計算機控制與仿真技術(shù)(第二版)-第3章控制系統(tǒng)仿.

1、第3章控制系統(tǒng)仿真原理及算法通過本章學(xué)習(xí)，應(yīng)該掌握以下內(nèi)容:數(shù)值積分法的基本原理及其主要內(nèi)容線性系統(tǒng)仿真原理及應(yīng)用離散相似法仿真基本原理釆樣控制系統(tǒng)的仿真方法3.1數(shù)值積分法3.1.1 概述1. 數(shù)字仿真及仿真工具控制系統(tǒng)數(shù)字仿真是利用數(shù)字計算機作為仿真工具， 采用各種數(shù)值算法求解系統(tǒng)運動的微分方程，從而得到被 控物理量的運動規(guī)律。系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型大多為常微分方程的表達形式，實際應(yīng) 用中通過計算機采用數(shù)值計算的方法來求取其數(shù)值解。目 前高級仿真軟件（如MATLAB）已提供了功能十分強大、 且能保證相應(yīng)精度的數(shù)值求解功能函數(shù)，使用者僅需按規(guī) 定的語言規(guī)格調(diào)用即可。MATLAB集成仿真環(huán)境包括設(shè)計、分

2、析、編制系統(tǒng)模 型，編寫仿真程序，創(chuàng)建仿真模型，運行、控制、觀察仿 真實驗，記錄仿真數(shù)據(jù)，分析仿真結(jié)果，校驗仿真模型等, 給控制系統(tǒng)的仿真處理帶來極大的方便。2. 常微分方程的數(shù)值解法數(shù)值積分法是利用數(shù)字計算機構(gòu)造n次數(shù)值積分運算， 對系統(tǒng)微分方程進行數(shù)值求解。、常用的有歐拉法、梯形 法和龍格一庫塔法等形式。3.1.2 歐拉（Euler）法4#當(dāng)h很小時，可認為造成的誤差是允許的。歐拉公式:九+i =yk +"（，%）#2.歐拉法的特點歐拉法具備以下特點：（1）采用折線代替實際曲線，也稱之為折線法。（2）計算簡單，容易實現(xiàn)。（3）只要給定初始值即可開始進行遞推運算，不需要 其它信息，

3、屬于自啟動模式。（4）是一種近似處理，存在計算誤差，系統(tǒng)計算精度 較低。#3.1.3梯形法1. 梯形公式為了彌補歐拉法計算精度較低的不足，可采用梯形面 積公式來代替曲線下的定積分計算，如圖32所示。處理方法是采用歐拉公式進行預(yù)報，采川梯形公式進行校正。 即：嚴知】=yk + hf（tk, yk ）兒+i =兒+!加/（如兒）+ "知1$鐵+|）2. 梯形法的特點（1）用梯形代替矩形計算積分面積，計算精度要高于歐 拉法。、（2）采用預(yù)報一校正公式，計算量要比歐拉法多一倍, 計算速度較慢。（3）梯形公式中的右端函數(shù)含有未知數(shù)，不能直接計 算左端的變量值，是一種隱式處理，要利用迭代法求解。

4、6h兒+1 =兒 +-（1 +2）k =/©，兒） 心=M +九兒+砒）2.四階龍格一庫塔公式3.1.4 龍格一庫塔(RungeKutta)法 1二階龍格一庫塔公式畑=yk + 芻& + 2k2 4- 2k3 + kJ 6k =/（以，兒）.h h .2 = fk十廳，兒+匕k3 = f（rk +空'幾 + 護）S = f（tk +h. yk +hk3）3龍格一庫塔法的特點(1) 為單步法，后一步的計算僅利用前一步的計算結(jié)果，并且可自啟動。、(2) 改變仿真計算步長比較方便，可根據(jù)系統(tǒng)的精度要求而定。(3) 仿真計算量與仿真步長h的大小密切相關(guān)，h值越小計算精度越高，

5、但所需仿真時間也就越長。計算公式由兩部分組成：前一步計算結(jié)果Yk的值；Q至 tk+i時刻中對函數(shù)的積分，它是仿真步長h乘上各點斜率的加 權(quán)平均值。83.1.6仿真步長的選擇與系統(tǒng)的穩(wěn)定性系統(tǒng)微分方程數(shù)值解是否穩(wěn)定取決于是否滿足穩(wěn)定性要 求，不同數(shù)值積分公式具有不同的穩(wěn)定區(qū)域，仿真時要保 證穩(wěn)定就要合理選擇仿真步長，使微分方程的解處于穩(wěn)定 區(qū)域之中。選擇積分步長通常遵循以下兩個原則。(1) 使仿真系統(tǒng)的算法穩(wěn)定。(2) 使仿真系統(tǒng)具備一定的計算精度。一般情況是在保證系統(tǒng)穩(wěn)定性及計算精度的要求下，盡 可能選較大的仿真步長。工程系統(tǒng)中仿真處理采用四階龍 格庫塔法居多。9|3.2線性系統(tǒng)仿真原理3.2

6、.1面向傳遞函數(shù)的線性系統(tǒng)仿真在對線性連續(xù)系統(tǒng)進行單輸入單輸出的處理及仿真時， 可將用戶輸入的系統(tǒng)傳遞函數(shù)模型轉(zhuǎn)化為仿真計算模型， 再應(yīng)用數(shù)值積分法進行仿真。采用四階龍格一庫塔法可保證系統(tǒng)仿真具備一定的精度 和性能指標要求，并可重復(fù)運行，便于研究參數(shù)的變化對 系統(tǒng)動態(tài)性能的影響，運行過程直觀、形象，參數(shù)修改容 易。I1.仿真系統(tǒng)的典型結(jié)構(gòu)及算法描述r(s)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù):Y(s)HaU(s) a()sni hB(s) 14142.仿真程序的框圖設(shè)計編制的系統(tǒng)仿真程序應(yīng)盡可能方便用戶的使用，只要 將開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)的分母、分子各系數(shù)和反饋系數(shù)卩以及 初始條件輸入計算機，然后由仿真程序自動形

7、成開、閉環(huán)狀 態(tài)方程各矩陣，無需人工干預(yù)。在參考輸入r的作用下，系統(tǒng)輸出y隨時間變化，仿 真程序應(yīng)能按照給定的計算步長，釆用已確定的數(shù)值算法， 對系統(tǒng)中各狀態(tài)變量和輸出逐點變化情況進行求解運算。根據(jù)上述分析，可編制該仿真程序的框圖如圖34所示。圖34面 向傳遞 函數(shù)的 線性系 統(tǒng)仿真輸入開環(huán)傳曲分母、分f系如5輸入反幟負數(shù)V、狀態(tài)初始值Xo求開壞狀態(tài)方程做旳A.B.C求龍格一咋塔法備次斜軍Kj、j= 1.23,4E XhC輸入初始時何幾八終止時間f八 計外步長旅輸入toffi r（開始J求閉環(huán)狀態(tài)方程系數(shù)Ah =A-HvC3.2.2輸曲線c結(jié)束J13.向結(jié)構(gòu)圖的線性系統(tǒng)仿真框圖基本思想：是把一

8、個復(fù)雜的高階線性系統(tǒng)化成由若干 典型環(huán)節(jié)組成的模擬結(jié)構(gòu)圖表示，再將各典型環(huán)節(jié)參數(shù)以及 系統(tǒng)各環(huán)節(jié)的連接關(guān)系輸入計算機，利用仿真程序?qū)⑤斎氲?系統(tǒng)模型自動轉(zhuǎn)化為狀態(tài)空間描述，然后調(diào)用數(shù)值積分法求 解，并輸出仿真結(jié)果。程序框圖如圖36所示?？驁D中四階龍格一庫塔法求解可調(diào) 用典型的運行程序塊。14圖36 面向結(jié) 構(gòu)圖的 線性系 統(tǒng)的仿 真框圖3.3離散相似法3.3.1離散相似法原理1. 離散相似法的含義離散相似法是將一個連續(xù)系統(tǒng)模型離散化成與之等效 的離散模型的方法。這種方法按系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖建立仿真模型，計算過程中按 各環(huán)節(jié)離散相似模型處理，根據(jù)環(huán)節(jié)的輸入求輸出，既 可以對線性系統(tǒng)，也可以對非線性系統(tǒng)以

9、及采樣控制系 統(tǒng)等進行仿真處理。2. 連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的離散化 設(shè)連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程為：為狀態(tài)初始值««<««<仿序現(xiàn)3程實圖.3.真的框3經(jīng)拉式變換和拉式逆變換處理，可得狀態(tài)方程的解:X(f) = /X(0) + eA(tT)BU(T)dT右邊第一項代表初始條件的響應(yīng)，第二項為輸入u的響應(yīng)。 將其在特定時刻采樣，使川零階保持器，可得到離散化狀態(tài) 方程的解： X(伙+ 1)0 = 0 (T) X(kT) + m(T)U(kT)17檢入系統(tǒng)命救59巧£ i土按GPHF爭尤索他 初值 $"（）運Un.h.fQ.tf 綸入Wiif

10、i y0WD. = 0?結(jié)束釆用離散 相似法 對線性 系統(tǒng)進 行仿真 的程序 框圖如 圖37所 ZJ O««<3.4采樣系統(tǒng)仿真原理采樣系統(tǒng)被控對象是時間的連續(xù)函數(shù)，采用的控制器 為離散化的數(shù)字控制器，利用離散相似法可處理釆樣系 統(tǒng)的仿真。3.4.1采樣控制系統(tǒng)的算法描述1.系統(tǒng)差分方程的求解 典型的數(shù)字采樣控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖38所示。 該系統(tǒng)中包含兩種不同的環(huán)節(jié)，一種是數(shù)字化的控制 器，可方便地采用計算程序模擬，另一種是時間連續(xù)的 受控過程，經(jīng)過采樣器和保持器與數(shù)字控制器相連。圖38采樣控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖213.4.2采樣周期與仿真步長的關(guān)系仿真步長的選擇應(yīng)根據(jù)被控對象的結(jié)構(gòu)、釆樣周期的大小、保持器的類型、仿真精度和速度的要求等綜合 考慮。'丄通常有以下3種情況：1. 仿真步長T與采樣周期Ts相等2. 仿真步長T小于釆樣周期Ts3. 改變數(shù)字控制器的采樣間隔差分模型的轉(zhuǎn)換過程為：»原采樣系統(tǒng)數(shù)字控制器傳遞函數(shù)為D(z),采樣周期為Ts先將D(z)映射到S平面上相應(yīng)的零極點然后按新采樣周期TI再次映射到S平面上»求出新的數(shù)字控制器ir(z)最后根據(jù)穩(wěn)態(tài)值相等的原則確定DP)的增益22243.4.3采樣系統(tǒng) 的仿真應(yīng)用利用離散相似 法對采樣系統(tǒng) 進行仿真的處 理過程和程序 結(jié)構(gòu)如圖310