中學(xué)數(shù)學(xué)之案例

1、數(shù)學(xué)課型模板在義務(wù)教育各個(gè)學(xué)段中，關(guān)于數(shù)學(xué)部分，新課程標(biāo)準(zhǔn)安排了“數(shù)與代數(shù)”“空間與圖形”“統(tǒng)計(jì)與概率”“實(shí)踐與綜合應(yīng)用”四個(gè)學(xué)習(xí)領(lǐng)域。高中階段的數(shù)學(xué)教學(xué)包括集合與函數(shù)三角函數(shù)不等式數(shù)列復(fù)數(shù)排列、組合、二項(xiàng)式定理立體幾何平面解析幾何等部分。綜合來(lái)看，可以把數(shù)學(xué)課程模板分成兩類(lèi)，代數(shù)和幾何。1、 代數(shù)課程模板（等差數(shù)列（第一節(jié)）導(dǎo)入師：零花錢(qián)是大家都很喜歡的，老師每個(gè)月上交工資，然后也會(huì)收到零花錢(qián)。我們都希望零花錢(qián)越多越好，但往往不禁花。所以我每個(gè)月都會(huì)統(tǒng)計(jì)自己月初收到的零花錢(qián)和月末余下的零花錢(qián)。（ppt展示表格如下）月份1234567收入150160170180190200210剩余35302

2、52015105思考1：上述表格中的數(shù)據(jù)變化反映了什么樣的信息？（通過(guò)學(xué)生喜歡的話題來(lái)吸引大家參與教學(xué)的興趣，讓同學(xué)們自由談?wù)摚煟捍蠹铱梢钥吹?，老師的生活多不容易啊，零花錢(qián)還不如同學(xué)們的多。那么現(xiàn)在同學(xué)們能用數(shù)學(xué)文字語(yǔ)言來(lái)描述上述數(shù)列的特征嗎？生：第一排月份和第二排收入是依次變大的數(shù)據(jù)，第三排剩余是依次變小的數(shù)據(jù)。而且每一排后一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于常數(shù)（描述1）。師：反例：1，3，5，6，12，這樣的數(shù)列特征和上述數(shù)列一樣么？生1：不一樣，他們之間的差不是一個(gè)常數(shù)。生2：每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)（描述2）。師：反例：1，3，4，5，6，7，這樣的數(shù)列特征和上述數(shù)列一樣么？生1：

3、不一樣，從第二項(xiàng)起往后和上述一樣，但第一項(xiàng)第二項(xiàng)之間不符合規(guī)律。生2：從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)。（描述3）（把學(xué)生的回答寫(xiě)在黑板上，通過(guò)反例的說(shuō)明，讓學(xué)生深刻的理解這三組數(shù)列的共同特征：1、前后項(xiàng)為同一常數(shù)， 2、從第二項(xiàng)起）新授師：用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言：生3：-=d師：等價(jià)么？ 生4：應(yīng)加上（d是常數(shù)） n2,nN*（讓學(xué)生充分進(jìn)行討論，注意文字描述與符號(hào)描述的嚴(yán)謹(jǐn)性） 師：對(duì)式子進(jìn)行變形可得：=+d（d是常數(shù)） n2,nN* ，如果我們能跳出d的思維定勢(shì)，能得到很多的公式變形。（為今后更好的研究其特征，埋下伏筆）師：這樣的數(shù)列在你日常生活中存在？生1： 1，3，7，7，9

4、，11， d=1生2：10，15，20，25，30，35，40， d=5 （讓學(xué)生舉例，加深對(duì)數(shù)列的感性認(rèn)識(shí)）師：滿足這樣特征的數(shù)列很多，所以我們有必要為這樣的數(shù)列取一個(gè)名字？生：等差數(shù)列（讓學(xué)生給出數(shù)學(xué)的定義，并有自己的語(yǔ)言進(jìn)行交流。當(dāng)然也允許學(xué)生提出“等加數(shù)列”等的說(shuō)法，教師可進(jìn)行比較，差有利于加一加進(jìn)行消項(xiàng)等）定義：一般的，如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫等差數(shù)列，d為公差。為數(shù)列的首項(xiàng)。，（n2,nN*）（對(duì)定義進(jìn)行分析，強(qiáng)調(diào)：1、同一常數(shù)， 2、從第二項(xiàng)起。同時(shí)在學(xué)生的舉例中改動(dòng)幾個(gè)數(shù)，問(wèn)學(xué)生破壞定義的什么要求，注意對(duì)數(shù)列概念的嚴(yán)謹(jǐn)性分析。）

5、師： 回到表格中抽象出的3個(gè)數(shù)列，分別說(shuō)明他們的公差。 d=1 d=10 d=-5 （引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)公差d對(duì)數(shù)列的影響，當(dāng)d0時(shí)數(shù)列是遞增，當(dāng)d0時(shí)數(shù)列是遞減，當(dāng)d=0時(shí)數(shù)列是常數(shù)列。） 150160170180190200師：見(jiàn)上表， 請(qǐng)7號(hào)的同學(xué)回答a7，請(qǐng)8號(hào)的同學(xué)求a8，請(qǐng)42號(hào)的同學(xué)求a42師：若能求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，問(wèn)題就能較好的解決；（再提出問(wèn)題，引導(dǎo)問(wèn)題進(jìn)一步發(fā)展，發(fā)現(xiàn)求通項(xiàng)的必要性）生：我們把問(wèn)題推廣到一般情況。若一個(gè)數(shù)列，an ，是等差數(shù)列，它的公差是d，那么數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式是什么？ 方法1 n=2 n=3 n=4 當(dāng)n=1時(shí)，也成立。（歸納、猜想。培養(yǎng)學(xué)生合情推理的能

6、力）方法2。 用疊加得， 當(dāng)n=1時(shí)，也成立。整理得： nN*（回過(guò)來(lái)再說(shuō)明等差的優(yōu)點(diǎn)，體現(xiàn)用等差概念的優(yōu)勢(shì)，化繁為簡(jiǎn)，化腐朽為神奇，體現(xiàn)“數(shù)學(xué)之美”；并讓學(xué)生自由的交流，進(jìn)行“再創(chuàng)造”）可推出，n、mN*師：1、對(duì)通項(xiàng)公式進(jìn)行分析；通項(xiàng)公式中含有a1，d，n，an四個(gè)量，其中a1和d是基本量，當(dāng)a1和d確定后，通項(xiàng)公式便隨之確定從已知和未知的角度看，若已知其中任意三個(gè)量的值，即可利用方程的思想求出第四個(gè)量的值（即知三求一）2、，n、mN*挖掘等差數(shù)列的函數(shù)特征： 等差數(shù)列的通項(xiàng)公式an= a1（n1）d可表示為an=dnc（其中c=a1d，n 屬于N*）的形式，n 的系數(shù)即為公差當(dāng)d0時(shí)，a

7、n 是定義在自然數(shù)集上的一次函數(shù)，其圖象是一次函數(shù)y=dxc（x屬于R）的圖象上的一群孤立的點(diǎn)（畫(huà)圖略）（在數(shù)列的通項(xiàng)公式中，每取一個(gè)n，都有唯一一個(gè)an與之對(duì)應(yīng)，讓學(xué)生聯(lián)系映射的思想，挖掘數(shù)列的函數(shù)特征）鞏固：師： 回到表格中抽象出的4個(gè)數(shù)列，分別說(shuō)明他們的通項(xiàng)公式。=1+（n-1）=n=150+（n-1）*10=35+（n-1）*（-5）小結(jié)：這節(jié)課我們一起對(duì)生活中常見(jiàn)的一類(lèi)數(shù)據(jù)，進(jìn)行了一次有意義的探索，并總結(jié)等差數(shù)列的概念求出了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，等差數(shù)列的定義是判斷一個(gè)數(shù)列是否是等差數(shù)列的依據(jù)之一，通項(xiàng)公式是通項(xiàng)an與項(xiàng)數(shù)n的關(guān)系的一種解析表示，它從函數(shù)和方程兩個(gè)角度為我們求解問(wèn)題提供

8、了有力的工具通過(guò)給等差數(shù)列下定義及自行探求通項(xiàng)公式，使我們領(lǐng)略了合情推理與邏輯推理在探索、發(fā)現(xiàn)知識(shí)方面的重要作用讓學(xué)生明白 “數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，應(yīng)用于生活”。作業(yè)：等差數(shù)列有很多的性質(zhì)，請(qǐng)同學(xué)們回去后對(duì)等差數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行研究？在生活中尋找一些數(shù)據(jù)進(jìn)行一次探索？（研究性作業(yè)）說(shuō)明：導(dǎo)入和新授之間只要過(guò)度自然即可，導(dǎo)入環(huán)節(jié)不超過(guò)1-2分鐘。上述詳案，標(biāo)注括號(hào)的部分在試講過(guò)程中，可以根據(jù)實(shí)際情況和時(shí)間不完全說(shuō)出來(lái)。整個(gè)教學(xué)過(guò)程凸顯學(xué)生為主體，引導(dǎo)學(xué)生“說(shuō)出“教學(xué)過(guò)程。板書(shū)可以在講課過(guò)程中適當(dāng)寫(xiě)出，布置作業(yè)環(huán)節(jié)要體現(xiàn)開(kāi)放性。2、 幾何課程模板（圓柱的認(rèn)識(shí)）導(dǎo)入師：上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了長(zhǎng)方體，咱們簡(jiǎn)單的回顧一

9、下。首先我們教師里面有哪些東西是正方體長(zhǎng)方體，他們有哪些方面的性質(zhì)？生：長(zhǎng)方體的組成，就是長(zhǎng)方體有6個(gè)面，12條棱和8個(gè)頂點(diǎn)。相對(duì)的面的面積相等，相對(duì)的棱的長(zhǎng)度相等，比如教師里面立著的空調(diào)就是一個(gè)長(zhǎng)方體。師：回答的很好，學(xué)習(xí)幾何是很有意思的，它常常和我們的生活聯(lián)系在一起。再看一下老師手里的杯子，大家來(lái)描述一下， 它是什么形狀？生：圓圓的，像個(gè)圓筒一樣。師：回答的很好，現(xiàn)在請(qǐng)大家想一下，生活中還有那些物體也是這種樣子的形狀？生1：超市里面的灌裝可樂(lè)。生2：教室里面日光燈燈管。師：很好，你們很善于觀察生活。剛剛大家列舉的物體，圓筒一樣的形狀，我們稱(chēng)之為圓柱。新授請(qǐng)大家拿出學(xué)具，圓柱體模型，觀察并想

10、一想圓柱有哪些特征？生1：圓柱有三部分組成，兩個(gè)圓和一個(gè)周?chē)拿?。?：兩個(gè)圓的面積相等，生3：圓柱有無(wú)數(shù)條高。師：你能給大家指一指圓柱的高在哪里嗎？（學(xué)生指）教師劃一條側(cè)面上的斜線，這是圓柱的高嗎？為什么？?jī)蓚€(gè)底面圓心的連線是高嗎？高有多少條？師：大家的觀察很仔細(xì)，確實(shí)圓柱是由三部分組成的，兩個(gè)圓和一個(gè)曲面，并且兩個(gè)圓的面積相等，在圓柱中，兩個(gè)圓叫圓柱的底面，曲面叫做圓柱的側(cè)面，圓柱有無(wú)數(shù)條高。（板書(shū)）師：通過(guò)剛才的研究，我們知道：圓柱是有兩個(gè)完全一樣的圓和一個(gè)側(cè)面組成的，是不是任意兩個(gè)完全相等的圓和一個(gè)側(cè)面就一定能組成圓柱呢？（不是）我這里有兩個(gè)大小完全相同的圓和一個(gè)側(cè)面，他們能不能組成一

11、個(gè)圓柱呢？（不能）圓柱的底面和側(cè)面之間又有什么樣的關(guān)系呢？請(qǐng)大家以小組為單位，結(jié)合手中的學(xué)具進(jìn)行研究。生1：圓的大小和側(cè)面的粗細(xì)一樣。師：大家的感覺(jué)沒(méi)錯(cuò)。可是老師總感覺(jué)底面圓和側(cè)面之間的關(guān)還不夠具體，誰(shuí)有辦法能讓大家很容易的看到它們之間的關(guān)系？再次進(jìn)行小組合作。組1：我們可以把圓柱的側(cè)面剪開(kāi)，把它展開(kāi)后就變成了一個(gè)長(zhǎng)方形。這樣它們就都成了平面圖形，就容易進(jìn)行比較了。師：這個(gè)小組的同學(xué)把側(cè)面展開(kāi)變成了長(zhǎng)方形，是沿哪里剪開(kāi)的？（圓柱的高）這樣就把側(cè)面這一曲面轉(zhuǎn)變成了平面。板書(shū)：化曲為直在以前的學(xué)習(xí)中，還有哪些知識(shí)也用到了這一方法？生2：學(xué)習(xí)圓的周長(zhǎng)時(shí)我們也是用到了這一思想。生3：學(xué)習(xí)圓的面積時(shí)我們

12、也是用到了這一思想，把原轉(zhuǎn)化成了近似的長(zhǎng)方形。師：大家的想法很有創(chuàng)造力，那展開(kāi)后的長(zhǎng)方形和底面圓之間有什么關(guān)系？組2：現(xiàn)在長(zhǎng)方形的長(zhǎng)等于圓柱的底面周長(zhǎng)。師：大家把展開(kāi)的圓柱體再?lài)饋?lái)，驗(yàn)證一下這位同學(xué)的結(jié)果。（學(xué)生操作）還有其他發(fā)現(xiàn)嗎？生4：長(zhǎng)方形的寬等于圓柱的高。師：現(xiàn)在誰(shuí)能完整地說(shuō)一說(shuō)展開(kāi)后的長(zhǎng)方形和圓柱的關(guān)系？生5：圓柱的側(cè)面展開(kāi)后是一個(gè)長(zhǎng)方形，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)等于圓柱的底面周長(zhǎng)，長(zhǎng)方形的寬等于圓柱的高。板書(shū)： 師：剛才通過(guò)大家的努力，我們發(fā)現(xiàn)了圓柱的基本特征?，F(xiàn)在給大家分小組，每小組發(fā)兩張白紙，大家自己嘗試一下做一個(gè)白紙。并測(cè)量出自己制作的圓柱的各個(gè)數(shù)據(jù)。組1：我們組是利用長(zhǎng)62.8厘米求出了底面圓的周長(zhǎng)也是62.8厘米，62.83.142=10厘米，所以底面圓的半徑是10厘米。用圓規(guī)畫(huà)出了兩個(gè)圓。粘起來(lái)就做成了一個(gè)圓柱。組2：我們是把31.4厘米作為圓柱的底面周長(zhǎng)，求出底面半徑是5厘米，用圓規(guī)畫(huà)出了兩個(gè)圓做成了圓柱。小結(jié)；請(qǐng)大家把做成的圓柱舉起來(lái)互相欣賞一下。雖然兩個(gè)小組做成的圓柱形狀不同，但他