二次根式的乘除法

1、二次根式的乘除法二. 重點(diǎn)、難點(diǎn)：1. 重點(diǎn)：（1）掌握二次根式乘、除法法則，并會(huì)運(yùn)用法則進(jìn)行計(jì)算；（2）能夠利用二次根式乘、除法法則對(duì)根式進(jìn)行化簡(jiǎn)；（3）能夠?qū)⒍胃交?jiǎn)成“最簡(jiǎn)二次根式”。2. 難點(diǎn)：（1）理解最簡(jiǎn)二次根式的概念；（2）能夠運(yùn)用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)、二次根式的除法法則將二次根式化簡(jiǎn)成“最簡(jiǎn)二次根式”。三. 知識(shí)梳理：1. 二次根式的乘法兩個(gè)二次根式相乘，把被開(kāi)方數(shù)相乘，根指數(shù)不變，即（0，0）。說(shuō)明：（1）法則中、可以是單項(xiàng)式，也可以是多項(xiàng)式，要注意它們的取值范圍，、都是非負(fù)數(shù)；（2）（0，0）可以推廣為（0，0）； （0，0，0，0）。（3）等式（0，0）也可以倒過(guò)來(lái)使

2、用，即（0，0）。也稱(chēng)“積的算術(shù)平方根”。它與二次根式的乘法結(jié)合，可以對(duì)一些二次根式進(jìn)行化簡(jiǎn)。2. 二次根式的除法兩個(gè)二次根式相除，把被開(kāi)方數(shù)相除，根指數(shù)不變，即（0，0）。說(shuō)明：（1）法則中、可以是單項(xiàng)式，也可以是多項(xiàng)式，要注意它們的取值范圍，0，在分母中，因此0；（2）（0，0）可以推廣為（0，0，0）；（3）等式（0，0）也可以倒過(guò)來(lái)使用，即（0，0）。也稱(chēng)“商的算術(shù)平方根”。它與二根式的除法結(jié)合，可以對(duì)一些二次根式進(jìn)行化簡(jiǎn)。3. 最簡(jiǎn)二次根式一個(gè)二次根式如果滿足下列兩個(gè)條件：（1）被開(kāi)方數(shù)中不含能開(kāi)方開(kāi)得盡的因數(shù)或因式；（2）被開(kāi)方數(shù)中不含分母。這樣的二次根式叫做最簡(jiǎn)二次根式。說(shuō)明：（

3、1）這兩個(gè)條件必須同時(shí)滿足，才是最簡(jiǎn)二次根式；（2）被開(kāi)方數(shù)若是多項(xiàng)式，需利用因式分解法把它們化成乘積式，再進(jìn)行化簡(jiǎn)；（3）二次根式化簡(jiǎn)到最后，二次根式不能出現(xiàn)在分母中，即分母中要不含二次根式?！镜湫屠}】例1. 求下列式子中有意義的x的取值范圍。（1）（2）分析：此題涉及二次根式的乘法、除法公式的正確應(yīng)用，特別注意公式應(yīng)用的范圍。 （a0，b0）；=（a0，b0）。解：（1）+10，2-0。解得-1，2，即-12。（2）0，3->0。解得0，< 3，即0<3。例2. 計(jì)算：（1）；（2）；（3）；（4）。分析：直接運(yùn)用二次根式的乘法進(jìn)行計(jì)算，把它們的被開(kāi)方數(shù)相乘，根指數(shù)不變

4、，如果積能開(kāi)方一定要開(kāi)方。解：（1）=；（2）=6；（3）=；（4）=。例3. 化簡(jiǎn)：（1）；（2）；（3）；（4）。分析：直接運(yùn)用公式（0，0）化簡(jiǎn)即可，盡可能將被開(kāi)方數(shù)的因式寫(xiě)成平方的形式。解：（1）=15；（2）=6；（3）=20；（4）=。例4. 計(jì)算：（1）；（2）；（3）；（4）。分析：利用（0，0）對(duì)二次根式進(jìn)行乘法計(jì)算，要注意當(dāng)結(jié)果仍然是二次根式時(shí)，應(yīng)盡量化簡(jiǎn)。（4）中的隱含條件是0，0。解：（1）=；（2）=；（3）=-39；（4）=。例5. 化簡(jiǎn)：（1）；（2）；（3）；（4）。分析：利用（0，0）可把被開(kāi)方數(shù)比較復(fù)雜的二次根式化簡(jiǎn)。方法是先將被開(kāi)方數(shù)進(jìn)行質(zhì)因數(shù)分解，化為積

5、的形式，如果根號(hào)內(nèi)有開(kāi)得盡方的因式就移到根號(hào)外面來(lái)，用它的算術(shù)平方根來(lái)代替，從而達(dá)到化簡(jiǎn)的目的。解：（1）=；（2）=；（3）=504；（4）=例6. 化簡(jiǎn)：（1）（0）；（2）（0）；（3）（0）；（4）（0，）。分析：對(duì)于被開(kāi)方數(shù)是多項(xiàng)式的二次根式，應(yīng)把多項(xiàng)式分解因式然后按照被開(kāi)方數(shù)是單項(xiàng)式的方法進(jìn)行分解。為使運(yùn)算簡(jiǎn)便，應(yīng)盡量地應(yīng)用運(yùn)算律和乘法公式來(lái)進(jìn)行計(jì)算，運(yùn)算得到的結(jié)果必須進(jìn)行化簡(jiǎn)。解：（1）=；（2）=；（3）=（4）=。例7. 計(jì)算：（1）；（2）；（3）；（4）。分析：直接運(yùn)用（0，0）進(jìn)行計(jì)算，運(yùn)算后結(jié)果要化簡(jiǎn)。解：（1）=2；（2）=3；（3）=2；（4）=。例8. 化簡(jiǎn)：（

6、1）；（2）；（3）；（4）。分析：運(yùn)用公式（0，0）化簡(jiǎn)，即商的算術(shù)平方根等于被除式的算術(shù)平方根除以除式的算術(shù)平方根。要注意的是，當(dāng)被開(kāi)方數(shù)是帶分?jǐn)?shù)時(shí)，要先把它化成假分?jǐn)?shù)。解：（1）=；（2）=；（3）=；（4）=。例9. 計(jì)算：（1）；（2）；（3）；（4）。分析：二次根式的除法可以轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算。對(duì)于多個(gè)二次根式相除的情況，應(yīng)按照題中指定的順序進(jìn)行計(jì)算，有括號(hào)的先算括號(hào)里面的，沒(méi)有括號(hào)的，從左往右依次計(jì)算，結(jié)果注意化簡(jiǎn)，數(shù)字應(yīng)放在字母前面。解：（1）=；（2）=（3）=；（4）=。例10. 把下列根號(hào)外的因式移到根號(hào)內(nèi)（1）；（2）。分析：把根號(hào)外的因式內(nèi)移到根號(hào)內(nèi)，是指將根號(hào)外的非負(fù)因

7、數(shù)或非負(fù)因式平方后移到根號(hào)內(nèi)，并與根號(hào)內(nèi)的因數(shù)或因式相乘。解：（1）=（2） 點(diǎn)撥：因式內(nèi)移，最容易發(fā)生符號(hào)錯(cuò)誤。因此內(nèi)移時(shí)，一定要認(rèn)準(zhǔn)非負(fù)因數(shù)或因式，保證內(nèi)移時(shí)，不改變根式的大小。如（1）題中被開(kāi)放數(shù)，根號(hào)外面的x也是非負(fù)的，內(nèi)移后根號(hào)外應(yīng)沒(méi)有負(fù)號(hào)；（2）題因?yàn)楸婚_(kāi)方數(shù)0，所以0，所以0要把負(fù)號(hào)留在根號(hào)外面。例11. 去掉下列各式分母中的根號(hào)：分析：（1）分母=，分子、分母同乘即可去掉分母中的根號(hào)； （2）分母，分子、分母同乘即可去掉分母中的根號(hào)；（3）分子、分母同乘即可去掉分母中的根號(hào)；（4）將分子分解后，直接與分母約分，從而化去分母解：（1）（2）（3）=（4）點(diǎn)撥：去掉分母中的根號(hào)，通

8、常是分母有理化。分母有理化時(shí)，應(yīng)結(jié)合題目的具體特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)姆椒?。?dāng)分子或分母可以分解因式，并且分解后的因式能夠約分的，最好不要直接分母有理化，待約分后再相機(jī)行事?！灸M試題】（答題時(shí)間：30分鐘）一. 填空題：1. 等式成立的條件是 .2. 計(jì)算：（1） ； （2） .（3） ； （4） .3. 化簡(jiǎn)：（1） ； （2） .4. 計(jì)算：（1） ；（2） .二. 選擇題：5. 把化簡(jiǎn)的結(jié)果應(yīng)是（ ）A. B. C. D. 6. 下列計(jì)算中，正確的是（ ）A. B. C. D. 7. 如果，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 8. 下列二次根式中，最簡(jiǎn)二次根式是（ ）A. B. C. D. 三. 解答題：9. 計(jì)算：（1） （2） （3）（4） （5） （6）10. 化簡(jiǎn)：（1） （2） （3） （4） 11. 已知：求的值。【試題答案】一. 填空題。1. ；2. （1）20；（2）；