線性代數(shù)(同濟(jì)六版)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

1、2.三階行列式 對(duì)角線法則 按行（列）展開(kāi)法則a 11a 21a31ai 2a 13a2 2a 23a32a 33aiia2 Q 33aiQ 23*31ai 3a2 a 32a11a23a3 2a1 2a21a33a 1 22*31奇排列：逆序數(shù)為奇數(shù)的排列。偶排列：逆序數(shù)為偶數(shù)的排列。4.a 11a1 2a 1 3a 21a2 2a2 3a31a2 3a33t山3)(1)a1j1a2j2a3j35.下三角行列式a11a21a220副三角跟副對(duì)角相識(shí)a11a22a nnan1a n2ann對(duì)角行列式:6行列式的性質(zhì):入1入2入1入2入n入1入2入n入n副對(duì)角行列式:（轉(zhuǎn)置：行變列，列變行）。D

2、 = ?尹n(n 1)(1)F兒入2行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等互換行列式的兩行（列），行列式變號(hào)。推論：兩行（列）相同的行列式值為零?；Q兩行：？?？ ?3. 全排列：n個(gè)不同的元素排成一列。所有排列的種數(shù)用？；表示，？； = n!逆序數(shù)：對(duì)于排列？?;? ?如果排在元素孑?前面，且比？?大的元素個(gè)數(shù)有?個(gè)，則？?這個(gè)元素的逆序數(shù)為? 整個(gè)排列的逆序數(shù)就是所有元素的逆序數(shù)之和。?!n個(gè)元素的所有排列中，奇偶各占一半，即刁?對(duì)換：一個(gè)排列中的任意兩個(gè)元素對(duì)換，排列改變奇偶性其中：?是1,2,3的一個(gè)排列，t（?是排列？?？的逆序數(shù) 行列式的某一行（列）中的所有元素都乘以同一個(gè)數(shù)k,等于用數(shù)k乘此

3、行列式。第i行乘k： ?初x k推論：行列式中某一行（列）的公因子可以提到行列式符號(hào)外面 行列式中如果有兩行（列）元素成比例，則此行列式等于 0 若行列式的某一列（行）的元素都是兩個(gè)元素和，則此行列式等于兩個(gè)行列式之和。如：a11a12(b1jC1j)a1 na11a12b1 ja1 na11a12C1ja1 na21a2 2(b2jc2j)a2na21a22b2ja2na21a 22C2ja2 nan1an2(bnjCnj)a nna n 1an2bnjan na n 1an2Cn jan n把行列式的某行（列）的各元素同一倍數(shù)后加到另一行（列）的對(duì)應(yīng)元素上去，行列式的值不變。如ana1 i

4、ka1 ja1 ja1 na11a1 ia1ja1na21a2ika2ja2ja2na21a2ia2ja2nan1an ikanjan jan na n 1a n ian jann第j列的k倍加到第i列上：？?+ ?對(duì)7.重要性質(zhì)：禾U用行列式的性質(zhì)？?+ ?對(duì)或?+ ?，可以把行列式化為上（下）三角行列式，從而計(jì)算n階行列式的值。（P11頁(yè)例7）8行列式按行（列）展開(kāi)法則（*重要*） 重要概念：余子式：在n階行列式中，把元素aij所在的第i行和第j列劃去，剩下的（n -1 ）2個(gè)元素按原來(lái)的排法構(gòu) 成的n - 1階行列式 叫做aij的余子式，記為 Mj代數(shù)余子式：記 Aij = （ -1 ）

5、 i+j Mj為元素aij的代數(shù)余子式 。 重要性質(zhì)，定理1） 第i行各元素的余子式，代數(shù)余子式與第i行元素的取值無(wú)關(guān)。2） 行列式按行（列）展開(kāi)法則：行列式等于它的任意一行（列）的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，艮卩：T-D ai1Ai1ai2Ai2ainAin或 Da A1jaAjQnjAij推論：行列式某一行（列）的元素與另一行（列）的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零 ai 1Aj 1ai 2Aj 2ai nAj n或 a1 iA1ja 2i A2ja n iAnj使用該法則計(jì)算行列式的值：先選取存在最多 通過(guò)性質(zhì)化為9.利用Cramer法則求解n個(gè)n元線性方程組：若非齊次線性方程

6、組的系數(shù)行列式不等于零，則方程組有唯一解。00的行（列），0,貝y D = aij Aiji j從該行選取一個(gè)非 o元素aij,并將該行其他元素0,則無(wú)解a12ana21a 22a2nX2D2"dXnDnDan1an2ann其中？疏=1,2是把系數(shù)行列式中的第j列的元素用方程組右邊的常數(shù)項(xiàng)代替后所得到的的n階行列式即:Djana1, j1b1a1, j 1a1na21a2, j1b2a2, j 1a2nan1an, j 1bnan, j 1a nn如果系數(shù)行列式D0,j 1,2, n.對(duì)于齊次線性方程組,則該方程組只有零解，若 D = 0,則存在非零解。第二章1.矩陣相關(guān)的概念：矩陣

7、：由 m x n個(gè)數(shù)？?i=1,2,m; j=1,2,排成的n）m行n列的數(shù)表（是一組數(shù)）。行（列）矩陣：只有一行（列）的矩陣，又稱為行（列）向量。 同型矩陣：行數(shù)，列數(shù)均相等的兩個(gè)矩陣A=B :矩陣A和矩陣B為冋型矩陣，且對(duì)應(yīng)的兀素相等。零矩陣：所有元素為 0的矩陣，記為 O,不同型的零矩陣是不相等的。對(duì)角矩陣：對(duì)角線元素為 1, 2,l , n，其余元素為0的方陣|單位矩陣：對(duì)角線元素為1,其余元素為0的方陣,diag 1, 2,L2.矩陣的運(yùn)算1）加法：只有兩個(gè)矩陣為同型矩陣時(shí)，才能進(jìn)行加法運(yùn)算。11 EOA+B等于對(duì)應(yīng)元素相加起來(lái)。滿足交換律和結(jié)合律2）數(shù)與矩陣相乘a11厲2 La1n

8、a21A Aa22La2n()A( A)，()AAALLLLam1am1Lamn(A B)A B3)矩陣與矩陣相乘:要求前一個(gè)矩陣的列數(shù)等于后個(gè)矩陣的行數(shù)；? x ?X ? x ?乘積矩陣的行數(shù)為前一個(gè)矩陣的行數(shù)，列數(shù)為后一個(gè)矩陣的列數(shù)；？? X ?sCij ai 1b1 j a i 2b2 j L aisbsjaikbkjk 1j行元素對(duì)應(yīng)相乘再相加。即：乘積矩陣的第i行，第j列元素為前一個(gè)矩陣的第 i行元素與后一個(gè)矩陣的第 注意：一般情況下： AB工BA。但是滿足結(jié)合律和分配律。4)EA = AE = A矩陣的幕：若 A是n?= ? ?=階方陣，則:?=?護(hù)?？顯然:AkAlAk 1(Ak

9、)1 Akl(AB)kAkBk(A B)2A22ABB2A、B可交換時(shí)才成立(A B)(A B)A2B23. 矩陣的轉(zhuǎn)置：把矩陣 A的行換成同序數(shù)的列得到的新矩陣，記作At .如：141 22Aat25 ;4 5828性質(zhì):(1)(AT)TA;(Ab)tat bt(3)(A)Tat;(4) (AB)tbtat.設(shè)A為n階方陣，如果滿足 ？?= ?即？?？ ?則A為對(duì)稱陣如果滿足？?= -?,即？?丹-? ?則A為反對(duì)稱陣4. 方陣的行列式：由 n階方陣的元素所構(gòu)成的行列式，叫做方陣A的行列式，記作|A|或det A.性質(zhì)： | AT | | A|， | A| n | A|， | AB | |

10、A|B |5.伴隨矩陣：其中？?是？?的代數(shù)余子式,A11A21LAn1AA12A22LAn2LLLLA1nA2nLAnnA稱為A的伴隨矩陣。（特別注意符號(hào)）注意：元素？?代數(shù)余子式？?是位于?的第j行第i列（類似于轉(zhuǎn)置），性質(zhì)：？?= ?= |?6.逆矩陣：對(duì)于n階方陣A，如果有n階方陣B,使得AB = BA = E則稱A可逆, B為A的逆矩陣，記為？?。且A的逆矩陣是唯一的。判斷方陣A是否可逆：|?豐0 ? A可逆，且逆矩陣？?？= ?推論：若|?工0,則|?| =備。此時(shí)稱A為非奇異矩陣。若|?= ?則稱A為奇異矩陣二階矩陣的逆矩陣：主對(duì)角線兩數(shù)對(duì)調(diào)，副對(duì)角線兩數(shù)反號(hào)。 單位矩陣E是可逆

11、的？?= ?。零矩陣是不可逆的。對(duì)角矩陣的逆矩陣：對(duì)角線上每個(gè)元素取倒數(shù)。 推論：如果 n階方陣A、B可逆，且：(A 1 2 3 4 5) 1(A) 1用逆矩陣求解線性方程組： 已知? ?若AB可逆，則A,La 1那么？?、?、入A (為0)、AB也可逆(A 1)T,B 1A1.(AT)1(AB) 1貝y ?f?必須在c左邊， 為對(duì)矩陣進(jìn)行分塊 每一個(gè)小塊稱為矩陣的 子塊；矩陣分塊后，以子塊為元素的形式上的矩陣稱為 分塊矩陣的運(yùn)算：(其運(yùn)算與矩陣運(yùn)算基本一致)1) 加法：要求矩陣 A和B是同型矩陣，且采用相同的分塊法(即相對(duì)應(yīng)的兩個(gè)子塊也是同型的 )2) 分塊矩陣A的轉(zhuǎn)置？?：除了 A整體上需

12、轉(zhuǎn)置外，每一個(gè)子塊也必須得轉(zhuǎn)置。A1?=?(A在X左邊,B也如此)7.矩陣分塊法：用一些橫線和豎線將矩陣分成若干個(gè)小塊，這種操作稱分塊矩陣.8.分塊對(duì)角矩陣：設(shè)A是n階矩陣，若： A的分塊矩陣只有在對(duì)角線上有非零子塊, 其余子塊都為零矩陣 對(duì)角線上的子塊都是方陣則稱A為分塊對(duì)角矩陣。性質(zhì)：| A | = |若| As|Ai | | A2 |As|工,0則| A |A1分塊副對(duì)角矩陣:“？(?A = O的充分必要條件:?-?)? / ? =(?A1A1A?方？、?)第三章初等行變換：(運(yùn)算符號(hào)：互換兩行，記做？弦若矩陣A經(jīng)過(guò)有限次初等變換成矩陣B,則稱A與B等價(jià)，記做？? x ?x 的充要條件是

13、存在m階可逆矩陣 P及n階可逆矩陣 Q，使PAQ = B矩陣之間等價(jià)關(guān)系的性質(zhì)：反身性：?對(duì)稱性：若？?則?傳遞性：若？? ?則? 4.行階梯形矩陣：1.2.3. )-注意與行列式的運(yùn)算加以區(qū)分?第i行乘以非0常數(shù)k,記做?x?第j行的k倍加到第i行上，記做？? ?祈性質(zhì)2 :方陣A可逆的充要條件是存在有限個(gè)初等矩陣Pi, P2,日，使A = Pi P2.推論：方陣A可逆的充要條件 是A E如果A ?，則存在可逆矩陣 P,使PA = Bo ? (?,?-(?,?)即當(dāng)A變換成B是時(shí)，E變?yōu)镻 (求P)求方陣A的逆矩陣方法總結(jié)：方法1:判斷A可不可逆：若|?豐? ? A可逆-書(shū)中P41頁(yè)? =:

14、注意伴隨矩陣?yán)锩總€(gè)代數(shù)余子式對(duì)應(yīng)的符號(hào)方法2 :本身蘊(yùn)含了判斷 A可不可逆的條件，即? r ? A可逆 -書(shū)中P64頁(yè)例2(?,?)(?):即對(duì)矩陣(A,E)進(jìn)行初等行變換，當(dāng)A變成E時(shí)，E就變成了所求的 ？?？求？?？ 該方法用來(lái)求方程組？?= ? ?= ?-若？?= ?可先化為 ?= ?方法：(？?？ (?,?):即對(duì)矩陣(A,B)進(jìn)行初等行變換，當(dāng)A變成E時(shí)，B就變成了所求的？?？?二、矩陣的秩1. k階子式：在 mx n矩陣A中，任取k行k列(k編n, kwn),位于這些行列 交叉處的k2個(gè)元素，不改變它們?cè)贏中所處的位置次序而得的k階行列式，稱為矩陣 A的k階子式.m x n矩陣A的

15、k階子式共有 ？第? ?個(gè)2. 矩陣的秩：設(shè)矩陣 A中有一個(gè)不等于零的r階子式D,且所有r +1階子式(如果存在的話)全等于零，那么D稱為矩陣A的最高階非零子式，數(shù)r稱為矩陣A的秩，記作 R(A)。零矩陣的秩等于0。常用：1) 對(duì)于n階方陣A, R(A) = n (稱A滿秩)？|?豐? A可逆2) 若?則R(A) = R(B)I求秩方法：將矩陣化為行階梯形矩陣3) 對(duì)于行階梯形矩陣，它的秩等于非零行的行數(shù)4) ?刃=?(?)5) 若 P、Q 可逆，則 R(PAQ) = R(A) (/ ? ?即:可逆矩陣與任何矩陣A相乘，都不會(huì)改變所乘矩陣A的秩6) max R(A), R(B) < R(

16、A, B) < R(A) + R(B)當(dāng)B = b為非零列向量時(shí)，R(A) < R(A, B) <1 R(A) +7) R(A+B) < R(A) + R(B)8) R(AB) < miRA), R(B)3. 線性方程組的解n元非齊次線性方程組？?= ?- P75頁(yè)例13 P79頁(yè)17題1) 無(wú)解2) 有解? <?(?) 'V / 7/? =?(?)有唯一解? ? = ?=?有無(wú)限解? ? = ? <?n元齊次線性方程組 ？?？ ？有非零解？ R(A ) < n第四章一、向量組及線性組合1. n維向量：n個(gè)有次序的數(shù) a1 , a2，a

17、n所組成的數(shù)組。這n個(gè)數(shù)稱為該向量的 n個(gè)分量,第i個(gè)數(shù)ai稱為第i個(gè)分量.2. 向量組：若干個(gè)同維數(shù)的列向量(行向量)所組成的集合3. 給定向量組 A： a1, a2, -，對(duì)于任何一組實(shí)數(shù) k1, k2,k m，表達(dá)式k1a1 + k2a2 + +km am稱為向量組 A的一個(gè)線性組合。k1, k2, -km稱為這個(gè)線性組合的系數(shù).4. 給定向量組 A： a1, a2,am和向量b，如果存在一組實(shí)數(shù)11,12，l,m，使得b = ha1 + I2a2 + +l m am貝U向量b是向量組 A的線性組合，這時(shí)稱 向量b能由向量組 A的線性表示.向量 b能由向量組 A的線性表示 ？ R(A)

18、= R(A, b) ? 方程組xiai + X2a2 +xm am =5. 設(shè)有向量組 A: ai, a2,am及B: bi, b2,bi , 若向量組 B則稱向量組B能由向量組 A線性表示.若向量組 A與向量組兩個(gè)向量組等價(jià) ？ R(A) = R(B) = R(A, B)6. 向量組B能由向量組 A線性表示？ 存在矩陣K，使B = AK? R(A) = R(A,B)中的每個(gè)向量都能由向量組B能互相線性表示，則稱這b有解A線性表示，兩個(gè)向量組等價(jià).R(B)?矩陣方程AX=B有解< R(A)(這是必要條件)二、向量組的線性相關(guān)性1. 給定向量組 A： ai, a2,am，如果 存在不全為零

19、 的實(shí)數(shù)kiai + k2a2 + +km am =0 (零向量) 則稱向量組 A是線性相關(guān) 的，否則稱它是2. 只含一個(gè)向量a的向量組A，當(dāng)a = 0時(shí)， 只含兩個(gè)向量ai, a2的向量組A，線性相關(guān) 向量組 A： ai, a2, -am(m> 2線性相關(guān) ?線性無(wú)關(guān)的. A線性相關(guān)；ki, k2,Km，使得a豐0時(shí)，A線性無(wú)關(guān)? ai, a2的分量對(duì)應(yīng)成比例。向量組A中至少存在一個(gè)向量能由其余m-i個(gè)向量線性表示。3. 向量組A線性相關(guān)？ m元齊次線性方程組 Ax = 0有非零解 ？ R(A) < m 向量組A線性無(wú)關(guān) ？ m元齊次線性方程組 Ax = 0只有零解 ？ R(A)

20、 = m4. n維單位坐標(biāo)向量組 E : ei, e2,，ne，是線性無(wú)關(guān)的，且是最大的線性無(wú)關(guān)組之一。維單位坐標(biāo)向量組 E： ei, e2,，£能由向量組 A： ai, a2,am線性表示 ？ . R(A) = n5. 定理1) 若向量組 A : ai, a2, -am線性相關(guān)， 則向量組 B : ai, a2, -am, am+i也線性相關(guān).其逆否命題也成立，即若向量組B線性無(wú)關(guān)，則向量組A也線性無(wú)關(guān).2) m個(gè)n維向量組成的向量組，當(dāng)維數(shù)n小于向量個(gè)數(shù) m時(shí)，一定線性相關(guān).特別地，n + i個(gè)n維向量一定線性相關(guān).3) 設(shè)向量組 A : ai, a2, -am線性無(wú)關(guān)， 而向量

21、組 B : ai, a2, -am, b線性相關(guān)，則向量b必能由向量組 A線性表示，且表示式是唯一的三、向量組的秩i. 設(shè)有向量組 A，如果在 A中能選出r個(gè)向量ai, a2, -a,，滿足 向量組 A0 : ai, a2, -a,r線性無(wú)關(guān)； 向量組 A中任意r + i個(gè)向量(如果 A中有r + i個(gè)向量的話)都線性相關(guān)； 那么稱向量組 A0是向量組 A的一個(gè)最大線性無(wú)關(guān)向量組，簡(jiǎn)稱最大無(wú)關(guān)組.最大無(wú)關(guān)組所含向量個(gè)數(shù)r稱為向量組 A的秩，記作RA。Ra w向量組A中向量的個(gè)數(shù)只含零向量的向量組沒(méi)有最大無(wú)關(guān)組，秩=0。2. 向量組 A和它自己的最大無(wú)關(guān)組 A0是等價(jià)的.推論：向量組 A0線性無(wú)

22、關(guān)；向量組 A中任意一個(gè)向量都能由向量組A0線性表示；那么稱向量組 A0是向量組 A的一個(gè)最大無(wú)關(guān)組.3. 全體n維向量構(gòu)成的向量組記作 Rn,向量組E是Rn的一個(gè)最大無(wú)關(guān)組，且 Rn的秩等于n4. 矩陣的秩等于它的列(行)向量組的秩.5. 矩陣初等變換后保持列向量組之間的線性關(guān)系。a2, a4是一個(gè)最大無(wú)關(guān)組，把a(bǔ)3, a5用ai, a2, a4線性表示2iii2i0i04ii2i4 r0ii03AB46224000i33697900000四、線性方程組的解的結(jié)構(gòu)可以看出b3 =-bi -b2b5 = 4bi + 3b2 -3b4所以a3 =-ai -a2a5 = 4ai + 3a2 -3a4女口：向量組 A : ai, a2, a3, a4, a5,假設(shè) A。： ai、2ii. 設(shè)有齊次線性方程組AX = 0，如果Xi =, X 2=, . , X n=