第九章 拉普拉斯變換PPT

1、第第9章章 拉普拉斯變換拉普拉斯變換THE LAPLACE TRANSFORM4. 雙邊拉普拉斯變換的性質(zhì)；雙邊拉普拉斯變換的性質(zhì)；本章基本內(nèi)容：本章基本內(nèi)容：1. 雙邊拉普拉斯變換；雙邊拉普拉斯變換；2. 雙邊拉普拉斯變換的收斂域；雙邊拉普拉斯變換的收斂域；5. 系統(tǒng)函數(shù)；系統(tǒng)函數(shù)；6. 單邊拉普拉斯變換；單邊拉普拉斯變換；3. 零極點圖；零極點圖；9.0 引言引言 Introduction 傅里葉變換是以復(fù)指數(shù)函數(shù)的特例傅里葉變換是以復(fù)指數(shù)函數(shù)的特例 和和 為基底分解信號的。對更一般的復(fù)指數(shù)函數(shù)為基底分解信號的。對更一般的復(fù)指數(shù)函數(shù) 和和 ，也理應(yīng)能以此為基底對信號進(jìn)行分解。，也理應(yīng)能以此

2、為基底對信號進(jìn)行分解。jtejnestenz 傅里葉分析方法之所以在信號與傅里葉分析方法之所以在信號與LTI系統(tǒng)分析系統(tǒng)分析中如此有用，很大程度上是因為相當(dāng)廣泛的信號中如此有用，很大程度上是因為相當(dāng)廣泛的信號都可以表示成復(fù)指數(shù)信號的線性組合，而都可以表示成復(fù)指數(shù)信號的線性組合，而復(fù)指數(shù)復(fù)指數(shù)函數(shù)是一切函數(shù)是一切 LTI 系統(tǒng)的特征函數(shù)。系統(tǒng)的特征函數(shù)。 通過本章及下一章，會看到拉普拉斯變換和通過本章及下一章，會看到拉普拉斯變換和變變換不僅具有很多與傅里葉變換相同的重要性質(zhì)，不換不僅具有很多與傅里葉變換相同的重要性質(zhì)，不僅能僅能解決解決用傅里葉分析方法可以解決的信號與系統(tǒng)用傅里葉分析方法可以解決

3、的信號與系統(tǒng)分析問題，而且還能分析問題，而且還能用于用于傅里葉分析方法不適用的傅里葉分析方法不適用的許多方面。許多方面。拉普拉斯變換與拉普拉斯變換與變換的分析方法是傅變換的分析方法是傅里葉分析法的推廣，傅里葉分析是它們的特例里葉分析法的推廣，傅里葉分析是它們的特例。 將傅里葉變換推廣到更一般的情況就是本章及下將傅里葉變換推廣到更一般的情況就是本章及下一章要討論的中心問題。一章要討論的中心問題。9.1 拉普拉斯變換拉普拉斯變換 復(fù)指數(shù)信號復(fù)指數(shù)信號 是一切是一切LTI系統(tǒng)的特征函數(shù)。系統(tǒng)的特征函數(shù)。如果如果LTI系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)為系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)為 ，則系統(tǒng)對，則系統(tǒng)對 產(chǎn)生的響應(yīng)是產(chǎn)生的響

4、應(yīng)是: ste( )h tste( )( )sty tH s e( )( )stH sh t edt，其中，其中顯然當(dāng)顯然當(dāng) 時，就是連續(xù)時間傅里葉變換時，就是連續(xù)時間傅里葉變換。sjThe Laplace Transform一一. .雙邊拉氏變換的雙邊拉氏變換的定義：定義：( )( )stX sx t edt稱為稱為 的的雙邊拉氏變換雙邊拉氏變換，其中，其中 。 ( )x tsj若若 ， 則有則有: :0sj()( )j tXjx t edt 這這就是就是 的傅里葉變換的傅里葉變換。( )x t表明：表明：連續(xù)時間傅里葉變換是雙邊拉普拉斯變換連續(xù)時間傅里葉變換是雙邊拉普拉斯變換在在 或是在或

5、是在 軸上的特例。軸上的特例。0j( )( ) ( )tj ttj tX sx t eedtx t eedt ( )tx t e F由于由于 所以所以拉氏變換是對傅里葉變換的推廣拉氏變換是對傅里葉變換的推廣， 的的拉氏變換就是拉氏變換就是 的傅里葉變換。只要有合的傅里葉變換。只要有合適的適的 存在，就可以使某些本來不滿足狄里赫利存在，就可以使某些本來不滿足狄里赫利條件的信號在引入條件的信號在引入 后滿足該條件。即有些信后滿足該條件。即有些信號的傅氏變換不收斂而它的拉氏變換存在。這表號的傅氏變換不收斂而它的拉氏變換存在。這表明明拉氏變換比傅里葉變換有更廣泛的適用性。拉氏變換比傅里葉變換有更廣泛的

6、適用性。( )x tte( )tx t e( )( )atx teu t例例1.()001( )atsts a tX seedtedtsaRe sa 在在 時，積分收斂。時，積分收斂。當(dāng)當(dāng) 時，時， 的傅里葉變換存在的傅里葉變換存在( )x t0a 01()atj tX jeedtaj(0)a 顯然，在顯然，在 時，拉氏變換收斂的區(qū)域為時，拉氏變換收斂的區(qū)域為 ，包括了，包括了 （即（即 軸）。軸）。0aRe sa 0j比較比較 和和 ，顯然有，顯然有 ()X j( )X s( )()sjX sX j當(dāng)當(dāng) 時，時，( )( )( )atx teu tu t0a 1( )u ts可知可知Re 0

7、s 例例2.( )()atx teut 00()1( )atsts a tX se e dtedts a Re sa 與例與例1.比較，區(qū)別僅在于收斂域不同。比較，區(qū)別僅在于收斂域不同。由以上例子，可以看出由以上例子，可以看出: :1. 拉氏變換與傅里葉變換一樣存在收斂問題。拉氏變換與傅里葉變換一樣存在收斂問題。并并非任何信號的拉氏變換都存在，也不是非任何信號的拉氏變換都存在，也不是 S 平面上平面上的任何復(fù)數(shù)都能使拉氏變換收斂。的任何復(fù)數(shù)都能使拉氏變換收斂。2. 使拉氏變換積分收斂的那些復(fù)數(shù)使拉氏變換積分收斂的那些復(fù)數(shù) S的集合，稱的集合，稱為拉氏變換的收斂域為拉氏變換的收斂域 。拉氏變換的

8、收斂域拉氏變換的收斂域 ROC （Region of Convergence）對拉氏變換）對拉氏變換是非常重是非常重要的概念。要的概念。3. 不同的信號可能會有完全相同的拉氏變換表達(dá)不同的信號可能會有完全相同的拉氏變換表達(dá)式，只是它們的收斂域不同。式，只是它們的收斂域不同。j()( )s jX jX s5. 如果拉氏變換的如果拉氏變換的ROC包含包含 軸，則有軸，則有4. 只有拉氏變換的表達(dá)式連同相應(yīng)的收斂域，才只有拉氏變換的表達(dá)式連同相應(yīng)的收斂域，才能和信號建立一一對應(yīng)的關(guān)系能和信號建立一一對應(yīng)的關(guān)系。二二. . 拉氏變換的拉氏變換的ROC及零極點圖：及零極點圖：2( )( )( )ttx

9、te u te u t例例3.200( )tsttstX se edteedt1( ),1te u tsRe 1s 21( ),2teu tsRe 2s 1j2j可見：可見：拉氏變換的收斂域是各個收斂域的公共部拉氏變換的收斂域是各個收斂域的公共部分。分。ROC總是以平行于總是以平行于 軸的直線作為邊界的，軸的直線作為邊界的，ROC的邊界總是與的邊界總是與 的分母的根相對應(yīng)的。的分母的根相對應(yīng)的。j( )X sRe 1s 若若 是有理函數(shù)是有理函數(shù)( )X s()( )( )( )()iiiisN sX sMD ssj2121123( ),1232sX sssss 分子多項式的根稱為分子多項式的

10、根稱為零點零點，分母多項式的根，分母多項式的根稱為稱為極點極點。 將將 的全部零點和極點表示在的全部零點和極點表示在S平面上，平面上，就構(gòu)成了就構(gòu)成了零極點圖零極點圖。零極點圖及其收斂域可以。零極點圖及其收斂域可以表示一個表示一個 ，最多與真實的，最多與真實的 相差一個常相差一個常數(shù)因子數(shù)因子 。( )X s( )X s( )X sM因此，因此，零極點圖是拉氏變換的圖示方法零極點圖是拉氏變換的圖示方法。9.2 拉氏變換的收斂域拉氏變換的收斂域v可以歸納出可以歸納出ROC的以下性質(zhì)：的以下性質(zhì)：The Region of Convergence for Laplace Transformsj4.

11、 右邊信號的右邊信號的ROC位于位于S平面平面內(nèi)一條平行于內(nèi)一條平行于 軸的直線的右邊。軸的直線的右邊。3. 時限信號的時限信號的ROC是整個是整個 S 平面。平面。2. 在在ROC內(nèi)無任何極點。內(nèi)無任何極點。j1. ROC是是 S 平面上平行于平面上平行于 軸的帶形區(qū)域。軸的帶形區(qū)域。0( )tTx t edt 若若 ，則，則101( )tTx t edt010100()()( )( )ttTTtTx t eedtex t edt1表明表明 也在收斂域內(nèi)。也在收斂域內(nèi)。 若若 是右邊信號是右邊信號, , , , 在在ROC內(nèi)內(nèi)，則有則有 絕對可積，即：絕對可積，即：00( )tx t e(

12、)x tTt 5. 左邊信號的左邊信號的ROC位于位于S平面內(nèi)一條平行于平面內(nèi)一條平行于 軸的直線的左邊。軸的直線的左邊。j 若若 是左邊信號，定義于是左邊信號，定義于 , 在在 ROC 內(nèi)，內(nèi)， ，則，則100( )x t(,T0101()( )( )TTtttx t edtx t eedt100()( )TTtex t edt 1表明表明 也在收斂域內(nèi)。也在收斂域內(nèi)。6. 雙邊信號的雙邊信號的ROC如果存在，一定是如果存在，一定是 S 平面內(nèi)平面內(nèi)平行于平行于 軸的帶形區(qū)域。軸的帶形區(qū)域。j0()()0( )11TatstTs a ts a TX seedtedtesa例例1.( )x t

13、 ate0其它其它0tT t考查零點，令考查零點，令()1s a Te 例例2.( )b tx te( )( )()btbtx teu te ut有極點有極點sa ( )X s 顯然顯然 在在 也有一階零點，由于零極也有一階零點，由于零極點相抵消，致使在整個點相抵消，致使在整個S平面上無極點。平面上無極點。sa ( )X s2sajkT 得得（k為整數(shù)）為整數(shù)）當(dāng)當(dāng) 時，上述時，上述ROC有公共部分，有公共部分，0b11( )X ssbsbRe bsb 當(dāng)當(dāng) 時，上述時，上述 ROC 無公共部分，表明無公共部分，表明 不存在。不存在。0b ( )X s1(),bte utsb Re sb 1(

14、 ),bteu tsbRe sbbjb 當(dāng)當(dāng) 是有理函數(shù)時，其是有理函數(shù)時，其ROC總是由總是由 的的極點分割的。極點分割的。ROC必然滿足下列規(guī)律：必然滿足下列規(guī)律：( )X s( )X s3. 雙邊信號的雙邊信號的ROC可以是任意兩相鄰極點之間可以是任意兩相鄰極點之間的帶形區(qū)域。的帶形區(qū)域。( )X s2. 左邊信號的左邊信號的ROC一定位于一定位于 最左邊極點最左邊極點的左邊。的左邊。( )X s1. 右邊信號的右邊信號的ROC一定位于一定位于 最右邊極點最右邊極點的右邊。的右邊。例例3.21( )321112X sssss可以形成三種可以形成三種 ROC：1) ROC：2) ROC：3

15、) ROC：Re 2s Re 1s 2Re 1s j12( )x t此時此時 是是右邊信號右邊信號。( )x t此時此時 是是左邊信號左邊信號。( )x t此時此時 是是雙邊信號雙邊信號。The Inverse Laplace Transform 一一. .定義：定義： 由由( )( )stX sx t edt若若 在在ROC內(nèi)，則有內(nèi)，則有:sj()( ) ( )tj ttXjx t eedtx t eF1( )()2tj tx t eXjed11( )()( )22tj tstx tXje e dX s e d9. 3 拉普拉斯反變換拉普拉斯反變換 當(dāng)當(dāng) 從從 時時, , 從從sjj 由由

16、sjdsjd得得 拉氏反變換表明拉氏反變換表明: : 可以被分解成復(fù)振幅為可以被分解成復(fù)振幅為 的復(fù)指數(shù)信號的復(fù)指數(shù)信號 的線性組合。的線性組合。( )x t1( )2X s dsjste1( )( )2jstjx tX s e dsj 的反變換的反變換( )X s二二. .拉氏反變換的求法拉氏反變換的求法: : 對有理函數(shù)形式的對有理函數(shù)形式的 求反變換一般有兩種方求反變換一般有兩種方法法, ,即即部分分式展開法部分分式展開法和和留數(shù)法留數(shù)法。( )X s 1. 將將 展開為部分分式。展開為部分分式。( )X sv 部分分式展開法：部分分式展開法：3. 利用常用信號的變換對與拉氏變換的性質(zhì)利

17、用常用信號的變換對與拉氏變換的性質(zhì),對每一項進(jìn)行反變換。對每一項進(jìn)行反變換。( )X s2. 根據(jù)根據(jù) 的的ROC，確定每一項的，確定每一項的ROC 。1,2ss 極點：極點：確定其可能的收斂域及所對應(yīng)信號的屬性。確定其可能的收斂域及所對應(yīng)信號的屬性。1( )(1)(2)X sss例例1.右邊信號右邊信號12j左邊信號左邊信號12j雙邊信號雙邊信號12j例例2.1( )(1)(2)X sssROC: 2Re 1s 11( )12Xsss1: Re 1()R1OCtse uts 21:Re 2ROC( )2tseu ts 2( )( )()ttx teu te ut 1. 求出求出 的全部極點。

18、的全部極點。( )X sv 留數(shù)法留數(shù)法（當(dāng)（當(dāng) 是有理函數(shù)時）：是有理函數(shù)時）：( )X s( )stX s e( )x t3. 求出求出 在在 ROC 右邊的所有極點處的留右邊的所有極點處的留數(shù)之和，并加負(fù)號，它們構(gòu)成了數(shù)之和，并加負(fù)號，它們構(gòu)成了 的反因果的反因果部分。部分。( )stX s e( )x t2. 求出求出 在在 ROC 左邊的所有極點處的留左邊的所有極點處的留數(shù)之和，它們構(gòu)成了數(shù)之和，它們構(gòu)成了 的因果部分。的因果部分。例例3.1( )12X sss: 2ReO1RCs 12( )Res( ),Res( ),ststx tX s esX s es 12211()( )21

19、()( )ststsstteuteu tsse ute u t ( )X s 的極點的極點 位于位于ROC的右邊，的右邊， 位位于于ROC的左邊。的左邊。22s 11s v可以用零極點圖表示可以用零極點圖表示 的特征的特征。當(dāng)。當(dāng)ROC包包括軸時，以括軸時，以 代入代入 ，就可以得，就可以得到到 。以此為基礎(chǔ)可以用幾何求值的方法。以此為基礎(chǔ)可以用幾何求值的方法從零極點圖求得從零極點圖求得 的特性。這在定性分析的特性。這在定性分析系統(tǒng)頻率特性時有很大用處。系統(tǒng)頻率特性時有很大用處。( )X sjsj()X j()X j( )X sGeometric Evaluation of the Fouri

20、er Transform from the Pole-Zero Plot9.4 由零極點圖對傅里葉變換幾何求值由零極點圖對傅里葉變換幾何求值( )X ssa1. 單零點情況：單零點情況： 矢量矢量 稱為稱為零點矢量零點矢量，它的長度，它的長度 表示表示 , ,其幅角即為其幅角即為 。1()X s1( )X s1sa 1|sa1sa0a1sj 零點零點 , , 要求出要求出 時的時的 ，可以，可以作兩個矢量作兩個矢量 和和 ，則，則 。1ss11( )()X ssa 1( )X s1sasa1sa 1( ),X ssa極點極點sa111()X ssa 11( )X ssa 直接由極點向直接由極點

21、向 點作矢量（稱為點作矢量（稱為極點矢量極點矢量），），其長度的倒量為其長度的倒量為 , ,幅角的負(fù)值為幅角的負(fù)值為 。1s1( )X s1()X s2. 單極點情況：單極點情況：1sa0a1sj1sa 因此有因此有: :111( )iiiisX sMs 對有理函數(shù)形式的對有理函數(shù)形式的( )X s( )( )( )iiiisN sX sMD ss111( )iiiisX sMs111( )iiiiX sss 3. 一般情況：一般情況： 即：從所有零點向即：從所有零點向 點作點作零點矢量零點矢量，從所有極，從所有極點向點向 點作點作極點矢量極點矢量。所有零點矢量的長度之積。所有零點矢量的長度之

22、積除以所有極點矢量的長度之積即為除以所有極點矢量的長度之積即為 。所有。所有零點矢量的幅角之和減去所有極點矢量的幅角之零點矢量的幅角之和減去所有極點矢量的幅角之和即為和即為 。1s1( )X s1( )X s1s 當(dāng)當(dāng) 取為取為 軸上的點時，即為傅里葉變換的軸上的點時，即為傅里葉變換的幾何求值。幾何求值?？疾榭疾?在在 軸上移動時所有零、極軸上移動時所有零、極點矢量的長度和幅角的變化點矢量的長度和幅角的變化，即可得出，即可得出 的的幅頻特性和相頻特性。幅頻特性和相頻特性。1s1sjj()X j例例1. 一階系統(tǒng)：一階系統(tǒng)：1( )( ),th teu t1/( ),(1/ )H ss1Re s

23、 ( )( )( )dy ty tx tdt 隨著隨著 ， 單調(diào)下降，單調(diào)下降，()H j1時時, ,下降到最大值的下降到最大值的12最大值在最大值在 時取得。時取得。0j1/11/|()|H j1/ 2相位特性：當(dāng)相位特性：當(dāng) 時，時，()0H j0 隨著隨著 ， 趨向于趨向于 。()H j()H j/2/2則則 趨向趨向于于 。1/1/()H j例例2. . 二階系統(tǒng)：二階系統(tǒng)：12( )( ),c tc th tM eeu t21,21nnc 221nM2222( )( )2( )( )( )nnnd y tdy ty tx tdtdx t222212( )2nnnnH sssscsc1

24、11/21/221nj21njn221n 1. 當(dāng)當(dāng) 時，時， 有兩個實數(shù)極點，此時系有兩個實數(shù)極點，此時系統(tǒng)處于統(tǒng)處于過阻尼狀態(tài)過阻尼狀態(tài)。 起主要作用。隨著起主要作用。隨著 , , 兩極點相向移動，向兩極點相向移動，向 處靠攏。處靠攏。n1c1( )H s 2. 當(dāng)當(dāng) 時，兩極點重合于時，兩極點重合于 處，成為二處，成為二階極點。系統(tǒng)處于階極點。系統(tǒng)處于臨界阻尼狀態(tài)臨界阻尼狀態(tài)。1n 3. 進(jìn)一步減小，則二階進(jìn)一步減小，則二階 極點分裂為極點分裂為共軛復(fù)數(shù)共軛復(fù)數(shù)極點，極點，且隨且隨 的減小而逐步靠近的減小而逐步靠近 軸。極點運(yùn)軸。極點運(yùn)動的軌跡動的軌跡根軌跡是一個半徑為根軌跡是一個半徑為

25、 的圓周的圓周。jn 此時系統(tǒng)處于此時系統(tǒng)處于欠阻尼狀態(tài)欠阻尼狀態(tài)，隨著，隨著 ，位于第，位于第2象限的極點矢量比第象限的極點矢量比第3 象限的極點矢量更短，因象限的極點矢量更短，因此它對系統(tǒng)特性的影響較大（被稱為此它對系統(tǒng)特性的影響較大（被稱為主極點主極點）。）。 當(dāng)當(dāng) 時，由于該極點矢量變得很短，因而時，由于該極點矢量變得很短，因而 會使會使 出現(xiàn)峰值。其峰點位于出現(xiàn)峰值。其峰點位于 處，處，1/ 2()H j212n max21()21H j峰值為峰值為 在在 時，若認(rèn)為時，若認(rèn)為主極點矢量主極點矢量增長增長 倍倍時，時，對應(yīng)的頻率是系統(tǒng)帶寬的截止頻率，則可以對應(yīng)的頻率是系統(tǒng)帶寬的截止頻

26、率，則可以近似確定此時的系統(tǒng)帶寬約為近似確定此時的系統(tǒng)帶寬約為 。1/ 222nn2n21nj04. 當(dāng)當(dāng) 時，兩極點分別位于時，兩極點分別位于 軸上的軸上的 處，此時系統(tǒng)處于處，此時系統(tǒng)處于無阻尼狀態(tài)無阻尼狀態(tài)。0jnj 系統(tǒng)的相位特性也可以從零極點圖得到。此系統(tǒng)的相位特性也可以從零極點圖得到。此時，只需考察當(dāng)動點沿時，只需考察當(dāng)動點沿 軸移動時所有極點軸移動時所有極點矢量和所有零點矢量的幅角變化，用所有零點矢量和所有零點矢量的幅角變化，用所有零點矢量的幅角之和減去所有極點矢量的幅角之和，矢量的幅角之和減去所有極點矢量的幅角之和，即可得到系統(tǒng)的相位特性。即可得到系統(tǒng)的相位特性。j例例3. 全

27、通系統(tǒng)：全通系統(tǒng)：考查零極點對稱分布的系統(tǒng)考查零極點對稱分布的系統(tǒng)( )saH ssa（一階全通系統(tǒng)（一階全通系統(tǒng)）v 該系統(tǒng)的該系統(tǒng)的 在任何時候都等于在任何時候都等于1 1，所以，所以 稱為稱為全通系統(tǒng)全通系統(tǒng)。()H j|()|H j1jaaj1v 其相位特性其相位特性111()()2H j全通系統(tǒng)的零極點分布呈四角對稱特征全通系統(tǒng)的零極點分布呈四角對稱特征。j三階全通系統(tǒng)三階全通系統(tǒng)全通系統(tǒng)被廣泛用于對系統(tǒng)進(jìn)行相位均衡。全通系統(tǒng)被廣泛用于對系統(tǒng)進(jìn)行相位均衡。例例4. 最小相位系統(tǒng)：最小相位系統(tǒng)： 考察兩個系統(tǒng)，它們的極點相同，零點分布關(guān)考察兩個系統(tǒng)，它們的極點相同，零點分布關(guān)于于 軸對

28、稱。其中一個系統(tǒng)的零點均在左半平軸對稱。其中一個系統(tǒng)的零點均在左半平面，另一個系統(tǒng)的零點均在右半平面。面，另一個系統(tǒng)的零點均在右半平面。jjj 顯然這兩個系統(tǒng)的幅頻特性是相同的。但零顯然這兩個系統(tǒng)的幅頻特性是相同的。但零點在左半平面的系統(tǒng)其相位總小于零點在右半點在左半平面的系統(tǒng)其相位總小于零點在右半平面的系統(tǒng)。因此將平面的系統(tǒng)。因此將零極點均位于左半平面的零極點均位于左半平面的系統(tǒng)稱為最小相位系統(tǒng)。系統(tǒng)稱為最小相位系統(tǒng)。 工程應(yīng)用中設(shè)計的各種頻率選擇性濾波器，工程應(yīng)用中設(shè)計的各種頻率選擇性濾波器，如：如：Butterworth 、Chebyshev、 Cauer濾波器濾波器都是最小相位系統(tǒng)。都

29、是最小相位系統(tǒng)。 當(dāng)工程應(yīng)用中要求實現(xiàn)一個非最小相位系統(tǒng)當(dāng)工程應(yīng)用中要求實現(xiàn)一個非最小相位系統(tǒng)時，通常采用將一個最小相位系統(tǒng)和一個全通時，通常采用將一個最小相位系統(tǒng)和一個全通系統(tǒng)級聯(lián)來實現(xiàn)。系統(tǒng)級聯(lián)來實現(xiàn)。 從本質(zhì)上講從本質(zhì)上講系統(tǒng)的特性是由系統(tǒng)的零、極點系統(tǒng)的特性是由系統(tǒng)的零、極點分布決定的分布決定的。對系統(tǒng)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計，實質(zhì)上就。對系統(tǒng)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計，實質(zhì)上就是優(yōu)化其零、極點的位置。是優(yōu)化其零、極點的位置。最小相位系統(tǒng)最小相位系統(tǒng)全通系統(tǒng)全通系統(tǒng)j最小相位系統(tǒng)最小相位系統(tǒng)j全通系統(tǒng)全通系統(tǒng)j非最小相位系統(tǒng)非最小相位系統(tǒng)Properties of the Laplace Transform12

30、12( )( )( )( )ax tbx taXsbXs則則ROC至少是至少是12RR9.5 拉氏變換的性質(zhì)拉氏變換的性質(zhì)v 拉氏變換與傅氏變換一樣具有很多重要的拉氏變換與傅氏變換一樣具有很多重要的性質(zhì)。這里只著重于性質(zhì)。這里只著重于ROC的討論。的討論。1. 線性（線性（Linearity ）：）：11( )( ),x tXs1ROC : R22( )( ),x tXs2ROC: R若若112( )1,11sX sss ROC:1 21( ),1XssROC:1 12( )( )1x tx tt而而ROC擴(kuò)大為整個擴(kuò)大為整個S平面。平面。 當(dāng)當(dāng) 與與 無交集時，表明無交集時，表明 不存在。不

31、存在。1R2R( )X s例例. . 1( )tx tte u t 2( )tx te u t （原因是出現(xiàn)了（原因是出現(xiàn)了零極點相抵消的零極點相抵消的現(xiàn)象）現(xiàn)象）2. 時移性質(zhì)（時移性質(zhì)（Time Shifting）:( )( ),x tX sROC:R若若00()( ),stx ttX s eROC不變不變則則3. S域平移（域平移（Shifting in the s-Domain）:( )( ),x tX sROC:R若若則則00( )(),s tx t eX ss0ReROC:Rs 表明表明 的的ROC是將是將 的的ROC平移了平移了一個一個 。這里是指。這里是指ROC的邊界的邊界平移

32、平移。0()X s s( )X s0Res例例. . ( ),tx te u t1( ),1X ss1 23( )1(2)3ttx tee u tX ss顯然顯然ROC :3 Re sa R 4. 時域尺度變換（時域尺度變換（Time Scaling）:ROC:R( )( ),x tX s若若1()()sx atXaaROC : aR則則例例. . 1( )( ),1tx te u tX ss1 2( )2ttxe u t求求 的拉氏變換及的拉氏變換及ROC當(dāng)當(dāng) 時時 收斂，收斂， 時時 收斂收斂R( )sXaRRe sa( )X s12( ),1212X sss1ROC:2 可見：可見：若信

33、號在時域尺度變換，其拉氏變換的若信號在時域尺度變換，其拉氏變換的ROC在在S平面上作相反的尺度變換。平面上作相反的尺度變換。()(),xtXsROC :R特例特例5. 共軛對稱共軛對稱性性（Conjugation）：）：( )(),x tXsROC:R( )( ),x tX sROC:R若若則則 如果如果 是實信號，且是實信號，且 在在 有極點（或零有極點（或零點），則點），則 一定在一定在 也有極點（或零點）。這也有極點（或零點）。這表明：表明：實信號的拉氏變換其復(fù)數(shù)零、極點必共軛實信號的拉氏變換其復(fù)數(shù)零、極點必共軛成對出現(xiàn)。成對出現(xiàn)。( )x t( )X s0s( )X s0s當(dāng)當(dāng) 為實信

34、號時，有：為實信號時，有：( )x t( )( )x tx t由此可得以下重要結(jié)論：由此可得以下重要結(jié)論：( )( )X sX s( )()XsX s或或1212( )( )( )( )x tx tX s XsROC:12RR包括包括 6. 卷積性質(zhì)卷積性質(zhì):（Convolution Property）11( )( ),x tXs1ROC : R22( )( ),x tXs2ROC:R若若則則121RR顯然有顯然有:例例. .11( ),1X ss21( ),23sX sss1ROC:1R 2ROC:2R 121( )( ),23X s Xsss2, ROC擴(kuò)大擴(kuò)大 原因是原因是 與與 相乘時

35、，發(fā)生了零極點相相乘時，發(fā)生了零極點相抵消的現(xiàn)象。當(dāng)被抵消的極點恰好在抵消的現(xiàn)象。當(dāng)被抵消的極點恰好在ROC的邊的邊界上時，就會使收斂域擴(kuò)大。界上時，就會使收斂域擴(kuò)大。2( )X s1( )X s7. 時域微分時域微分: :（Differentiation in theTime Domain）( )( ),dx tsX sdt( )( ),x tX sROC: RROC包括包括R, ,有可能擴(kuò)大。有可能擴(kuò)大。若若則則8. S域微分域微分:（Differentiation in the s-Domain）( )( ),x tX s( )( ),dX stx tds若若則則ROC: RROC: R

36、21( )()X ssaROC:a例例. .求求( )x t211()()dsadssa ( )( )atx tteu t 9. 時域積分時域積分:（Integration in the Time Domain ）( )( ),x tX sROC : R若若1( )( )txdX ssROC :包括包括(Re 0)Rs 則則( )( )( )txdx tu t1( )( )txdX ssROC :包括包括(Re 0)Rs 如果如果 是因果信號，且在是因果信號，且在 不包含奇異不包含奇異函數(shù)，則函數(shù)，則( )x t0t (0 )lim( )sxsX s初值定理初值定理( )( ) ( )x tx

37、 t u t0t ( )0 x t 時時 ，且在，且在 不包含奇異函數(shù)。不包含奇異函數(shù)。0t Proof:將將 在在 展開為展開為Taylor級數(shù)有：級數(shù)有：( )x t0t 10. 初值與終值定理初值與終值定理:（The Initial- and Final- Value Theorems)2( )( )(0 )(0 )(0 )(0 )( )2!nnttx txxtxxu tn對上式兩邊做拉氏變換：對上式兩邊做拉氏變換：( )21111( )(0 )(0 )(0 )nnX sxxxsss()101(0 )nnnxslim( )(0 )ssX sx 如果如果 是因果信號，且在是因果信號，且在

38、不包含奇異不包含奇異函數(shù)，函數(shù)， 除了在除了在 可以有單階極點外，其可以有單階極點外，其余極點均在余極點均在S平面的左半邊，則平面的左半邊，則( )x t0t ( )X s0s0lim ( )lim( )tsx tsX s終值定理終值定理0000( )( )( )( )ststststdx tedtedx tdtx t esx t edt是因果信號，且在是因果信號，且在 無奇異函數(shù)無奇異函數(shù), ,( )x t0t 證證: :的實部的實部 可以大于零，因此可以大于零，因此s0( )(0 )stx t ex 除了在除了在 可以有一階極點外，其它可以有一階極點外，其它極點均在極點均在S平面平面的左半

39、平面（即的左半平面（即保證保證 有終有終值值），），故故 的的ROC中必包含中必包含 軸。表明：軸。表明：( )X s0s ( )x t( )sX sj0( )(0 )( )stdx tedtxsX sdt 當(dāng)當(dāng) 時，時，0s00( )( )lim ( )(0 )sttdx tedtdx tx txdt0lim ( )lim( )tsx tsX s極點在極點在S平面的分布與信號終值的關(guān)系平面的分布與信號終值的關(guān)系Some Laplace Transform Pairs9.6 常用拉氏變換對常用拉氏變換對 S1( )ateu tas 1( )nt u t1!nsn)(t1)(0tt 0ste(

40、)u tAnalysis and Characterized of LTI Systems Using the Laplace Transform一一. . 系統(tǒng)函數(shù)的概念：系統(tǒng)函數(shù)的概念： 以卷積特性為基礎(chǔ)，可以建立以卷積特性為基礎(chǔ)，可以建立LTI系統(tǒng)的拉系統(tǒng)的拉氏變換分析方法，即氏變換分析方法，即( )( )( )Y sX sH s 其中其中 是是 的拉氏變換，稱為的拉氏變換，稱為系統(tǒng)函數(shù)系統(tǒng)函數(shù)或或轉(zhuǎn)移函數(shù)、傳遞函數(shù)轉(zhuǎn)移函數(shù)、傳遞函數(shù)。( )H s( )h t9.7 用拉氏變換分析與表征用拉氏變換分析與表征LTI系統(tǒng)系統(tǒng)()()()Y jX jH j 這就是這就是LTI系統(tǒng)的傅里葉分析。

41、系統(tǒng)的傅里葉分析。 即是系統(tǒng)即是系統(tǒng)的的頻率響應(yīng)頻率響應(yīng)。()H j 這些方法之所以成立的本質(zhì)原因在于這些方法之所以成立的本質(zhì)原因在于復(fù)指數(shù)函復(fù)指數(shù)函數(shù)是一切數(shù)是一切LTI系統(tǒng)的特征函數(shù)系統(tǒng)的特征函數(shù)。當(dāng)以。當(dāng)以 為基底為基底分解信號時，分解信號時，LTI系統(tǒng)系統(tǒng)對輸入信號的響應(yīng)就是對輸入信號的響應(yīng)就是j te 如果如果 的的ROC包括包括 軸，則軸，則 和和 的的ROC必定包括必定包括 軸，以軸，以 代入，即有代入，即有j( )X s( )H sjsj( )Y s 連同相應(yīng)的連同相應(yīng)的ROC也能完全描述一個也能完全描述一個LTI系系統(tǒng)。系統(tǒng)的許多重要特性在統(tǒng)。系統(tǒng)的許多重要特性在 及其及其R

42、OC中一定中一定有具體的體現(xiàn)。有具體的體現(xiàn)。( )H s( )H s()()X jH jste( )( )X sH s ； 而以而以 為基底分解信號時，系為基底分解信號時，系統(tǒng)的輸出響應(yīng)就是統(tǒng)的輸出響應(yīng)就是 。二二. 用系統(tǒng)函數(shù)表征用系統(tǒng)函數(shù)表征LTI系統(tǒng)：系統(tǒng)：1. 因果性：因果性：如果如果 時時 ，則，則系統(tǒng)是因果的系統(tǒng)是因果的。0t ( )0h t 如果如果 時時 ，則，則系統(tǒng)是反因果的系統(tǒng)是反因果的。( )0h t 0t 因此，因此，因果系統(tǒng)因果系統(tǒng)的的 是右邊信號，其是右邊信號，其 的的ROC必是最右邊極點的右邊必是最右邊極點的右邊。由于。由于反因果系反因果系統(tǒng)統(tǒng)的的 是左邊信號，是

43、左邊信號， 的的ROC必是最左必是最左邊極點的左邊。邊極點的左邊。( )H s( )h t( )h t( )H s 應(yīng)該強(qiáng)調(diào)指出，由應(yīng)該強(qiáng)調(diào)指出，由ROC的特征，反過來并不的特征，反過來并不能判定系統(tǒng)是否因果。能判定系統(tǒng)是否因果。ROC是最右邊極點的右是最右邊極點的右邊并不一定系統(tǒng)因果。邊并不一定系統(tǒng)因果。2. 穩(wěn)定性：穩(wěn)定性： 如果系統(tǒng)穩(wěn)定，則有如果系統(tǒng)穩(wěn)定，則有 。因。因此此 必存在。意味著必存在。意味著 的的ROC必然包必然包括括 軸。軸。( )h tdt ( )H s()H jj( )H s只有只有當(dāng)當(dāng) 是有理函數(shù)時，逆命題才成立。是有理函數(shù)時，逆命題才成立。 綜合以上兩點，可以得到：

44、綜合以上兩點，可以得到：因果穩(wěn)定系統(tǒng)的因果穩(wěn)定系統(tǒng)的 ，其全部極點必須位于，其全部極點必須位于S平面的左半邊。平面的左半邊。( )H s例例1.某系統(tǒng)的某系統(tǒng)的 顯然該系統(tǒng)是因果的，確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。顯然該系統(tǒng)是因果的，確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。2( )( )( )tth te u teu t21123( ),1232sH sssssROC:Re 1s 顯然，顯然，ROC是最右邊極點的右邊。是最右邊極點的右邊。ROC包括包括 軸軸j系統(tǒng)也是穩(wěn)定的。系統(tǒng)也是穩(wěn)定的。的全部極點都在的全部極點都在S平面的左半邊。平面的左半邊。( )H s例例2. 若有若有( ),1seH ssRe 1s 的的ROC是最右邊

45、極點的右邊，但是最右邊極點的右邊，但 是非有理函數(shù)，是非有理函數(shù)， ，系統(tǒng)是非因，系統(tǒng)是非因果的。果的。( )H s( )H s(1)( )(1)th teu t 由于由于ROC包括包括 軸，該系統(tǒng)仍是穩(wěn)定的。軸，該系統(tǒng)仍是穩(wěn)定的。j而對系統(tǒng)而對系統(tǒng)( ),1seH ssRe 1s 仍是非有理函數(shù)，仍是非有理函數(shù)，ROC是最右邊極點的右是最右邊極點的右邊，邊，但由于但由于 ，系統(tǒng)是因果的。，系統(tǒng)是因果的。 ( )H s(1)( )(1)th teu t結(jié)結(jié) 論：論：1. 如果如果LTI系統(tǒng)的系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)是有理函數(shù)系統(tǒng)函數(shù)是有理函數(shù)，且全部，且全部極點位于極點位于S平面的左半平面，則系統(tǒng)是因果

46、、平面的左半平面，則系統(tǒng)是因果、穩(wěn)定的。穩(wěn)定的。 2. 如果如果LTI系統(tǒng)的系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)是有理函數(shù)系統(tǒng)函數(shù)是有理函數(shù)，且系統(tǒng)，且系統(tǒng)因果，則系統(tǒng)函數(shù)的因果，則系統(tǒng)函數(shù)的ROC是最右邊極點的右是最右邊極點的右邊。若系統(tǒng)反因果，則系統(tǒng)函數(shù)的邊。若系統(tǒng)反因果，則系統(tǒng)函數(shù)的ROC是最是最左邊極點的左邊。左邊極點的左邊。 3.如果如果LTI系統(tǒng)是穩(wěn)定的，則系統(tǒng)函數(shù)的系統(tǒng)是穩(wěn)定的，則系統(tǒng)函數(shù)的ROC必然必然包括包括 軸。軸。j三三. 由由LCCDE描述的描述的LTI系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)：系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)：對對00( )( )kkNNkkkkkkd y td x tabdtdt做拉氏變換，可得做拉氏變換，可得00

47、( )( )( ),( )( )NkkkNkkkb sY sN sH sX sD sa s是一個有理函數(shù)是一個有理函數(shù)的的ROC需要由系統(tǒng)的相關(guān)特性來確定。需要由系統(tǒng)的相關(guān)特性來確定。( )H s1）如果）如果LCCDE具有一組全部為零的初始條件，具有一組全部為零的初始條件， 則則 的的ROC必是最右邊極點的右邊。必是最右邊極點的右邊。( )H s2）如果已知）如果已知LCCDE描述的系統(tǒng)是因果的，則描述的系統(tǒng)是因果的，則 的的ROC必是最右邊極點的右邊。必是最右邊極點的右邊。( )H s3）如果已知）如果已知LCCDE描述的系統(tǒng)是穩(wěn)定的，則描述的系統(tǒng)是穩(wěn)定的，則 的的ROC 必包括必包括 軸

48、。軸。( )H sj四四. .系統(tǒng)特性與系統(tǒng)函數(shù)的關(guān)系系統(tǒng)特性與系統(tǒng)函數(shù)的關(guān)系: :自學(xué)。請關(guān)注例自學(xué)。請關(guān)注例9.25、9.26、9.27 五五. Butterworth濾波器濾波器: 通常通常Butterworth濾波器的特性由頻率響應(yīng)的濾波器的特性由頻率響應(yīng)的模平方函數(shù)給出。對模平方函數(shù)給出。對N階階 Butterworth低通濾波低通濾波器有：器有：221()1/NcB j （N為濾波器的階數(shù)）為濾波器的階數(shù)）由于由于2()()()B jB jBjButterworth濾波器的沖激響應(yīng)應(yīng)該是實信號，濾波器的沖激響應(yīng)應(yīng)該是實信號，()()BjBj將將 函數(shù)拓展到整個函數(shù)拓展到整個S平面有

49、：平面有：2()B j21( )()1( /)NcB s Bssj共有共有2N個極點個極點12( 1)()kj sNkcksjs e (0,1,21)kN 表明表明N階階Butterworth低通濾波器模平方函數(shù)的低通濾波器模平方函數(shù)的全部全部2N個極點均勻分布在半徑為個極點均勻分布在半徑為 的圓周上的圓周上。c極點分布的特征：極點分布的特征： 極點分布總是關(guān)于原點對稱的。極點分布總是關(guān)于原點對稱的。/ N 相鄰兩極點之間的角度差為相鄰兩極點之間的角度差為 。j 軸上不會有極點。當(dāng)軸上不會有極點。當(dāng)N為奇數(shù)時在實軸上為奇數(shù)時在實軸上 有極點，有極點，N為偶數(shù)時實軸上無極點。為偶數(shù)時實軸上無極點

50、。c 2N個極點等間隔均勻分布在半徑為個極點等間隔均勻分布在半徑為 的圓周的圓周上。上。 要實現(xiàn)的濾波器應(yīng)該是因果穩(wěn)定系統(tǒng)，因此要實現(xiàn)的濾波器應(yīng)該是因果穩(wěn)定系統(tǒng)，因此位于左半平面的位于左半平面的N個極點一定是屬于個極點一定是屬于 的。的。( )B s( )B s 據(jù)此，確定出據(jù)此，確定出 后，也就可以綜合出一個后，也就可以綜合出一個Butterworth 濾波器。濾波器。9.8 系統(tǒng)函數(shù)的代數(shù)屬性與方框圖表示系統(tǒng)函數(shù)的代數(shù)屬性與方框圖表示System Function Algebra and Block Diagram Representations一一. .系統(tǒng)互聯(lián)時的系統(tǒng)函數(shù)：系統(tǒng)互聯(lián)時的

51、系統(tǒng)函數(shù)：1. 級聯(lián)：級聯(lián)：12( )( )( )H sH sHsROC :12RR包括包括3. 反饋聯(lián)結(jié)：反饋聯(lián)結(jié)：1( )( )( ) ( )X sX sG s Y s11( )( )( )Y sX s H s1( )( ) ( )( )X sG s Y s H s2. 并聯(lián)：并聯(lián)：12( )( )( )H sH sHsROC:12RR包括包括11( )( )( )( )1( )( )Y sH sH sX sG s H sROC:12RR包括包括二二. . LTI系統(tǒng)的級聯(lián)和并聯(lián)型結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的級聯(lián)和并聯(lián)型結(jié)構(gòu)：LTI系統(tǒng)可以由一個系統(tǒng)可以由一個LCCDE來描述。來描述。00( )( )kkN

52、Nkkkkkkd y td x tabdtdt對其進(jìn)行拉氏變換有：對其進(jìn)行拉氏變換有：00( )( )NNkkkkkka s Y sb s X s00( )( )( )( )( )NkkkNkkkb sY sN sH sX sD sa s是一個有理函數(shù)是一個有理函數(shù)( )H s1. 級聯(lián)結(jié)構(gòu)：級聯(lián)結(jié)構(gòu)：將將 的分子和分母多項式因式分解的分子和分母多項式因式分解( )H s221011221011()( )()PNPkkkNkkQNQNkkkkksssbH sasss 這表明：這表明：一個一個N階的階的LTI系統(tǒng)可以分解為若干系統(tǒng)可以分解為若干個二階系統(tǒng)和一階系統(tǒng)的級聯(lián)。在個二階系統(tǒng)和一階系統(tǒng)的

53、級聯(lián)。在N為偶數(shù)時，為偶數(shù)時，可以全部組合成二階系統(tǒng)的級聯(lián)形式?？梢匀拷M合成二階系統(tǒng)的級聯(lián)形式。21( )( )NNkkNbH sHsa210210( )kkkkkssHsss其中其中如果如果N為奇數(shù)，則有一個一階系統(tǒng)出現(xiàn)。為奇數(shù)，則有一個一階系統(tǒng)出現(xiàn)。2. 并聯(lián)結(jié)構(gòu)：并聯(lián)結(jié)構(gòu)： 將將 展開為部分分式展開為部分分式 ( (假定假定 的分子階的分子階數(shù)不高于分母階數(shù)，所有極點都是單階的），數(shù)不高于分母階數(shù)，所有極點都是單階的），則有：則有：( )H s( )H s1( )NNkkNkbAH sas將共軛成對的復(fù)數(shù)極點所對應(yīng)的兩項合并將共軛成對的復(fù)數(shù)極點所對應(yīng)的兩項合并: :21021110(

54、)QNQNkkkkkNkkkbsAH sasss21( )NNkkNbHsa（N為偶數(shù)時）為偶數(shù)時） N為偶數(shù)時又可將任意兩個一階項合并為二為偶數(shù)時又可將任意兩個一階項合并為二階項，由此可得出系統(tǒng)的并聯(lián)結(jié)構(gòu)：階項，由此可得出系統(tǒng)的并聯(lián)結(jié)構(gòu)：The Unilateral Laplace Transform 單邊拉氏變換是雙邊拉氏變換的特例。也就是單邊拉氏變換是雙邊拉氏變換的特例。也就是因果信號的雙邊拉氏變換。單邊拉氏變換對分析因果信號的雙邊拉氏變換。單邊拉氏變換對分析LCCDE 描述的增量線性系統(tǒng)具有重要的意義。描述的增量線性系統(tǒng)具有重要的意義。一一. .定義定義: :0( )( )stsx t

55、 edt 如果如果 是因果信號，對其做雙邊拉氏變換是因果信號，對其做雙邊拉氏變換和做單邊拉氏變換是完全相同的。和做單邊拉氏變換是完全相同的。( )x t9.9 單邊拉普拉斯變換單邊拉普拉斯變換 單邊拉氏變換也同樣存在單邊拉氏變換也同樣存在ROC 。其。其ROC必然必然遵從因果信號雙邊拉氏變換時的要求，即：遵從因果信號雙邊拉氏變換時的要求，即：一定一定位于最右邊極點的右邊。位于最右邊極點的右邊。 正因為這一原因，在討論單邊拉氏變換時，一正因為這一原因，在討論單邊拉氏變換時，一般不再強(qiáng)調(diào)其般不再強(qiáng)調(diào)其ROC。1( )( )2jstjx ts e dsj 單邊拉氏變換的反變換一定與雙邊拉氏變換的單邊拉氏變換的反變換一定與雙邊拉氏變換的反變換相同。反變換相同。做單邊拉氏變換：做單邊拉氏變換：(1)0()0( )1a tstas a taseedteedtesaRe sa 例例1.(1)( )(1)a tx teu t做雙邊拉氏變換：做雙