差分方程模型的理論和方法

1、 差分方程模型的理論和方法 引言 1、差分方程： 差分方程反映的是關(guān)于離散變量的取值與變化規(guī)律。通過建立一個或幾個離散變量取值所滿足的平衡關(guān)系，從而建立差分方程。 差分方程就是針對要解決的目標，引入系統(tǒng)或過程中的離散變量，根據(jù)實際背景的規(guī)律、性質(zhì)、平衡關(guān)系，建立離散變量所滿足的平衡關(guān)系等式，從而建立差分方程。通過求出和分析方程的解，或者分析得到方程解的 特別性質(zhì)（平衡性、穩(wěn)定性、漸近性、振動性、周期性等），從而把握這個離散變量的變化過程的規(guī)律，進一步再結(jié)合其他分析，得到原問題的解。 2、應(yīng)用：差分方程模型有著廣泛的應(yīng)用。實際上，連續(xù)變量可以用離散變量來近似和逼近，從而微分方程模型就可以近似于某

2、個差分方程模型。差分方程模型有著非常廣泛的實際背景。在經(jīng)濟金融保險領(lǐng)域、生物種群的數(shù)量結(jié)構(gòu)規(guī)律分析、疾病和病蟲害的控制與防治、遺傳規(guī)律的研究等許許多多的方面都有著非常重要的作用。可以這樣講，只要牽涉到關(guān)于變量的規(guī)律、性質(zhì)，就可以適當?shù)赜貌罘址匠棠Ｐ蛠肀憩F(xiàn)與分析求解。 3、差分方程建模： 在實際建立差分方程模型時，往往要將變化過程進行劃分，劃分成若干時段，根據(jù)要解決問題的目標，對每個時段引入相應(yīng)的變量或向量，然后通過適當假設(shè)，根據(jù)事物系統(tǒng)的實際變化規(guī)律和數(shù)量相互關(guān)系，建立每兩個相鄰時段或幾個相鄰時段或者相隔某幾個時段的量之間的變化規(guī)律和運算關(guān)系（即用相應(yīng)設(shè)定的變量進行四則運算或基本初等函數(shù)運算或

3、取最運算等）等式（可以多個并且應(yīng)當充分全面反映所有可能的關(guān)系），從而 建立起差分方程?；蛘邔κ挛锵到y(tǒng)進行劃分，劃分成若干子系統(tǒng)，在每個子系統(tǒng)中引入恰當?shù)淖兞炕蛳蛄浚缓蠓治鼋⑵鹱舆^程間的這種量的關(guān)系等式，從而建立起差分方程。在這里，過程時段或子系統(tǒng)的劃分方式是非常非常重要的，應(yīng)當結(jié)合已有的信息和分析條件，從多種可選方式中挑選易于分析、針對性強的劃分，同時，對劃分后的時段或子過程，引入哪些變量或向量都是至關(guān)重要的，要仔細分析、選擇，盡量擴大對過程或系統(tǒng)的數(shù)量感知范圍，包括對已有的、已知的若干量進行結(jié)合運算、取最運算等處理方式，目的是建立起簡潔、深刻、易于求解分析的差分方程。在后面我們所舉的實際

4、例子中，這方面的內(nèi)容應(yīng)當重點體會。2 / 23 差分方程模型作為一種重要的數(shù)學模型，對它的應(yīng)用也應(yīng)當遵從一般的數(shù)學建模的理論與方法原則。同時注意與其它數(shù)學模型方法結(jié)合起來使用，因為一方面建立差分方程模型所用的數(shù)量、等式關(guān)系的建立都需要其他的數(shù)學分析方式來進行；另一方面，由差分方程獲得的結(jié)果有可以進一步進行優(yōu)化分析、滿意度分析、分類分析、相關(guān)分析等等。第一節(jié) 差分方程的基本知識一、 基本概念1、 差分算子 設(shè)數(shù)列，定義差分算子為在處的向前差分。 而為在處的向后差分。 以后我們都是指向前差分。 可見是的函數(shù)。從而可以進一步定義的差分： 稱之為在處的二階差分，它反映的是的增量的增量。 類似可定義在處

5、的階差分為： 2、 差分算子 、不變算子、平移算子記，稱為平移算子，為不變算子 。 則有： 由上述關(guān)系可得： （1） 這表明在處的階差分由在，處的取值所線性決定。 反之， 由 得 ： ，得：, 這個關(guān)系表明：第n+2項可以用前兩項以及相鄰三項增量的增量來表現(xiàn)和計算。即一個數(shù)列的任意一項都可以用其前面的k 項和包括這項在內(nèi)的k+1 項增量的增量的增量.第k 層增量所構(gòu)成。 . 得： （2） 可以看出： 可以由的線性組合表示出來3、 差分方程 由以及它的差分所構(gòu)成的方程 （3）稱之為k階差分方程。由（1）式可知（3）式可化為 （4） 故（4）也稱為k階差分方程（反映的是未知數(shù)列任意一項與其前，前面

6、k項之間的關(guān)系）。由（1）和（2）可知，（3）和（4）是等價的。 我們經(jīng)常用的差分方程的形式是（4）式。4、 差分方程的解與有關(guān)概念（1） 如果使階差分方程（4）對所有的成立，則稱 為方程（4）的解。（2） 如果（為常數(shù)）是（4）的解，即 則稱為（4）的平衡解或叫平衡點。平衡解可能 不只一個。平衡解的基本意義是：設(shè)是（4）的解，考慮的變化性態(tài)，其中之一是極限狀況，如果，則方程（4）兩邊取極限（就存在在這里面），應(yīng)當有 （3） 如果（4）的解使得既不是最終正的，也不是最終負的，則稱為關(guān)于平衡點是振動解。（4） 如果令：，則方程（4）會變成 （5）則 成為（5）的平衡點。（5） 如果（5）的所有解

7、是關(guān)于振動的，則稱階差分方程 （5）是振動方程。如果（5）的所有解是關(guān)于非振動的，則稱階差分方程（5）是非振動方程。（6） 如果（5）有解，使得對任意大的有 則稱為正則解。（即不會從某項后全為零）（7） 如果方程（4）的解使得，則稱為穩(wěn)定解。5、 差分算子的若干性質(zhì)（1） （2） （3） （4） （5）6、 Z變換定義：對于數(shù)列，定義復數(shù)級數(shù) （6） 這是關(guān)于洛朗級數(shù)。它的收斂域是：，其中可以為，可以為0。 稱為的-變換。 由復變函數(shù)展開成洛朗級數(shù)的唯一性可知：變換是一一對應(yīng)的，從而有逆變換，記為： （7） 變換是研究數(shù)列的有效工具 。變換的若干重要性質(zhì)：（1）線性性 （2）平移性質(zhì) 變換舉例

8、： （1）, 則 （2），則 （3）設(shè)則 （4）設(shè)則 第二節(jié) 差分方程常用解法與性質(zhì)分析1、 常系數(shù)線性差分方程的解 方程 （ 8） 其中為常數(shù)，稱方程（8）為常系數(shù)線性方程。 又稱方程 （9） 為方程（8）對應(yīng)的齊次方程。 如果（9）有形如的解，帶入方程中可得： （10） 稱方程（10）為方程（8）、（9）的特征方程。 顯然，如果能求出（10）的根，則可以得到（9）的解。 基本結(jié)果如下：（1） 若（10）有k個不同的實根，則（9）有通解： ，（2） 若（10）有m重根，則通解中有構(gòu)成項： （3）若（10）有一對單復根 ，令：，則（9）的通解中有構(gòu)成項： （4） 若有m 重復根：，則（9）的通

9、項中有構(gòu)成項： 綜上所述，由于方程（10）恰有k 個根，從而構(gòu)成方程 （9）的通解中必有k個獨立的任意常數(shù)。通解可記為： 如果能得到方程（8）的一個特解：，則（8）必有通解： + （11）（8） 的特解可通過待定系數(shù)法來確定。 例如：如果為n 的多項式，則當b不是特征根時，可設(shè)成形如形式的特解，其中為m次多項式；如果b是r重根時，可設(shè)特解：，將其代入（8）中確定出系數(shù)即可。2、 差分方程的z變換解法 對差分方程兩邊關(guān)于取Z變換，利用的Z 變換F（z）來表示出的Z變換，然后通過解代數(shù)方程求出F（z），并把F(z)在z=0的解析圓環(huán)域中展開成洛朗級數(shù)，其系數(shù)就是所要求的例1 設(shè)差分方程，求 解：解

10、法1：特征方程為，有根： 故：為方程的解。 由條件得：解法2：設(shè)F（z）=Z(),方程兩邊取變換可得： 由條件得 由F（z） 在中解析，有 所以，3、 二階線性差分方程組設(shè)，形成向量方程組 （12）則 （13） （13）即為（12）的解。 為了具體求出解（13），需要求出，這可以用高等代數(shù)的方法計算。常用的方法有： （1）如果A為正規(guī)矩陣，則A必可相似于對角矩陣，對角線上的元素就是A的特征值，相似變換矩陣由A的特征向量構(gòu)成：。 （2）將A 分解成為列向量，則有 從而，（3） 或者將A相似于約旦標準形的形式，通過討論A的特征值的性態(tài)，找出的內(nèi)在構(gòu)造規(guī)律，進而分析解 的變化規(guī)律，獲得它的基本性質(zhì)。

11、4、 關(guān)于差分方程穩(wěn)定性的幾個結(jié)果（1）k 階常系數(shù)線性差分方程（8）的解穩(wěn)定的充分必要條件是它對應(yīng)的特征方程（10）所有的 特征根滿足 （2）一階非線性差分方程 （14） （14）的平衡點由方程決定， 將在點處展開為泰勒形式： （15） 故有：時，（14）的解是穩(wěn)定的， 時，方程（14）的平衡點是不穩(wěn)定的。 第三節(jié) 差分方程建模舉例 差分方程建模方法的思想與與一般數(shù)學建模的思想是一致的，也需要經(jīng)歷 背景分析、確定目標、預想結(jié)果、引入必要的數(shù)值表示（變量、常量、函數(shù)、積分、導數(shù)、差分、取最等）概念和記號、幾何形式（事物形狀、過程軌跡、坐標系統(tǒng)等），也就是說要把事物的性態(tài)、結(jié)構(gòu)、過程、成分等用數(shù)

12、學概念、原理、方法來表現(xiàn)、分析、求解。當然，由于差分方程的特殊性，首先應(yīng)當把系統(tǒng)或過程進行特別分解，形成表現(xiàn)整個系統(tǒng)的各個部分的離散取值形式，或形成變化運動過程的時間或距離的分化而得到離散變量。然后通過內(nèi)在的機理分析，找出變量所能滿足的平衡關(guān)系、增量或減量關(guān)系及規(guī)律，從而得到差分方程。另外，有時有可能 通過多個離散變量的關(guān)系得到我們關(guān)心的變量的關(guān)系，這實際上建立的是離散向量方程，它有著非常重要的意義。有時還需要找出決定變量的初始條件。有時還需要將問題適當分成幾個子部分，分別求解。模型1 種群生態(tài)學中的蟲口模型： 在種群生態(tài)學中，考慮像蠶、蟬這種類型的昆蟲數(shù)目的變化 ，他的變化規(guī)律是：每年夏季這

13、種昆蟲成蟲產(chǎn)卵后全部死亡，第二年春天每個蟲卵孵化成一個蟲子。建立數(shù)學模型來表現(xiàn)蟲子數(shù)目的變化規(guī)律。 模型假設(shè)與模型建立：假設(shè)第n年的蟲口數(shù)目為，每年一個成蟲平均產(chǎn)卵c個（這個假設(shè)有點粗糙，應(yīng)當考慮更具體的產(chǎn)卵分布狀況），則有：，這是一種簡單模型； 如果進一步分析，由于成蟲之間會有爭斗以及傳染病、天敵等的威脅，第n+1年的成蟲數(shù)會減少，如果考慮減少的主要原因是蟲子之間的兩兩爭斗，由于蟲子配對數(shù)為，故減少數(shù)應(yīng)當與它成正比，從而有： 這個模型可化成：，這是一階非線性差分方程。這個模型的解的穩(wěn)定性可以用相應(yīng)一階差分方程的判斷方法，即（14）式來獲得。 如果還考慮其它的影響成蟲孵卵及成活的因素的定量關(guān)系

14、，這個模型在此基礎(chǔ)上仍可進一步改進，更加符合實際情形。這種關(guān)系一方面可以通過機理分析，確定減少量與影響因素的定量關(guān)系，另一方面也可以用統(tǒng)計的方法來線性估計影響程度?；蛘哌€可以用影響曲線的方法來直觀表現(xiàn)影響的比例關(guān)系、周期關(guān)系、增量關(guān)系等等。 模型2 具周期性的運動過程的差分方程模型 建立差分方程描述振動臺上的乒乓球垂直運動的方程，即把運動過程中的某些離散變化取值的變量的變化規(guī)律表現(xiàn)出來。 假設(shè)：乒乓球與振動臺之間的振動恢復系數(shù)為振動臺臺面的上下位移是，乒乓球初始時刻在離臺面垂直距離為H處為自由落體運動。 又假設(shè)為第j 次碰撞時刻，第 j次碰撞前的速度為，碰撞后的速度為。假設(shè)。振動臺臺面的運動速

15、度為；又記，則有：， （3.1）另外，由碰撞規(guī)律分析可知： 該式經(jīng)簡化處理后可得： （3.2）由（1）和（2）式聯(lián)立可得二階差分非線性方程組 模型3 蛛網(wǎng)模型（1） 經(jīng)濟背景與問題：在自 由市場經(jīng)濟中，有些商品的生產(chǎn)、銷售呈現(xiàn)明顯的周期性。農(nóng)業(yè)產(chǎn)品往往如此，在工業(yè)生產(chǎn)中，許多商品的生產(chǎn)銷售是有周期性的，表現(xiàn)在：商品的投資、銷售價格、產(chǎn)量、銷售量在一定時期內(nèi)是穩(wěn)定的，因而整個某個較長的時期內(nèi)這些經(jīng)濟數(shù)據(jù)表現(xiàn)為離散變量的形式。在這些因素中，我們更關(guān)心的是商品的銷售價格與生產(chǎn)產(chǎn)量這兩個指標，它們是整個經(jīng)營過程中的核心因素，要想搞好經(jīng)營，取得良好的經(jīng)濟效益，就必須把握好這兩個因素的規(guī)律，作好計劃。試分

16、析市場經(jīng)濟中經(jīng)營者根據(jù)市場經(jīng)濟的規(guī)律，如何建立數(shù)學模型來表現(xiàn)和分析市場趨勢的。（2） 模型假設(shè)與模型建立 將市場演變模式劃分為若干段，用自然數(shù)n來表示；設(shè)第n個時段商品的數(shù)量為，價格為，n=1,2.;由于價格與產(chǎn)量緊密相關(guān)，因此可以用一個確定的關(guān)系來表現(xiàn)：即設(shè)有 （3. 3）這就是需求函數(shù)，f 是單調(diào)減少的對應(yīng)關(guān)系; 又假設(shè)下一期的產(chǎn)量是決策者根據(jù)這期的價格決定的，即：設(shè)，h是單調(diào)增加的對應(yīng)關(guān)系， 從而，有關(guān)系： （3.4）g 也是單調(diào)增加的對應(yīng)關(guān)系. 因此可以建立差分方程： （3.5） （3.6） 這就是兩個差分方程。屬一階非線性差分方程。（3） 模型的幾何表現(xiàn)與分析。 為了表現(xiàn)出兩個變量和

17、的變化過程，我們可以借助已有的函數(shù)f和g ,通過對應(yīng)關(guān)系的幾何表現(xiàn)把點列，和在坐標系中描繪出來，進而分析它們的變化規(guī)律、趨勢、找穩(wěn)定點等等。其中 將點列連接起來，就會形成象蛛網(wǎng)一樣的折線，這個圖形被稱作為蛛網(wǎng)模型?？梢栽O(shè)想，這種形式可作為差分方程分析與求解的重要手段，它的主要數(shù)學技術(shù)是：圖形的描繪，曲線上點列的描繪（設(shè)法由前一個點的一個坐標分量來算出下一個點的一個坐標分量，并確認它在哪條曲線上，就可以畫出這個點；有時或者可由前兩個點決定下一個點的一個坐標分量），也就是通過直觀、幾何形式，把我們關(guān)心的變量的所有可能取值表示出來。這里采用的方法是，引入兩條曲線，因為在曲線上如果知道了一個分量，就可

18、以作出另一個分量?？梢妿缀涡问奖硎居嘘P(guān)系的變量是既方便又有意義的。ypgPOfx 易見：如果點列最后收斂于點，則，并且就是兩條曲線的交點，從而穩(wěn)定的。這也表明，市場在長期運行之后會保持一種穩(wěn)定的狀態(tài)，說明市場處于飽和狀態(tài)。要想進一步發(fā)展就必須打破這種平衡，在決策機制和方法上有所改進。 幾何上的進一步分析表明，如果曲線和在交點處切線的斜率的絕對值記為：，則 當時，是穩(wěn)定的； 當 時，是不穩(wěn)定的。(4) 模型的差分方程分析設(shè)點滿足：，在點附近取函數(shù)的一階近似： 合并兩式可得： 這是關(guān)于 的一階線性差分方程。當然它是原來方程的近似模型。作為數(shù)學模型，本來就是客觀實際問題的近似模擬，現(xiàn)在為了處理方便，

19、適當取用其近似形式是合理的。 其中，為f 在點處的切線斜率；為g(x)在點處切線的斜率。 方程（3.9）遞推可得： 所以，點穩(wěn)定的充要條件是：即： 這個結(jié)論與蛛網(wǎng)模型的分析結(jié)果是一致的。（4） 模型推廣 如果決策時考慮到與都有關(guān)系，則可假設(shè) 這時數(shù)學模型為： 對此模型仍用線性近似關(guān)系可得：首先求出平衡點，即解方程 則有： 再結(jié)合（3.7）可得： 即： 特征方程為： 特征根為： 所以：時，此時解不穩(wěn)定。 時，則時， 從而解是穩(wěn)定的。 這個條件比原來的模型解的穩(wěn)定性條件放寬了。說明決策水 平提高了。 進一步來看，對這個模型還可以進行進一步的分析：考慮下一年的產(chǎn)量時，還可以近三年的價格來決定，例如：

20、設(shè)，；另外還可以考慮引入投資額，并建立有關(guān)的離散方程關(guān)系。模型4 人口的控制與預測模型 背景分析：人口數(shù)量的發(fā)展變化規(guī)律及特性可以用偏微分方程的理論形式來表現(xiàn)和模擬。但在實際應(yīng)用中不是很方便，需要建立離散化的模型，以便于分析、應(yīng)用。人口數(shù)量的變化取決于諸多因素，比如：女性生育率、死亡率、性別比、人口基數(shù)等。試建立離散數(shù)學模型來表現(xiàn)人口數(shù)量的變化規(guī)律。 模型假設(shè)：以年為時間單位記錄人口數(shù)量，年齡取周歲。（1） 設(shè)這個地區(qū)最大年齡為m歲（2） 第t年為i歲的人數(shù)為， 這個數(shù)量指標是整個問題分析、表現(xiàn)的目標和載體，我們的目的就是找出這些變量的變化規(guī)律、內(nèi)在的普遍聯(lián)系。（3） 設(shè)第t年為i歲的人口平均

21、死亡率為，即這一年中i歲人口中死亡數(shù)與基數(shù)之比： 即： （4） 設(shè)第t 年i歲女性的生育率：即每位女性平均生育嬰兒 數(shù)為 ，為生育區(qū)間。 為第t年i歲人口的女性比（占全部i歲人口數(shù)） 由此可知：第t 年出生的人數(shù)為： （5） 記第t 年嬰兒的死亡率為，則（6） 設(shè)，它表示i歲女性總生育率，則，如果假設(shè)年后女性出生率保持不變，則 可見，表示每位婦女一生中平均生育的嬰兒數(shù)，稱之為總和生育率。它反映了人口變化的基本因素。 模型建立：根據(jù)上面的假設(shè) . 為了全面系統(tǒng)地反映一個時期內(nèi)人口數(shù)量的狀況， 令 則此向量滿足方程： 即：這是一階差分方程 其中是可控變量，是狀態(tài)變量，并且關(guān)于和都是線性的，故稱其為

22、雙線性方程。 模型分析： 在穩(wěn)定的社會環(huán)境下，死亡率 、生育模式、女性比例、嬰兒存活率是可以假設(shè)為不變的，故為常數(shù)矩陣。從而， 只要總生育率確定下來，則人口的變化規(guī)律就可以確定下來。為了更全面地反映人口的有關(guān)信息，下面再引入一些重要的指標：（1） 人口總數(shù)：（2） 人口平均年齡：（3） 平均壽命：，這里假定從第t年分析，如果以后每年的死亡率是不變的，即：則表示 t 年出生的人活到第j+1年期間的死亡率，這也表明其壽命為j歲，j=1,2m.而表示壽命。 通過求出的變化規(guī)律，就可以對上面引入的3個指標進行更具體的分析，從而對人口的分布狀況、變化趨勢、總體特征等有科學的認識和把握。具體求解分析這里不

23、再進行。 模型5 線性時間離散彌漫網(wǎng)絡(luò)模型 引言：一個國家在一定時間段內(nèi)的財富依賴于許多因素，不同國家的相互交流是重要的方面。建立數(shù)學模型，表現(xiàn)國家財富的變化與國家間財富的流動之間的關(guān)系。 模型假設(shè)：設(shè)有n個國家，用表示在時期的財富。假設(shè)只考慮這些國家之間僅僅兩兩國家之間有交流關(guān)系。并且假設(shè)財富流動的系數(shù)是。 模型的建立：國家間的財富關(guān)系應(yīng)當滿足 . 用矩陣形式表示： 令表示時期t 各個國家的財富狀態(tài)； 令則有： 記 ，則 模型計算與分析： 計算可知 的特征值為； 的特征值為 對應(yīng)的特征向量為 其中 為討論方便起見，引入如下記號： 則有：n 為偶數(shù)時： n 為奇數(shù)時： 記：為由張成的子空間，

24、則： 由此式進一步分析可以獲得：當時，的漸進變化狀態(tài)規(guī)律(略)。 模型 6 金融問題的差分方程模型1、 設(shè)現(xiàn)有一筆p萬元的商業(yè)貸款，如果貸款期是n年，年利率是 ，今采用月還款的方式逐月償還，建立數(shù)學模型計算每月的還款數(shù)是多少？模型分析：在整個還款過程中，每月還款數(shù)是固定的，而待還款數(shù)是變化的，找出這個變量的變化規(guī)律是解決問題的關(guān)鍵。 模型假設(shè)：設(shè)貸款后第 k個月后的欠款數(shù)是元，月還款為元，月貸款利息為。模型建立：關(guān)于離散變量，考慮差分關(guān)系有： ， 即： （3.15） 這里已知有： 模型求解：令，則 這就是差分方程（3.15）的解。把已知數(shù)據(jù)代入中，可以求出月還款額。例如： 時，可以求出：元。模

25、型的進一步拓廣分析：拓廣分析包括條件的改變、目標的改變、某些特殊結(jié)果等。如果令，則，并且 當時，總有，即表明：每月只還上了利息。只有當時，欠款余額逐步減少，并最終還上貸款。2、 養(yǎng)老保險模型 問題：養(yǎng)老保險是保險中的一種重要險種，保險公司將提供不同的保險方案供以選擇，分析保險品種的實際投資價值。也就是說，分析如果已知所交保費和保險收入，按年或按月計算實際的利率是多少？也就是說，保險公司需要用你的保費實際獲得至少多少利潤才能保證兌現(xiàn)你的保險收益？ 模型舉例分析：假設(shè)每月交費200元至60歲開始領(lǐng)取養(yǎng)老金，男子若25歲起投保，屆時養(yǎng)老金每月2282元；如35歲起保，屆時月養(yǎng)老金1056元；試求出保

26、險公司為了兌現(xiàn)保險責任，每月至少應(yīng)有多少投資收益率？這也就是投保人的實際收益率。 模型假設(shè)：這應(yīng)當是一個過程分析模型問題。過程的結(jié)果在條件一定時是確定的。整個過程可以按月進行劃分，因為交費是按月進行的。假設(shè)投保人到第月止所交保費及收益的累計總額為，每月收益率為，用分別表示60歲之前和之后每月交費數(shù)和領(lǐng)取數(shù)，N表示停交保險費的月份，M表示停領(lǐng)養(yǎng)老金的月份。 模型建立：在整個過程中，離散變量的變化規(guī)律滿足：， 在這里實際上表示從保險人開始交納保險費以后，保險人帳戶上的資金數(shù)值，我們關(guān)心的是，在第M個月時， 能否為非負數(shù)？如果為正，則表明保險公司獲得收益；如為負數(shù)，則表明保險公司出現(xiàn)虧損。當為零時，

27、表明保險公司最后一無所有，表明所有的收益全歸保險人，把它作為保險人的實際收益。從這個分析來看，引入變量，很好地刻畫了整個過程中資金的變化關(guān)系，特別是引入收益率 ，雖然它不是我們所求的保險人的收益率，但是從問題系統(tǒng)環(huán)境中來看，必然要考慮引入另一對象：保險公司的經(jīng)營效益，以此作為整個過程中各種量變化的表現(xiàn)基礎(chǔ)。 模型計算：以25歲起保為例。假設(shè)男性平均壽命為75歲，則有 ，初始值為，我們可以得到：在上面兩式中，分別取和并利用可以求出： 利用數(shù)學軟件或利用牛頓法通過變成求出方程的跟為： 同樣方法可以求出：35歲和45歲起保所獲得的月利率分別為 練習題： 1、金融公司支付基金的流動模型：某金融機構(gòu)設(shè)立

28、一筆總額為540 萬的基金，分開放置位于A城和B城的兩個公司，基金在平時可以使用，但每周末結(jié)算時必須確?？傤~仍為540 萬。經(jīng)過一段時間運行，每過一周，A城公司有10%的基金流動到B城公司，而B城公司則有12%的基金流動到A城公司。開始時，A城公司基金額為260萬，B城公司為280萬。試建立差分方程模型分析：兩公司的基金數(shù)額變化趨勢如何？進一步要求，如果金融專家認為每個公司的支付基金不能少于220萬，那么是否需要在什么時間將基金做專門調(diào)動來避免這種情況？ 2、某保險公司推出與養(yǎng)老結(jié)合的人壽保險計劃，其中介紹的例子為：如果40歲的男性投保人每年交保險費1540元，交費期20歲至60歲，則在他生存期間，45歲時（投保滿5年）可獲返還補貼4000元，50歲時（投保滿10年）可獲返還補貼5000元，其后每隔5年可獲增幅為1000元的返還補貼。另外，在投保人去世或殘廢時，其受益人可獲保險金20000元 。試建立差分方程模型分析：若該投保人的壽命為76歲，其交保險費所獲得的實際年利率是多少？而壽命若為74歲時，實際年利率又是多少？3、Leslie種群年齡結(jié)構(gòu)的差分方程模型 已知一種昆蟲每兩周產(chǎn)卵一次，六周以后死亡（給除了變化過程的基本規(guī)律）。孵化后的幼蟲2周后成熟，平均產(chǎn)卵100個，四周齡的成蟲平均產(chǎn)卵150個。假設(shè)每個卵發(fā)育成2周齡成蟲的概率為0.09，（稱為成活率），2周齡成蟲發(fā)育