二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的復(fù)數(shù)解法

1、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的復(fù)數(shù)解法王 捷 （煙臺南山學(xué)院 山東煙臺 265713）摘要： 在二階常系數(shù)非齊次線性微分方程中，非齊次項(xiàng)的形式為或的情況占大多數(shù)，對于這類微分方程，使用復(fù)數(shù)法求特解，可使計(jì)算量減少將近一半.關(guān)鍵詞：微分方程；非齊次項(xiàng)；特解；復(fù)數(shù)法.中圖分類號： 010 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：BThe use of complex number methods for Second-order constant coefficient Non-homogeneous linear differential equationWangjie(Yantai nanshan University,

2、 Yantai,Shandong, 265713)Abstract：In the second-order constant coefficient non-homogeneous linear differential equation, it accounts for the majority shen non-homogeneous terms are and . For this type of differential equations, if methods of complex number are using special solution, the calculation

3、 of the amount reduced by nearly half.Keywords：differential eguation；Of non-homogeneous；particular solution；methods of complex number. 在高等數(shù)學(xué)（同濟(jì)五版）微分方程一章中，對于非齊次項(xiàng)為的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程，特解的求法非常繁瑣，即便遇到或，即 或的情況，也得將其視為 或 的情況進(jìn)行求解.即特解的形式都須設(shè)為的形式，按不是特征方程的根或是特征方程的根分別取和.然而，在二階常系數(shù)非齊次線性微分方程中，非齊次項(xiàng)形如 或 的情況占大多數(shù).事實(shí)上，對于這類微分

4、方程，我們可以用復(fù)數(shù)法進(jìn)行求解.下面來介紹這種方法.設(shè)二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的非齊次項(xiàng)為則可看成的實(shí)部，可看成的虛部。再設(shè)非齊次項(xiàng)為 和的微分方程的特解分別為和，則以為非齊次項(xiàng)的微分方程的特解可表示為由歐拉公式可變形為于是二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的特解就可設(shè)為的形式，其中，按不是特征方程的根或是特征方程的根分別取和.代入微分方程后，所求的特解一定為這種形式.對于非齊次項(xiàng)為的微分方程，特解取，對于非齊次項(xiàng)為的微分方程，特解取，下面通過例子來說明這種方法的應(yīng)用.例1 求微分方程的一個(gè)特解.（高等數(shù)學(xué)同濟(jì)五版第315頁例3）解 將非齊次項(xiàng)看成的實(shí)部，不是特征方程的根，故特解設(shè)為將其代入所給的方程，消去，得比較兩端系數(shù)，得解得 代入所設(shè)特解，得去掉虛部，留下實(shí)部，求得一個(gè)特解為例2 求的通解.（高等數(shù)學(xué)同濟(jì)五版第317頁習(xí)題12-9，1-(5)）解 將非齊次項(xiàng)看成的虛部，所給方程的特征方程為齊次方程的通解為非齊次項(xiàng)中是特征方程的單根，故可設(shè)代入原方程并消去，得 ，解得.于是原方程的一個(gè)特解為當(dāng)非齊次項(xiàng)為且和均不為時(shí)，可將非齊次項(xiàng)拆成兩項(xiàng)后，應(yīng)用疊加原理使用復(fù)數(shù)法求解，但起不到簡化計(jì)算量的作用.參考