f對于 TE11模和 TM11模cm857. 1222cbaabZ

13、cGH149.11f 第七章第七章 導行電磁波導行電磁波故僅存在 TE10 模。當工作頻率為 9GHz 時，工作波長 = 2.300 cm，滿足1020TEcTEc)()(或 2010TEcTEc)()(fff 當工作頻率為 11GHz 時，工作波長 = 1.882 cm，此時滿足傳輸條件 2b 時， a 2 a 。 aa2相位常數(shù)與波導波長分別為2TE)2(1210a2g)2(1a 第七章第七章 導行電磁波導行電磁波相速與群速分別為2p)2(1avv2g)2(1avv波阻抗為2WTE)2(110aZ傳輸功率為101010TE210TE210230 0TE44ddRe21d)(Re21ZEab

14、HbayxHEPa bxyz*eHE 第七章第七章 導行電磁波導行電磁波7.4 圓柱形波導 規(guī)則圓柱形波導（簡稱圓波導）常用于毫米波的遠距離通信、精密衰減器、天線的雙極化饋線、微波諧振器等。 對于圓波導，橫截面坐標采用極坐標(,)。設(shè)圓波導的橫截面半徑為 a ，如圖所示。 第七章第七章 導行電磁波導行電磁波7.4.1 圓波導中的 TE 波在極坐標系中 H(,) 的標量波動方程為TE 波滿足0zEzzzHzH-je ),(),(（7-4-1）0),(1)(12c222zHk（7-4-2） 應用分離變量法，令)()(),(RHz （7-4-3） 將式（7-4-3）代入（7-4-2），整理可得 0d

15、)(d)(1)()d)(dd)(d)(1222c2222RkRRR（7-4-4） 第七章第七章 導行電磁波導行電磁波令0)(d)(d222m （7-4-5） 則有0)()(d)(dd)(d22c2222RmkRR （7-4-6） 方程（7-4-5）的解為3 , 2 , 1 , 0, )sin()cos()(21mmAmA或記為)sin()cos()(mmA（7-4-7） 式（7-4-6）是貝塞爾方程，其解為)()()(c2c1kNBkJBRmm （7-4-8） 第七章第七章 導行電磁波導行電磁波)(xNm Jm(x) 和 Nm(x) 分別為第一類和第二類 m 階貝塞爾函數(shù)。圖7-4-2 給出了

16、幾條低階貝塞爾函數(shù)、紐曼函數(shù)和貝塞爾函數(shù)導數(shù)的曲線。 第七章第七章 導行電磁波導行電磁波圖 7-4-2貝塞爾函數(shù)及其導數(shù)曲線 第七章第七章 導行電磁波導行電磁波zmzmmkJCzHj -ce)sin()cos()(),( （7-4-9）應用 TE 波的邊界條件表達式 （7-3-10） ，有 0azH所以0)()(mnmcmJakJ可得 （7-4-10） 由圖7-4-2(b)可知，當 0 時， Nm(kc)-。場量在 = 0 處應為有限值，因此，式（7-4-8）中 B2=0?？傻?Hz 的基本表達式為 akmnc 第七章第七章 導行電磁波導行電磁波01j -e)sin()cos()(),(mnz

17、mnmmnzmmaJHzH （7-4-11a）表7-4-1 第一類貝塞爾函數(shù)導數(shù)的根值表（ ）mnmn 為 m (m = 0,1,2,) 階貝塞爾函數(shù)導數(shù)的第 n (n = 1,2,) 個根.貝塞爾函數(shù)導數(shù)的根值如表7-4-1所示。 一組 m, n 對應于一種場結(jié)構(gòu)，而各種場結(jié)構(gòu)可同時存在于導行系統(tǒng)中。令 C=Hmn，于是，圓波導中 TEmn ?？v向磁場分量的一般表達式為 第七章第七章 導行電磁波導行電磁波 再由行波橫-縱關(guān)系式（7-1-11），可得圓波導中 TE波的所有橫向電磁場分量： 01j -22e)cos()sin()()(j),(mnzmnmmnmnmmaJHmazE（7-4-11b

18、） 01j -e)sin()cos()(j),(mnzmnmmnmnmmaJHazE （7-4-11c）01j -e)sin()cos()(j),(mnzmnmmnmnmmaJHazH（7-4-11d） 01j -22e)cos()sin()()(j),(mnzmnmmnmnmmaJHmazH （7-4-11e） 第七章第七章 導行電磁波導行電磁波應用 波的邊界條件 7.4.2 圓波導中的 波 TMTM波滿足 0zH， zzzEzE-je ),(),(， （7-4-12） ),(zE的方程為0),(1)(12c222zEk（7-4-13） 與 模同理，可得方程的基本解： mnTEzmmnzmm

19、kJEzEjce)sin()cos()(),(（7-4-14） TM0azE （7-4-15）可得akmnc （7-4-16） 第七章第七章 導行電磁波導行電磁波TM 波的各個場分量為表 7-4-2 第一類貝塞爾函數(shù)的根值表（ ）mn)01j -e)sin()cos()(),(mnzmnmmnzmmaJEzE （7-4-17a） mn 為 m 階貝塞爾函數(shù)的第 n 個根。貝塞爾函數(shù)的根值如表 7-4-2 所示。 第七章第七章 導行電磁波導行電磁波01j -e)sin()cos()(j),(mnzmnmmnmnmmaJEazH01j -22e)cos()sin()(j),(mnzmnmmnmnm

20、maJEmazH01j -22e)cos()sin()(j),(mnzmnmmnmnmmaJEmazE01j -e)sin()cos()(j),(mnzmnmmnmnmmaJEazE （7-4-17b） （7-4-17c）（7-4-17d） （7-4-17e） 在 TE 波和 TM 波中，m、n 不同，場的結(jié)構(gòu)不同。 m 表示場沿圓周方向整駐波分布的個數(shù)，n 表示是沿半徑方向最大值或零點的個數(shù)。 第七章第七章 導行電磁波導行電磁波7.4.3 圓波導的傳輸特性1截止波長和單模傳輸條件TEmn 模的截止波長為 mnak22cc （7-4-18）TMmn 模的截止波長為mnak22cc （7-4-1

21、9） 圓波導中的幾個不同模式的截止波長列于表 7-4-3，其分布如圖 7-4-3 所示。 第七章第七章 導行電磁波導行電磁波表7-4-3 圓波導中不同模式的截止波長圖 7-4-3 圓波導中不同模式截止波長分布圖TE11 是圓波導的主模，其單模傳輸條件為 aa413. 3613. 2 第七章第七章 導行電磁波導行電磁波2. 簡并現(xiàn)象 圓波導中存在兩種簡并現(xiàn)象，一種是 TEmn 模和 TMmn模之間的簡并（E-H簡并），另一種是極化簡并。 1）E-H 簡并 對于圓波導，由于 , 因此 ，故 TE0n 模和 TM1n 模為 E-H 簡并模。 nn10nn10TMcTEc)()( 2）極化簡并 對同一

22、組 m, n 值，只要 m 0，場量沿 坐標就可能存在cos(m) 和 sin(m) 兩種分布，兩者的場結(jié)構(gòu)形式完全相同，只是極化面不同，它們相互垂直，這種簡并稱為極化簡并。利用圓波導的極化簡并可以設(shè)計極化分離器和極化衰減器等器件。 第七章第七章 導行電磁波導行電磁波 7.4.4 圓波導中的常用模式圓波導中的常用模式有 TE11 模、TM01 模和 TE01 三種模式。1. TE11 模 TE11 模是圓波導中的主模，其截止波長 c = 3.413a。 TE11 模的場結(jié)構(gòu)如圖7-4-4 所示?？梢?，其場結(jié)構(gòu)與矩形波導中的TE10 模相似，利用該特點可用方-圓波導變換器實現(xiàn)矩形波導TE10 模

23、到圓波導 TE11 模的激勵。 TE11 模存在極化簡并現(xiàn)象。由于圓波導加工中可能出現(xiàn)細微的不均勻性，傳輸過程中 TE11 模場的極化面會發(fā)生旋轉(zhuǎn)。因此，盡管 TE11 模是圓波導中的主模，但它不宜作為傳輸模式。 第七章第七章 導行電磁波導行電磁波圖7-4-4 圓波導中 TE11 模的場結(jié)構(gòu) 第七章第七章 導行電磁波導行電磁波2TM01模 TM01 模是圓波導中E波的最低次模，也是圓波導中的第一個高次模。截止波長 c = 2.613a。因為 m=0，所以 TM01 模無極化簡并現(xiàn)象，且為軸對稱或圓對稱模。 M01 模只有H 、E 和 Ez 三個場分量，場結(jié)構(gòu)如圖7-4-5所示。由于模的場結(jié)構(gòu)特

24、點及軸對稱性，該模常用于雷達天線饋電系統(tǒng)的旋轉(zhuǎn)鉸鏈中。 圓波導中 TM01模引起的壁電流分布為 azaSHeHeJ （7-4-21） TM01 模的壁電流分布只有 z 分量。對于傳輸該模式的圓波導，可以沿波導縱向開窄槽，插入金屬探針作為測量線使用。 第七章第七章 導行電磁波導行電磁波圖7-4-5 圓波導中 模的場結(jié)構(gòu) 01TM 第七章第七章 導行電磁波導行電磁波模是圓波導的高次模，其截止波長為 ，301TE 模01TEa640. 1c該模式也是一種無極化簡并現(xiàn)象的軸對稱模式。 01TEHE 、zHE模只有和三個場分量，且圖7-4-6所示。構(gòu)成閉合回路，場結(jié)構(gòu)如圓波導中， 模引起的壁電流分布為

25、01TEazazSHeHeJ（7-4-22）可見， 模的壁電流分布只有 分量。該特點使得 模在高頻下的損耗最小，故常被作為毫米波遠距離傳輸模式。 01TE01TE 第七章第七章 導行電磁波導行電磁波圖7-4-6 圓波導中 模的場結(jié)構(gòu) 01TE 第七章第七章 導行電磁波導行電磁波7.5 波導的損耗 實際上波導壁是非理想導體，其電導率值有限，導行系統(tǒng)中所填充的介質(zhì)是非理想介質(zhì)，所以電磁波在導行系統(tǒng)中傳輸時有一定的導體損耗和介質(zhì)損耗。有損耗的波導中，電磁波的傳播常數(shù)是復數(shù) = + j，其中 為衰減常數(shù)。7.5.1 波導壁損耗 由于存在損耗，電磁波在傳播過程中，其電磁場量的幅度按 e-z 衰減，傳輸功

26、率按 e-2z 衰減。因此，z 處的傳輸功率為zPzP20e)( （7-5-1）其中, P0 為 z=0 處的傳輸功率。若僅考慮波導壁的損耗， = c 。 第七章第七章 導行電磁波導行電磁波單位長度上的損耗功率為PzPPcL2dd （7-5-2） 所以PP2Lc （7-5-3） 由電磁場理論（7-5-4） （7-5-5） 其中， 是波導的橫截面面積，微分面元矢量 d 的方向為+z 方向。 是單位長度的波導壁表面面積微分面元矢量 d 的方向為波導壁內(nèi)表面的法線方向en。Es 和 Hs 是波導壁內(nèi)表面上的電磁場量。 HEHE*d)(Re21d)(Re21SLSPP 第七章第七章 導行電磁波導行電磁

27、波 假定波導壁的電導率不影響波導中電磁場的分布，也不影響波導壁內(nèi)表面上的磁場；它的影響僅在于在波導壁內(nèi)表面上產(chǎn)生了切向電場。波導壁的電導率較大，這樣的假設(shè)不會引起顯著的誤差。在該假設(shè)下，式(7-5-4)中的場量以及式(7-5-5)中的 Hs 可以用理想波導中的場量來替代。 根據(jù)式（7-2-17）,傳輸功率表達式（7-5-4）可寫為 ZPd22TWH （7-5-6） 在穿透深度內(nèi)的電磁波可近似看作導電介質(zhì)中的平面電磁波，因此有SSHeEn（7-5-7）其中， 為波導壁的復波阻抗。將式 (7-5-7) 代入 (7-5-5)，并應用 Re =Rs，可得波導壁的損耗功率為 第七章第七章 導行電磁波導行

28、電磁波RPSd212tSLH（7-5-8）則單位長度波導壁的損耗功率為lRPlSd212tSLH （7-5-9）式中，Hst 是波導壁內(nèi)表面上磁場的切向分量；l 為波導橫截面的周界。 將式（7-5-6）和（7-5-7）代入式（7-5-3），可得m)(Npdd212TW2tSc/HHlSZlR（7-5-10） 其中 1Np=8.686dB。 第七章第七章 導行電磁波導行電磁波（7-5-11） 若介質(zhì)損耗較小，且波導工作在遠離截止的傳輸狀態(tài)，從而 有 則上式可寫為 若波導壁為理想導體，波導內(nèi)填充的是有耗介質(zhì)，其損耗角正切為 ，衰減常數(shù)為 。由 ， 有 ，以及 2c22tank7.5.2 介質(zhì)損耗t

29、and22c2kk22k)tanj1 ( )tanj1(j22c22cdkkk2c222c2tanj1jkk)(2tanj1(jj2c222c2dkk 第七章第七章 導行電磁波導行電磁波比較等式兩邊，可得m/Np)(1tantan2tan2c22dk （7-5-12）)(2c22c2kc、k式中，為工作頻率， （電磁參量為）的波導的截止頻率，為相應無損介質(zhì)中的波數(shù)。是填充無損介質(zhì) 第七章第七章 導行電磁波導行電磁波z-2121T21z-2121T21)e()()()e()()(uuHuuzuuuuEuuzuuzzzz,e,H,H,e,E,E0)()(0)()(21z2c21z2T21z2c21z2TuuHkuuHuuEkuuE,22