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1、實驗十五零件參數(shù)的設(shè)定【實驗?zāi)康摹?了解隨機(jī)模擬法(即Monte Carlo法)的基本原理。2學(xué)習(xí)隨機(jī)模擬變量產(chǎn)生的基本方法,初步培養(yǎng)隨機(jī)模擬的建模思想。3學(xué)習(xí)掌握MATLAB軟件中隨機(jī)模擬的相關(guān)命令?!緦嶒瀮?nèi)容】一件產(chǎn)品由若干個零件組裝而成,標(biāo)志產(chǎn)品性能的某個參數(shù)取決于這些零件的參數(shù)。零件參數(shù)包括標(biāo)定值和容差兩部分。進(jìn)行成批生產(chǎn)時,標(biāo)定值表示一批零件該參數(shù)的平均值,容差則給出了參數(shù)偏離其標(biāo)定值的容許范圍。若將零件參數(shù)視為隨機(jī)變量,則標(biāo)定值代表期望值,在生產(chǎn)部門無特殊要求時,容差通常視為標(biāo)準(zhǔn)差的3倍。粒子分離器某參數(shù)(記作)由7個零件的參數(shù)(記作,)決定,經(jīng)驗公式為當(dāng)各零件組裝成成品時,如果產(chǎn)
2、品參數(shù)偏離預(yù)先設(shè)定的目標(biāo)值,就會造成質(zhì)量損失,偏離越大,損失就越大。的目標(biāo)值(記作)為1.50,當(dāng)偏離0.1時,產(chǎn)品為次品,質(zhì)量損失為1000(元);當(dāng)偏離0.3時,產(chǎn)品為廢品,質(zhì)量損失為9000(元)。給定某設(shè)計方案7個零件參數(shù)標(biāo)定值及容差,如表1 所示:容差分為A、B、C三個等級,用與標(biāo)定值的相對乘積值表示,A等為1%,B等為5%,C等為15%表1零件參數(shù)標(biāo)定值和容差標(biāo)定值16容差BBBCCBB求每件產(chǎn)品的平均損失?!緦嶒灉?zhǔn)備】在現(xiàn)實生活中,有大量問題由于模型中隨機(jī)因素很多,很難用解析式模型來進(jìn)行描述求解,這時就需要借助模擬的方法。隨機(jī)模擬法也叫Monte Carlo法,它是用計算機(jī)模擬隨
3、機(jī)現(xiàn)象,通過大量仿真實驗,進(jìn)行分析推斷,特別是對一些復(fù)雜的隨機(jī)變量,不能從數(shù)學(xué)上得到它的概率分布,而通過簡單的隨機(jī)模擬便可得到近似解答。象這類大容量的仿真實驗,如果用實物來做,需要大量人力物力且可能無法實現(xiàn),但如果我們有了問題的數(shù)學(xué)模型,用計算機(jī)模擬就輕而易舉了。由于Monte Carlo法計算量大,精度不是很高,因而適合一些用解析方法或常規(guī)數(shù)值方法難以解決問題的低精度求解,或用于對一些計算結(jié)果的驗證。1隨機(jī)模擬的一些基本概念自然界發(fā)生的現(xiàn)象可分為兩類,一類現(xiàn)象在一定條件下發(fā)生的結(jié)果是完全可以預(yù)知的,稱為必然現(xiàn)象。另一類現(xiàn)象發(fā)生的結(jié)果在事先是無法準(zhǔn)確預(yù)知的,稱為偶然現(xiàn)象或隨機(jī)現(xiàn)象。下面兩個試驗
4、都是隨機(jī)現(xiàn)象:試驗一:有10枚均勻硬幣,隨手拋在地上,有幾枚正面向上?試驗二:按身份證號碼隨意挑10個中國女子,他們的平均體重是多少?盡管隨機(jī)現(xiàn)象的發(fā)生結(jié)果是不確定的,但還是有一定的規(guī)律可循:試驗一中正面向上的枚數(shù)一定是010,5枚向上的可能性比8枚向上的可能性要大;試驗二中平均體重基本在40kg到70kg之間,且在45kg左右的可能性比65kg左右的可能性要大。一個隨機(jī)事件A發(fā)生的可能性的大小,用一個介于0與1之間的數(shù)表示,稱為A的概率,記為。概率的意義在類似的現(xiàn)象大量重復(fù)發(fā)生時會表現(xiàn)出來。比如,在試驗一中若(5枚向上)0.25,那么意味著“若把試驗一做100遍,大致有25次左右出現(xiàn)5枚向上
5、的情況。”在隨機(jī)現(xiàn)象中,變量的取值往往是不確定的,稱為隨機(jī)變量。描述隨機(jī)變量取各種值的概率函數(shù)稱為概率分布。對于隨機(jī)變量,通常主要關(guān)心它的兩個主要數(shù)字特征:數(shù)學(xué)期望用于描述隨機(jī)變量的平均值,方差和標(biāo)準(zhǔn)差用于描述隨機(jī)變量分布的差異程度。另外,協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)用于描述兩個隨機(jī)變量的線性關(guān)聯(lián)程度。(數(shù)字特征的定義跟前面實驗定義的一致,且均能在概率統(tǒng)計的書籍中查找相關(guān)定義)隨機(jī)變量的分布,根據(jù)其取值特點不同主要分為離散型和連續(xù)型兩類。若用變量表示試驗一“正面向上次數(shù)”,其取值可能為0,1,2,10(離散點集),則為離散型隨機(jī)變量。典型的離散型分布有二項分布、Poisson分布等。若用變量表示試驗二中“
6、平均體重”,其取值可能為30,80中的任何值,則為連續(xù)型隨機(jī)變量。典型的連續(xù)型分布有均勻分布、正態(tài)分布、指數(shù)分布、分布、分布、分布等。2、模擬隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生為了產(chǎn)生具有一定分布的隨機(jī)數(shù),一般采用一定的生成程序。首先要有一個等概率密度隨機(jī)數(shù)發(fā)生器,一般計算機(jī)上都有專門的程序,產(chǎn)生01之間等概率密度分布的隨機(jī)數(shù),使用時直接調(diào)用即可;此01之間的隨機(jī)數(shù)進(jìn)行一定的數(shù)字轉(zhuǎn)換即可獲得所要求的隨機(jī)數(shù),怎樣進(jìn)行數(shù)字轉(zhuǎn)換則視所要求的分布函數(shù)來定。假定將0,1區(qū)間的均勻隨機(jī)數(shù)記作,則,區(qū)間的均勻隨機(jī)數(shù)可按下述公式由0,1區(qū)間的均勻隨機(jī)數(shù)產(chǎn)生:()(1)逆轉(zhuǎn)換法這是求概率分布的逆函數(shù)從而產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的方法。因概率分布函
7、數(shù)為定義在0,1區(qū)間的單調(diào)遞增函數(shù),設(shè)為區(qū)間0,1的均勻隨機(jī)變量,令,只要求出逆函數(shù),即為具有概率分布函數(shù)的隨機(jī)數(shù)。組合法組合法是利用某些容易產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)數(shù)列的隨機(jī)變量,通過組合得到所要求的隨機(jī)變量的一種方法。例:產(chǎn)生泊松分布的模擬隨機(jī)數(shù)列如果相繼兩個事件出現(xiàn)的間隔時間為負(fù)指數(shù)分布,則在某一時間間隔內(nèi)事件出現(xiàn)的次數(shù)服從泊松分布。根據(jù)此關(guān)系,可以用負(fù)指數(shù)分布的隨機(jī)變量來組合產(chǎn)生泊松分布的隨機(jī)數(shù)序列。設(shè),為參數(shù)的負(fù)指數(shù)分布的隨機(jī)數(shù)序列,因為有(2)所以將值按序累加,使得滿足關(guān)系式:1 (3)則求得的就是參數(shù)的泊松分布。的隨機(jī)數(shù)。近似法這種方法一般用于隨機(jī)變量的分布函數(shù)無法求出的情形。此時可運用大數(shù)定
8、理,當(dāng)樣本數(shù)量趨于無窮時,樣本平均值趨向于總體平均值,它是數(shù)字特征隨機(jī)模擬的理論根據(jù)。3與隨機(jī)數(shù)相關(guān)的MATLAB命令max,minmeanmedianstdcovcorrcoef最大值,最小值均值中值標(biāo)準(zhǔn)差協(xié)方差矩陣相關(guān)系數(shù)矩陣sumcumsumprodcumprodbarhist各元素和各元素累計和各元素積各元素累計積直方圖數(shù)據(jù)分組及直方圖數(shù)據(jù)分析函數(shù)max,min,mean,median,std,cov,sum,prod,cumprod等標(biāo)準(zhǔn)用法都是對列狀數(shù)據(jù)進(jìn)行的。bar(Y)作向量Y的直方圖;bar(X,Y)作向量Y相對于X的直方圖;hist(X,k)將向量X中數(shù)據(jù)等距分為k組,并作
9、出直方圖,缺省值為k10;有關(guān)它們更詳細(xì)的內(nèi)容可查閱幫助文件。隨機(jī)數(shù)生成采用下面命令形式:R = rand( m , n )生成0,1區(qū)間上均勻分布的m行n列隨機(jī)矩陣;R = randn( m , n ) 生成標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的m行n列隨機(jī)矩陣;R = randperm( N ) 生成1,2,N的一個隨機(jī)排列;R = unidrnd( N , m , n ) 生成1,2,N的等概率m行n列隨機(jī)矩陣;R = unifrnd( a , b , m , n )生成a,b區(qū)間上均勻分布的m行n列隨機(jī)矩陣;R = normrnd( mu , sigma , m , n )生成均值為mu,標(biāo)準(zhǔn)差為sigma的
10、m行n列正態(tài)分機(jī)隨機(jī)數(shù)矩陣;R = binornd( k , p , m , n )生成參數(shù)為k,p的m行n列正態(tài)分機(jī)隨機(jī)數(shù)矩陣,它模擬在k次重復(fù)試驗中某事件(發(fā)生概率為p)出現(xiàn)的次數(shù);R = mvnrnd( mu , sigma , m )生成n維正態(tài)分布數(shù)據(jù),這里mu為n維均值向量,sigma為n階協(xié)方差矩陣(它必須是正定的),R為m×n矩陣,每行代表一個隨機(jī)數(shù)。R = poissrnd (mu , m , n )生成均值為mu的m行n列泊松分布的隨機(jī)數(shù)矩陣;可以通過幫助文件查閱上述命令的詳細(xì)內(nèi)容?!緦嶒灧椒ㄅc步驟】1MATLAB命令的基本用法下面用幾個例子來予以說明:>&
11、gt; data=13 76 356;11 89 278;10 86 302;8 92 362;15 69 311;14 83 299;11 73 336;>> max(data)ans = 15 92 362>> mean(data)ans = >> sum(data)ans = 82 568 2244>> std(data)ans =>> prod(data)ans = 1.0e+017 *>> cov(data)%將三列看成三個隨機(jī)變量ans = >> corrcoef(data)%將三列看成三個隨機(jī)變量
12、ans = >> bar(data)%作向量data的直方圖2引例問題的分析求解在這個問題中,主要的困難是產(chǎn)品的參數(shù)值是一個隨機(jī)變量,而由于與各零件參數(shù)間是一個復(fù)雜的函數(shù)關(guān)系,無法解析地得到的概率分布。本實驗可以考慮采取隨機(jī)模擬的方法計算。其基本思路是:用計算機(jī)模擬工廠生產(chǎn)大量“產(chǎn)品”(如1000件),計算產(chǎn)品的總損失,從而得到每件產(chǎn)品的平均損失。對于大樣本容量的隨機(jī)變量,我們可以假設(shè)7個零件參數(shù)均服從正態(tài)分布。根據(jù)題設(shè)里標(biāo)定值和容差的定義,我們可以得到7個零件參數(shù)所對應(yīng)正態(tài)分布的均值與方差:,下面在腳本文件eg6_1.m中產(chǎn)生1000個對零件7個參數(shù)的隨機(jī)數(shù),通過隨機(jī)模擬法求解零
13、件平均損失的近似解。clear;%清除內(nèi)存變量mu=0.1,0.3,0.1,0.1,1.5,16,0.75;sigma=0.005/3,0.005,0.005/3,0.005,0.075,0.8/3,0.0125;for i=1:7 x(:,i)=normrnd(mu(i),sigma(i),1000,1);endp=(1-2.62*(1-0.36*(x(:,4)./x(:,2).(-0.56).1.5.*(x(:,4)./x(:,2).1.16)./x(:,6)./x(:,7);q=(x(:,1)./x(:,5).*(x(:,3)./(x(:,2)-x(:,1).0.85;y=174.42*
14、q.*p.0.5;d=abs(y-1.5);%與目標(biāo)值差的絕對值f=sum(9000*(d>0.3)+1000*(d<=0.3).*(d>0.1)/1000%求零件的平均損失%注意此處使用的是數(shù)組的點乘、點除、和點冪運算。>> f = 2948【結(jié)果分析】2948,是否每次運行結(jié)果都一致呢?很顯然,每次運行的結(jié)果應(yīng)該不同,并且有一定的差別,因為我們是按計算機(jī)內(nèi)部算法取1000個正態(tài)分布的隨機(jī)模擬數(shù),下表是連續(xù)10次運行的結(jié)果表2模擬1000對零件參數(shù)運行次數(shù)12345678910f(元)289731333021289429672884287328962966291
15、8下面我們加大參數(shù)隨機(jī)模擬的容量,提高兩個數(shù)量級,取100000,同樣我們?nèi)?0次運行結(jié)果作成表2:表2模擬100000對零件參數(shù)運行次數(shù)12345678910f(e+003)2.93102.9142這時,我們可以觀察到,零件平均損失費用在2910附近波動,且波動輻度較小容量時小很多,此時我們可以確認(rèn)所得的解是比較接近零件平均損失的真實值。通過該實驗也驗證,隨機(jī)模擬在很多實際問題的求解中能夠取得比較理想的效果。【練習(xí)與思考】1一個加油站服務(wù)員每天工作8小時,工資為15元/天。要求加油的汽車按35輛/小時的泊松流到達(dá)。每個服務(wù)員分別為一輛汽車加油,又每服務(wù)一輛汽車后,加油站盈利1.25元。設(shè)每輛汽車的加油時間為負(fù)指數(shù)分布,1/8min。當(dāng)?shù)却佑偷钠嚦^兩輛時,后來的汽車就不再排隊等待而離去。試用模擬方法確定該加油站合理的服務(wù)員人數(shù)。2已知零件C由零件A和零件B連接而成,已知A、B的長度均為隨機(jī)變量,具體數(shù)值如下表。試抽取100個樣本以計算C的平
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