線段的垂直平分線

1、課題線段的垂直平分線學科數(shù)學年級初二學校上海市顧路中學教時1教時教師周晶線段的垂直平分線教學目標1經(jīng)歷線段垂直平分線性質的發(fā)現(xiàn)過程，初步掌握線段垂直平分線的性質定理及其逆定理，體會辨證思想；2能運用線段垂直平分線性質定理及其逆定理解決簡單的幾何問題；3通過從操作實驗到演繹推理的數(shù)學活動，認識實驗歸納和演繹推理的作用. 4、了解數(shù)學和生活的緊密聯(lián)系，增強運用數(shù)學的能力。數(shù)學問題源于生活實踐，反過來數(shù)學又為生活實踐服務，體會數(shù)學實際價值。教學重點、難點重點：線段垂直平分線定理 （性質定理）及其逆定理的推導及應用。難點：定理及逆定理的區(qū)別和聯(lián)系。教學流程布置作業(yè)解決情景問題，體會數(shù)學思想小結嘗試反饋

2、實驗操作觀察歸納學習新知鞏固新知創(chuàng)設情景提出問題引發(fā)思考 自主小結教學過程設計：教學策略方案設計理念和意圖一生活實例設疑導入：浦東新區(qū)政府為了方便居民的生活，計劃在三個住宅小區(qū)A、B、C之間修建一個購物中心，試問，該購物中心應建于何處，才能使得它到三個小區(qū)的距離相等？（學習了今天的內容，你就可以做一個小小城市規(guī)劃師啦?。┒毓手拢?、復習：什么是線段的垂直平分線（中垂線）？垂直于一條線段并且平分這條線段的直線叫做這條線段的垂直平分線。2、操作實驗：提問1：線段是不是軸對稱圖形？如果是，那么請說明它的對稱軸在哪里？提問2：如圖，線段AB關于直線MN對稱，在直線MN上任取一點P，分別聯(lián)結PA、P

3、B，那么線段PA與PB一定相等嗎？再取一點P1，P1A與PIB呢？操作：以直線MN為折痕將這個圖形翻折，觀察點P的位置動不動？點A與點B是否重合？你得到哪些線段相等？歸納可由學生歸納得出命題：線段垂直平分線上的任意一點和這條線段兩個端點的距離相等。這個命題，是我們通過作圖、觀察、猜想得到的，還得在理論上加以證明是真命題才能作為定理。我們來證明這個命題的正確性：已知：如上圖，直線MN是線段AB的垂直平分線，垂足為點C，點P在直線MN上.求證： PAPB. （由學生分析思路后口述過程，教師板書）。性質定理：線段垂直平分線上的任意一點和這條線段兩個端點的距離相等。符號語言：點P在線段AB的垂直平分線

4、MN上（已知）PA=PB（線段垂直平分線上的任意一點和這條線段兩個端點的距離相等。）體問3: 這條定理會有何作用呢？由該定理的結論可見，線段垂直平分線定理是證明兩線段相等的一個依據(jù)。以后證明兩條線段相等，我們又多了一個好辦法-線段的垂直平分線定理，且比用三角形全等更簡便。提問4：任何定理都有逆命題。那么線段垂直平分線的性質定理的逆命題是什么？分析性質定理：如果一個點在一條線段的垂直平分線上，那么這個點到線段兩個端點的距離相等。逆命題：如果一個點到一條線段兩個端點的距離相等，那么這個點在這條線段的垂直平分線上。提問5：這個命題正確嗎？已知：如圖,QA= QB，求證：點Q在線段AB的垂直平分線上.

5、分析：為了證明點Q在線段AB的垂直平分線上，可以先經(jīng)過點Q作線段AB的垂線MN，然后證明直線MN平分線段AB.證明（略）.啟發(fā)學生敘述成為定理逆定理：和一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上。符號語言：PA=PB（已知）點P在線段AB的垂直平分線上（和一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上。）可見，逆定理是證明點在直線上的依據(jù)對比剖析定理和逆定理的區(qū)別和聯(lián)系。由此：點P在線段AB的垂直平分線上 PA=PB我們知道，任何圖形都是由點構成的，因此圖形可以看作是點的集合。由上述定理和逆定理，線段的垂直平分線可以看作是符合什么條件的點的組成的圖形？用集合的觀點描述線段的

6、垂直平分線：線段的垂直平分線可以看作是和這條線段的兩個端點的距離相等的所有的點的集合。即滿足這個條件（到線段兩個端點的距離相等）的點都在這條線段的垂直平分線上，反之，這條線段的垂直平分線上的點都滿足這個條件。例如。 三實際應用例題1已知：如圖，AB=AC，DB=DC，E是AD上一點. 求證：BE=CE. 證明：聯(lián)結BC. ABAC，DBDC.（已知） 點A、D在線段BC的垂直平分線上（和一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上） 即AD是線段BC的垂直平分線，點E在AD上（已知） BE=CE（線段垂直平分線上的任意一點到這條線段兩個端點的距離相等）. 例2、已知：在ABC中，ON

7、是AB的垂直平分線，OA=OC。求證：點O在BC的垂直平分線上。解決后，由此觀察O與AC 有何關系，你能發(fā)現(xiàn)什么結論嗎？小結：點O是三角形三邊垂直平分線的交點，這個點到三個頂點的距離相等.現(xiàn)在讓我們再回來看課前的問題：浦東新區(qū)政府為了方便居民的生活，計劃在三個住宅小區(qū)A、B、C之間修建一個購物中心，試問，該購物中心應建于何處，才能使得它到三個小區(qū)的距離相等？分析： 求作一點P，使它和已知ABC的三個頂點距離相等。實際問題數(shù)學化 PA=PB=PC討論：能否通過示意草圖說明你的思路。四、自主小結：談談你的收獲？五、作業(yè)：課本1、2、3、體現(xiàn)數(shù)學來源于生活，并留有懸念，暫時不解決。通過復習前一階段的

8、線段的垂直平分線的定義，為學習其性質定理、逆定理做好準備。并引入課題。根據(jù)線段的軸對稱性質，通過操作實驗歸納得到“線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等”的結論。用FLASH動畫演示翻折過程是為了更直觀的驗證學生的猜想，讓學生獲得感性認識，為下面證明提供思考基礎。將命題這一文字語言結合圖形語言改寫成“已知，求證”證明形式。 通過提問，讓學生思考定理的作用以及體悟使用該定理的簡捷性。在獲得定理的基礎上，引導學生研究這個定理的逆命題。讓學生增強運用這一方法主動獲取知識的意識。先讓學生寫出逆命題，再根據(jù)已有的操作經(jīng)驗提出逆命題為真命題的猜想，然后進行證明。結合幾何畫板的演示幫助同學理解體會集合的思想。設計本例進一步幫助學生克服證角相等、線段相等的原有模式，不斷優(yōu)化、簡化解題過程. 在本例教學中要引導學生認識過一點不能確定一條直線，判定一條直線是已知線段的垂直平分線，必須有和已知線段兩端距離相等的的兩個點才能確定這條直線.將教材中證明“三角形三邊的垂直平分線交于一點”這一難度較高的題目改編為例2，通過學生分析解決后，這樣在