舉一反三六年級(jí)第周乘法和加法原理

1、第二十六周 乘法和加法原理專題簡(jiǎn)析：在做一件事情時(shí)，要分幾步完成，而在完成每一步時(shí)又有幾種不同的方法，要知道完成這件事一共有多少種方法，就用乘法原理來(lái)解決。做一件事時(shí)有幾類不同的方法，而每一類方法中又有幾種可能的做法就用加法原理來(lái)解決。例題1：由數(shù)字0，1，2，3組成三位數(shù)，問：可組成多少個(gè)不相等的三位數(shù)？可組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？在確定組成三位數(shù)的過(guò)程中，應(yīng)該一位一位地去確定，所以每個(gè)問題都可以分三個(gè)步驟來(lái)完成。要求組成不相等的三位數(shù)，所以數(shù)字可以重復(fù)使用。百位上不能取0，故有3種不同的取法：十位上有4種取法，個(gè)位上也有4種取法，由乘法原理共可組成3×4×4=48

2、個(gè)不相等的三位數(shù)。要求組成的三位數(shù)沒有重復(fù)數(shù)字，百位上不能取0，有三種不同的取法，十位上有三種不同的取法，個(gè)位上有兩種不同的取法，由乘法原理共可組成3×3×2=18個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)。練習(xí)1：1、有數(shù)字1，2，3，4，5，6共可組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的四位奇數(shù)？2、在自然數(shù)中，用兩位數(shù)做被減數(shù)，一位數(shù)做減數(shù)，共可組成多少個(gè)不同的減法算式？3、由數(shù)字1，2，3，4，5，6，7，8，可組成多少個(gè)：三位數(shù)；三位偶數(shù)；沒有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)；百位是8的沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)；百位是8的 沒有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)。例題2：有兩個(gè)相同的正方體，每個(gè)正方體的六個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3

3、，4，5，6。將兩個(gè)正方體放在桌面上，向上的一面數(shù)字之和為偶數(shù)的有多少種情形？要使兩個(gè)數(shù)字之和為偶數(shù)，就需要這兩個(gè)數(shù)字的奇、偶性相同，即兩個(gè)數(shù)字同為奇數(shù)或偶數(shù)。所以，需要分兩大類來(lái)考慮：兩個(gè)正方體向上一面同為奇數(shù)的共有3×3=9（種）不同的情形；兩個(gè)正方體向上一面同為偶數(shù)的共有3×3=9（種）不同的情形；兩個(gè)正方體向上一面同為偶數(shù)的共有3×3+3×3=18（種）不同的情形。練習(xí)2：1、在11000的自然數(shù)中，一共有多少個(gè)數(shù)字1？2、在1500的自然數(shù)中，不含數(shù)字0和1的數(shù)有多少個(gè)？3、十把鑰匙開十把鎖，但不知道哪把鑰匙開哪把鎖，問最多試開多少次，就能把鎖

4、和鑰匙配起來(lái)？4、由數(shù)字0，1，2，3，4可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)？例題3：書架上層有6本不同的數(shù)學(xué)書，下層有5本不同的語(yǔ)文書，若任意從書架上取一本數(shù)學(xué)書和一本語(yǔ)文書，有多少種不同的取法？從書架上任取一本數(shù)學(xué)書和一本語(yǔ)文書，可分兩個(gè)步驟完成，第一步先取數(shù)學(xué)書，有6種不同的方法，而這6種的每一種取出后，第二步再取語(yǔ)文書，又有5種不同的取法，這樣共有6個(gè)5種取法，應(yīng)用乘法計(jì)算6×5=30（種），有30種不同的取法。練習(xí)3：1、商店里有5種不同的兒童上衣，4種不同的裙子，媽媽準(zhǔn)備為女兒買上衣一件和裙子一條組成一套，共有多少種不同的選法？2、小明家到學(xué)校共有5條路可走，從學(xué)校到少

5、年宮共有3條路可走。小明從家出發(fā)，經(jīng)過(guò)學(xué)校然后到少年宮，共有多少種不同的走法？3、張師傅到食堂吃飯，主食有2種，副食有6種，主、副食各選一種，他有幾種不同的選法？例題4：在2，3，5，7，9這五個(gè)數(shù)字中，選出四個(gè)數(shù)字，組成被3除余2的四位數(shù)，這樣的四位數(shù)有多少個(gè)？從五個(gè)數(shù)字中選出四個(gè)數(shù)字，即五個(gè)數(shù)字中要去掉一個(gè)數(shù)字，由于原來(lái)五個(gè)數(shù)字相加的和除以3余2，所以去掉的數(shù)字只能是3或9。去掉的數(shù)字為3時(shí)，即選2，5，7，9四個(gè)數(shù)字，能排出4×3×2×1=24（個(gè)）符合要求的數(shù)，去掉的數(shù)字為9時(shí)也能排出24個(gè)符合要求得數(shù)，因此這樣的四位數(shù)一共有24+24=48（個(gè)）練習(xí)4：

6、1、在1，2，3，4，5這五個(gè)數(shù)字中，選出四個(gè)數(shù)字組成被3除余2的四位數(shù)，這樣的四位數(shù)有多少個(gè)？2、在1，2，3，4，5這五個(gè)數(shù)字中，選出四個(gè)數(shù)字組成能被3整除的四位數(shù)，這樣的四位數(shù)有多少個(gè)？3、在1，4，5，6，7這五個(gè)數(shù)字中，選出四個(gè)數(shù)字組成被3除余1的四位數(shù)，這樣的四位數(shù)有多少個(gè)？例題5：從學(xué)校到少年宮有4條東西的馬路和3條南北的馬路相通（如圖），小明從學(xué)校出發(fā)到少年宮（只許向東或向南行進(jìn)），最后有多少種走法？為了方便解答，把圖中各點(diǎn)用字母表示如圖。根據(jù)小明步行規(guī)則，顯然可知由A到T通過(guò)AC邊上的各點(diǎn)和AN邊上的各點(diǎn)只有一條路線，通過(guò)E點(diǎn)有兩條路線（即從B點(diǎn)、D點(diǎn)來(lái)各一條路線），通過(guò)H點(diǎn)

7、有3條路線（即從E點(diǎn)來(lái)有二條路線，從G點(diǎn)來(lái)有一條路線），這樣推斷可知通過(guò)任何一個(gè)交叉點(diǎn)的路線總數(shù)等于通過(guò)該點(diǎn)左邊、上方的兩鄰接交叉點(diǎn)的路線的總和，因此，可求得通過(guò)S點(diǎn)有4條路線，通過(guò)F點(diǎn)有3條路線由此可見，由A點(diǎn)通過(guò)T點(diǎn)有10條不同的路線，所以小明從學(xué)校到少年宮最多有10種走法。練習(xí)5：1、從學(xué)校到圖書館有5條東西的馬路和5條南北的馬路相通（如圖）。李菊從學(xué)校出發(fā)步行到圖書館（只許向東或向南行進(jìn)），最多有多少種走法？2、某區(qū)的街道非常整齊（如圖），從西南角A處走到東北角B處，要求走最近的路，一共有多少種不同的走法？3、如圖有6個(gè)點(diǎn)，9條線段，一只小蟲從A點(diǎn)出發(fā)，要沿著某幾條線段爬到F點(diǎn)。行進(jìn)中

8、，同一個(gè)點(diǎn)或同一條線段只能經(jīng)過(guò)一次，這只小蟲最多有多少種不同的走法？答案：練11、 3×5×4×3180個(gè)2、 90×9810個(gè)3、 8×8×8512個(gè) 4×8×8256個(gè) 4×7×6168個(gè) 1×7×642個(gè) 1×3×618個(gè)練21、 9180+3192個(gè)2、 8+8×8+3×8×8264個(gè)3、 9+8+7+6+5+4+3+2+145次練31、 24個(gè) 2、 42個(gè) 3、 48個(gè) 48個(gè)練41、 48個(gè) 2、 24個(gè) 3、

9、72個(gè)練51、 12個(gè) 2、 18個(gè) 3、 30個(gè) 12個(gè)第27周 表面積與體積（一）專題簡(jiǎn)析：小學(xué)階段所學(xué)的立體圖形主要有四種長(zhǎng)方體、正方體、圓柱體和圓錐體。從平面圖形到立體圖形是認(rèn)識(shí)上的一個(gè)飛躍，需要有更高水平的空間想象能力。因此，要牢固掌握這些幾何圖形的特征和有關(guān)的計(jì)算方法，能將公式作適當(dāng)?shù)淖冃?，養(yǎng)成“數(shù)、形”結(jié)合的好習(xí)慣，解題時(shí)要認(rèn)真細(xì)致觀察，合理大膽想象，正確靈活地計(jì)算。在解答立體圖形的表面積問題時(shí)，要注意以下幾點(diǎn)：（1）充分利用正方體六個(gè)面 的面積都相等，每個(gè)面都是正方形的特點(diǎn)。（2）把一個(gè)立體圖形切成兩部分，新增加的表面積等于切面面積的兩倍。反之，把兩個(gè)立體圖形粘合到一起，減少的

10、表面積等于粘合面積的兩倍。（3）若把幾個(gè)長(zhǎng)方體拼成一個(gè)表面積最大的長(zhǎng)方體，應(yīng)把它們最小的面拼合起來(lái)。若把幾個(gè)長(zhǎng)方體拼成一個(gè)表面積最小的長(zhǎng)方體，應(yīng)把它們最大的面拼合起來(lái)。例題1：從一個(gè)棱長(zhǎng)10厘米的正方體木塊上挖去一個(gè)長(zhǎng)10厘米、寬2厘米、高2厘米的小長(zhǎng)方體，剩下部分的表面積是多少？這是一道開放題，方法有多種：按圖27-1所示，沿著一條棱挖，剩下部分的表面積為592平方厘米。 按圖27-2所示，在某個(gè)面挖，剩下部分的表面積為632平方厘米。 按圖27-3所示，挖通某兩個(gè)對(duì)面，剩下部分的表面積為672平方厘米。 練習(xí)1：1、從一個(gè)長(zhǎng)10厘米、寬6厘米、高5厘米的長(zhǎng)方體木塊上挖去一個(gè)棱長(zhǎng)2厘米的小正

11、方體，剩下部分的表面積是多少？2、把一個(gè)長(zhǎng)為12分米，寬為6分米，高為9分米的長(zhǎng)方體木塊鋸成兩個(gè)想同的小廠房體木塊，這兩個(gè)小長(zhǎng)方體的表面積之和，比原來(lái)長(zhǎng)方體的表面積增加了多少平方分米？3、在一個(gè)棱長(zhǎng)是4厘米的立方體上挖一個(gè)棱長(zhǎng)是1厘米的小正方體后，表面積會(huì)發(fā)生怎樣的變化？例題2：把19個(gè)棱長(zhǎng)為3厘米的正方體重疊起來(lái)，如圖27-4所示，拼成一個(gè)立體圖形，求這個(gè)立體圖形的表面積。要求這個(gè)復(fù)雜形體的表面積，必須從整體入手，從上、左、前三個(gè)方向觀察，每個(gè)方向上的小正方體各面就組合成了如下圖形（如圖27-5所示）。而從另外三個(gè)方向上看到的面積與以上三個(gè)方向的面積是相等的。整個(gè)立體圖形的表面積可采用（S上

12、+S左+S前）×2來(lái)計(jì)算。（3×3×9+3×3×8+3×3×10）×2=（81+72+90）×2=243×2=486（平方厘米） 答：這個(gè)立體圖形的表面積是486平方厘米。練習(xí)2：1、用棱長(zhǎng)是1厘米的立方體拼成圖27-6所示的立體圖形。求這個(gè)立體圖形的表面積。2、一堆積木（如圖27-7所示），是由16塊棱長(zhǎng)是2厘米的小正方體堆成的。它們的表面積是多少平方厘米？3、一個(gè)正方體的表面積是384平方厘米，把這個(gè)正方體平均分割成64個(gè)相等的小正方體。每個(gè)小正方體的表面積是多少平方厘米？例題3：把兩個(gè)長(zhǎng)、

13、寬、高分別是9厘米、7厘米、4厘米的相同長(zhǎng)方體，拼成一個(gè) 大長(zhǎng)方體，這個(gè)大長(zhǎng)方體的表面積最少是多少平方厘米？把兩個(gè)相同的大長(zhǎng)方體拼成一個(gè)大廠房體，需要把兩個(gè)相同面拼合，所得大廠房體的表面積就減少了兩個(gè)拼合面的面積。要使大長(zhǎng)方體的表面積最小，就必須使兩個(gè)拼合面的面積最大，即減少兩個(gè)9×7的面。（9×9+9×4+7×4）×2×29×7×2=（63+36+28）×4126=508126=382（平方厘米） 答：這個(gè)大廠房體的表面積最少是382平方厘米。練習(xí)3：1、把底面積為20平方厘米的兩個(gè)相等的正方體拼成一個(gè)

14、長(zhǎng)方體，長(zhǎng)方體的表面積是多少？2、將一個(gè)表面積為30平方厘米的正方體等分成兩個(gè)長(zhǎng)方體，再將這兩個(gè)長(zhǎng)方體拼成一個(gè)大長(zhǎng)方體。求大長(zhǎng)方體的表面積是多少。3、用6塊（如圖27-8所示）長(zhǎng)方體木塊拼成一個(gè)大長(zhǎng)方體，有許多種做法，其中表面積最小的是多少平方厘米？例題4：一個(gè)長(zhǎng)方體，如果長(zhǎng)增加2厘米，則體積增加40立方厘米；如果寬增加3厘米，則體積增加90立方厘米；如果高增加4厘米，則體積增加96立方里，求原長(zhǎng)方體的表面積。我們知道：體積=長(zhǎng)×寬×高；由長(zhǎng)增加2厘米，體積增加40立方厘米，可知寬×高=40÷2=20（平方厘米）；由寬增加3厘米，體積增加90立方厘米，可

15、知長(zhǎng)×高=90÷3=30（平方厘米）；由高增加4厘米，體積增加96立方厘米，可知長(zhǎng)×寬=96÷4=24（平方厘米）。而長(zhǎng)方體的表面積=（長(zhǎng)×寬+長(zhǎng)×高+寬×高）×2=（20+30+24）×2=148（平方厘米）。即40÷2=20（平方厘米）90÷3=30（平方厘米）96÷4=24（平方厘米）（30+20+24）×2=74×2=148（平方厘米） 答：原 長(zhǎng)方體的表面積是148平方厘米。練習(xí)4：1、一個(gè)長(zhǎng)方體，如果長(zhǎng)減少2厘米，則體積減少48立方厘米；如果寬

16、增加5厘米，則體積增加65立方厘米；如果高增加4厘米，則體積增加96立方厘米。原來(lái)廠房體的表面積是多少平方厘米？2、一個(gè)廠房體木塊，從下部和上部分別截去高為3厘米和2厘米的長(zhǎng)方體后，便成為一個(gè)正方體，其表面積減少了120平方厘米。原來(lái)廠房體的體積是多少立方厘米？3、有一個(gè)廠房體如下圖所示，它的正面和上面的面積之和是209。如果它的長(zhǎng)、寬、高都是質(zhì)數(shù)，這個(gè)長(zhǎng)方體的體積是多少？例題5：如圖27-10所示，將高都是1米，底面半徑分別為1.5米、1米和0.5米的三個(gè)圓柱組成一個(gè)物體。求這個(gè)物體的表面積。 如果分別求出三個(gè)圓柱的表面積，再減去重疊部分的面積，這樣計(jì)算比較麻煩。實(shí)際上三個(gè)向上的面的面積和恰

17、好是大圓柱的一個(gè)底面積。這樣，這個(gè)物體的表面積就等于一個(gè)大圓柱的表面積加上中、小圓柱的側(cè)面積。3.14×1.5×1.5×2+2×3.14×1.5×1+2×3.14×1×1+2×3.14×0.5×1=3.14×（4.5+3+2+1）=3.14×10.5=32.97（平方米）答：這個(gè)物體的表面積是32.97平方米。練習(xí)5：1、一個(gè)棱長(zhǎng)為40厘米的正方體零件（如圖27-11所示）的上、下兩個(gè)面上，各有一個(gè)直徑為4厘米的圓孔，孔深為10厘米。求這個(gè)零件的表面積。2

18、、用鐵皮做一個(gè)如圖27-12所示的工件（單位：厘米），需用鐵皮多少平方厘米？3、如圖27-13所示，在一個(gè)立方體的兩對(duì)側(cè)面的中心各打通一個(gè)長(zhǎng)方體的洞，在上、下側(cè)面的中心打通一個(gè)圓柱形的洞。已知立方體棱長(zhǎng)為10厘米，側(cè)面上的洞口是邊長(zhǎng)為4厘米的正方形，上、下側(cè)面的洞口是直徑為4厘米的圓，求該立方體的表面積和體積（取3.14）。 答案：練11、 切下一塊后，切口處的表面減少了前、后、上面3個(gè)1×1的正方形，新增加了左右下面三個(gè)1×1的正方形，所以表面積大小不變。2、 4×4×62×2×292平方厘米3、 中心挖去的洞的體積是：12

19、5;3×313×27立方厘米，挖洞后木塊的體積：33720立方厘米，中心挖洞后每面增加的面積是12×4123平方厘米，挖洞后木塊的表面積：（32+3）×672平方厘米。練21、 從三個(gè)不同的方向看，得到圖答271： 從上往下看 從前往后看 從左往右看 （1×1×12+1×1×8+1×1×7）×254平方厘米2、 （2×2×9+2×2×9+2×2×7）×2200平方厘米3、 因?yàn)?44×4×4，所以

20、大正方形的棱長(zhǎng)等于小正方形棱長(zhǎng)的4被，那么大正方體的表面積是小正方體的4×416倍，小正方體的表面積是：384÷1624平方厘米練31、 將正方體分為兩個(gè)長(zhǎng)方體，表面積就增加了2個(gè)30÷615平方厘米，拼成大正方體，表面積將減少兩個(gè)拼合面的面積，正好是1個(gè)30÷615平方厘米，所以大長(zhǎng)方體的表面積是30+30+635平方厘米。2、 要是表面積最小，就要盡可能地把大的面拼合在一起。表面積最小的拼法有如圖答272兩種：表面積都是（3×3+3×4×2）×266平方厘米。3、 設(shè)大長(zhǎng)方體的寬和高為x分米，長(zhǎng)為2x分米，左面和右面的面積就是x2平方分米。其余的面積為2x2平方分米，根據(jù)題意，大長(zhǎng)方體的表面積是：8x2+8×2x2600 x5大長(zhǎng)方體的體積是：5×5×2×5250立