數(shù)的結(jié)構(gòu)分析

1、數(shù)的結(jié)構(gòu)分析 單位量與單位數(shù) 四則運(yùn)算中，不論是整數(shù)、分?jǐn)?shù)或小數(shù)，只有在單位量都相同之下，才對(duì)單位數(shù)進(jìn)行運(yùn)算。以下分別舉例說(shuō)明之。一、 加法：所謂的加法，就是相同單位，兩數(shù)合併後重新點(diǎn)算。1. 整數(shù)加法：以7加8為例。7和8的單位量都是1，7單位數(shù)為7個(gè)1組成，8單位數(shù)為8個(gè)1組成。兩數(shù)的單位量都是1，因?yàn)閱挝涣肯嗤钥梢院蟻銥?5。2. 分?jǐn)?shù)加法：以加為例。是將1切成4份佔(zhàn)1份，即1個(gè)，所以的單位量為，單位數(shù)為1。同樣的，的單位量為。單位數(shù)為2，兩數(shù)的單位量不同，無(wú)法進(jìn)行加法運(yùn)算，因此我們必須先將兩數(shù)重新等分（即通分），找到共同的單位量。即將和通分，每個(gè)分成3份，則原來(lái)的1就變成12等份

2、，原佔(zhàn)12等份中的3等份，即（單位量，單位數(shù)3）。同樣的，把每個(gè)分成4份，則原來(lái)的1就變成12份，原佔(zhàn)12份中的8份，即（單位量，單位數(shù)8）。如此兩數(shù)的單位量都變成後，單位數(shù)3和8即可進(jìn)行合併，重新點(diǎn)算得11個(gè)，寫成。兩數(shù)的單位量並非只有一個(gè)共同單位，也可分為24、48等份，只要是兩數(shù)共同等份都可以。不過(guò)為了計(jì)算方便，我們習(xí)慣選擇最小等份（即最小公倍數(shù)）。1. ，因此，我們必須將其切成10份，每份就變成，如此原來(lái)的單位數(shù)4，在100份中，就變成佔(zhàn)40份；原來(lái)的單位數(shù)14，則佔(zhàn)14份。兩數(shù)找到共同等份後，就可以合併為0.54。二、減法：相同單位中，從某數(shù)中拿走某定量後，重新點(diǎn)算。1. 整數(shù)減法。

3、以10減4為例。10的單位量1，單位數(shù)10；4的單位量1，單位數(shù)4。兩數(shù)單位量相同，所以可直接進(jìn)行拿去的動(dòng)作，剩下6個(gè)單位數(shù)，單位量1。2. 分?jǐn)?shù)的減法：以減為例。單位量， 的單位數(shù)1。單位量， 的單位數(shù)1，。兩數(shù)的單位量不同，所以要進(jìn)行減法運(yùn)算前，必須先將兩種單位量化為相同單位量，即把每個(gè)分為5份，原來(lái)的1變成就10等份，原佔(zhàn)5份，即；每個(gè)分成2份，原來(lái)的1就變成10等份。原佔(zhàn)2等份，即。單位量，單位數(shù)2。兩數(shù)的單位量都變成後，就可針對(duì)單位數(shù)進(jìn)行減法動(dòng)作。被減數(shù)5，拿去2後，重新點(diǎn)算剩下3，即。3. 。三、乘法：相同單位中，一定量連加幾次後，重新點(diǎn)算。1. 整數(shù)乘法：以4乘以5為例。定量4，

4、連加5次（而非第1次加4，第2次加0.4），或說(shuō)成4的5倍，也就是5個(gè)4堆，重新點(diǎn)算是20。2. 分?jǐn)?shù)乘法：以乘以為例。首先確定定量為，連加次（或的是多少？或它的倍是多少？）。此時(shí)，先回到分?jǐn)?shù)的基本概念，是把1切成4份佔(zhàn)3份，或3個(gè)。的倍則是把再切成3份後，得，然後連加2次（）。因此×就成了，也就是÷3×2。3. 小數(shù)乘法：以0.3乘0.2為例。首先確定量為0.3，把1分成10等份，取其中3份，再和10等份比較，即。連加次，就是把每個(gè)又分成10份，1就變成100份，再把原來(lái)三等份連加兩次，最後和100份比較，佔(zhàn)32=6份，即6，換算成小數(shù)為0.06。四、除法：它含

5、有倆個(gè)概念。第一，等分除：把被除數(shù)等分成幾份後，每份佔(zhàn)多少。第二，包含除：以除數(shù)為1，比被除數(shù)比了幾次。1. 整數(shù)除法：以8除2等於4為例。若把8個(gè)蘋果分給2個(gè)人，每人的到4個(gè)蘋果。等分兩個(gè)4份，所以為等分除。我有8個(gè)蘋果，你有2個(gè)，我是你的幾倍。以你為1，和8個(gè)蘋果比較，可比4次，所以為包含除。2. 分?jǐn)?shù)除法：以除以3為例。的單位量為，單位數(shù)4。將4份平均分成3等份。將4（）先各分1，剩下1（），再將1（）平均切成3等份後，每等份為：1個(gè)，又分成3等份其中的一等份，但此等份在全部1中佔(zhàn)多少呢？因?yàn)樗蝗菀酌?。因此，一開(kāi)始要平均等分時(shí)，直接將每個(gè)切成3等份，就變成等份，題目上要求分4個(gè)；也就

6、是。12（）平均分3等份後，每等份為：4小等份，佔(zhàn)15份中的4份，即。此為等分除。 再以除以為例，說(shuō)明包含除。包含除是以除數(shù)為1，比被除數(shù)比了幾次。換言之，也就是被除數(shù)為除數(shù)的幾倍。首先要先將和找到共通的單位（通分），和的共通單位為，為，單位量為，單位數(shù)為12。通分後為，5為單位數(shù)。為單位量，單位相同後，即可比較單位數(shù)。以除數(shù)5為1，比被除數(shù)12，比了2又次，即2。1. 小數(shù)除法：以1.5除0.2為例。兩數(shù)的單位都是0.1，1.5有15個(gè)0.1，0.2有2個(gè)0.1，單位相同，取2和15比較，比了7又次，即7，即7.5。 四則運(yùn)算中，以分?jǐn)?shù)的乘法和除法最難理解，學(xué)生常常搞錯(cuò)。分?jǐn)?shù)的乘法先用乘數(shù)的

7、分母除，找到共同單位後，分子連加，再和原來(lái)的1比較。 分?jǐn)?shù)的除法先弄清楚：包含除和等分除。等分除和分?jǐn)?shù)乘法的差別，就在等分除先用除數(shù)的分子除，找到小單位後，再乘1所包含幾個(gè)這個(gè)小單位，便可找到1。例：一塊布的是公尺，這塊布是多少公尺？在中，公尺佔(zhàn)3等份中的2等份，因此先將公尺分成兩等份，找到1等份為公尺。1有3等份，再將公尺乘以3，就可找到1塊布的長(zhǎng)度。所以等分除的算式先用除數(shù)的分子除，和分?jǐn)?shù)的乘法先用乘數(shù)的分母除不同。（回到分?jǐn)?shù)÷整數(shù)） 包含除就必須先分分母，找出相同的單位量。例：一條紅色緞帶長(zhǎng)公尺，綠色緞帶是公尺，紅色緞帶是綠色的幾倍？此時(shí)和單位數(shù)不同，先通分為必須及。等單位都是

8、後，以除數(shù)的單位數(shù)4為1，比3，比了次。所以，分?jǐn)?shù)包含除先通分找出相同的單位量後，再算整數(shù)的除法。 乘、除法若無(wú)具體操作的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)於問(wèn)題情境將很難掌握。一般學(xué)生對(duì)於乘除符號(hào)難以掌握，其關(guān)鍵就在此。 四則運(yùn)算之間的概念是相當(dāng)密切。在教學(xué)過(guò)程中，教師若對(duì)數(shù)結(jié)構(gòu)的觀念不清楚，就很難引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用以前學(xué)過(guò)的經(jīng)驗(yàn)來(lái)處理數(shù)學(xué)問(wèn)題。目前課本中的教材並無(wú)特別強(qiáng)調(diào)縱的聯(lián)結(jié)，故造成學(xué)生無(wú)法獲得有意義的學(xué)習(xí)。學(xué)生學(xué)到的概念往往前後的呈現(xiàn)不一致，致新舊概念無(wú)法同化，而對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生錯(cuò)亂的感覺(jué)，當(dāng)然他們就不可能喜歡數(shù)學(xué)了。例如：分?jǐn)?shù)除法為什麼要顛倒相乘。原先所學(xué)到除法的觀念，如果老師在教學(xué)中，無(wú)法讓學(xué)生得到前後一致性的理解，

9、就會(huì)帶給學(xué)生太多的不確定感。這就好像對(duì)空畫餅一般，學(xué)生吃不到卻又強(qiáng)迫他們瞞騙自己說(shuō)，餅又香又好吃。 任何數(shù)學(xué)工具的起源，都起自於處理生活情境問(wèn)題。所以，任何數(shù)學(xué)問(wèn)題，也必定看的到摸的到，也就是說(shuō)它們必定可以操作的。但是一般數(shù)學(xué)教學(xué)，卻硬生生的將數(shù)學(xué)與問(wèn)題情境分離，學(xué)生被拖出原有的問(wèn)題情境，不能體驗(yàn)到問(wèn)題，又如何談數(shù)學(xué)敏感度呢！學(xué)生連問(wèn)題都摸不清頭緒，又如何採(cǎi)取解決方式呢？不幸的目前數(shù)學(xué)教學(xué)，一再?gòu)?qiáng)調(diào)不斷的練習(xí)計(jì)算，結(jié)果學(xué)生熟練了算式，卻失去解決問(wèn)題的樂(lè)趣。 另一方面，當(dāng)我們?cè)诮淌艺勛鹬貙W(xué)生，是不是應(yīng)該就實(shí)質(zhì)的層面來(lái)考慮，以學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)為出發(fā)點(diǎn)，不就是維護(hù)學(xué)生受教權(quán)的尊重嗎？而要解決學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的厭

10、煩，就必須將問(wèn)題的回復(fù)到現(xiàn)實(shí)情境，也就是教材有現(xiàn)場(chǎng)感，讓學(xué)生切身的體驗(yàn)問(wèn)題，並造成衝突。對(duì)教師來(lái)說(shuō)，除非他願(yuàn)意花費(fèi)時(shí)間等待學(xué)生，讓學(xué)生身歷其境，活在當(dāng)下，否則，一味追逐速度的快感，只會(huì)付出更大的代價(jià)。再者，回到教室現(xiàn)場(chǎng)感時(shí)，學(xué)生所面臨的各種問(wèn)題，非常需要教師有意識(shí)引導(dǎo)。在無(wú)安排的情況下，那會(huì)造成學(xué)生更多的挫折感。因此從問(wèn)題的安排考慮，如果教師提問(wèn)無(wú)系統(tǒng)的安排，或放任學(xué)生自行摸索，更能顯現(xiàn)教師專業(yè)的素養(yǎng)?；鶞?zhǔn)量和比較量 本單元主要是要銜接六上（第十一冊(cè)）第10單元比值的觀念。但這些教材內(nèi)容都是由乘法和除法演化的觀念而來(lái)的。因此，要學(xué)習(xí)本單元時(shí)，必須先回到乘、除法的基本觀念，才能幫助於學(xué)生理解本單

11、元。 本單元分為三層意義：第一層問(wèn)題的意義，其問(wèn)題如下： 小明有六個(gè)蘋果，小英有兩個(gè)，小明是小英的幾倍？ 紅緞帶8公尺，綠緞帶2公尺，紅是綠色緞帶的幾倍？ 以上的量都是有具體的量，以後者為1，也就是基準(zhǔn)量，比前者（比較量）比了幾次，得到的答案皆為所比較之後的次數(shù)，也就是比值。 第二層次的意義，其問(wèn)題型態(tài)如下：一隻青蛙有兩隻腿，六隻青蛙幾隻腿？一盤子裝5個(gè)蘋果，5個(gè)盤子有多少蘋果？ 以上每個(gè)問(wèn)題出現(xiàn)兩個(gè)量，其一是為基準(zhǔn)量，另一則把基準(zhǔn)量當(dāng)成1時(shí)，比較之次數(shù)（比值）。因此，所列之乘式，被乘數(shù)表示為基準(zhǔn)量，乘數(shù)表示比值，所得之?dāng)?shù)則為比較量。 第三層次的意義，其問(wèn)題如下：我的錢是你的三倍，我有30元，

12、你有多少元？我的年齡是弟弟的5倍，我是25歲，弟是幾歲？ 以上的問(wèn)題都是知道倍數(shù)所呈現(xiàn)的量，要求另一數(shù)1倍的量。因此，倍數(shù)所呈現(xiàn)的量為比較量，比較之次數(shù)為比值。所以比較量除比值，即可找到基準(zhǔn)量，也就是1倍的量有多少。 從本單元基準(zhǔn)量和比較量的三層意義，我們可以了解它與乘、除法的概念關(guān)係密切。因此，教學(xué)前先復(fù)習(xí)乘、除法的舊經(jīng)驗(yàn)，之後導(dǎo)入本單元。母子和 本單元主要連結(jié)基準(zhǔn)量和比較量，基準(zhǔn)量又叫母數(shù)，比較量又叫子數(shù)，基準(zhǔn)量與比較量的和就叫母子和。 主要內(nèi)容：母數(shù)與子數(shù)為整數(shù)倍、小數(shù)倍、分?jǐn)?shù)倍和百分?jǐn)?shù)等關(guān)係。一求母子和 由母子和求母數(shù)或子數(shù) 其問(wèn)題類型如下：哥哥的年齡是弟弟年兩倍，哥哥是24歲，請(qǐng)問(wèn)倆人共幾歲？（整數(shù)倍）紅緞帶比綠緞帶多，紅緞帶為50元，請(qǐng)問(wèn)兩條緞帶共多少元？（小數(shù)倍） 我的錢是你的倍，我是9元，那我們共多少錢？（分?jǐn)?shù)倍）小明存款3000元，銀行利率5，請(qǐng)問(wèn)一年後小明可領(lǐng)回多少元？（百分?jǐn)?shù)）甲、乙共350元，甲是乙的1.5倍，請(qǐng)問(wèn)乙是多少元？（求母數(shù)） 學(xué)生若未明確了解單位數(shù)、量，而直接以公式運(yùn)算，學(xué)生就只將答案計(jì)算出來(lái)，卻不知其具體意義。在實(shí)施本單元教學(xué)時(shí)，老師應(yīng)先確定學(xué)生對(duì)整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)倍的單