第七章 參數(shù)估計

1、第七章 參數(shù)估計1、點估計（1）設(shè)是總體X的未知參數(shù)，我們用樣本X1，X2，Xn構(gòu)成一個統(tǒng)計量來估計的估計量，求參數(shù)的估計量稱作點估計。（2）評價估計量優(yōu)劣的標(biāo)準(zhǔn)是：無偏性、有效性和相合性（一致性）。無偏性如果E()=，則稱是的無偏估計量，無偏性表示圍繞被估計參數(shù)而擺動。對于任何總體X，只要E（X）存在，則是E（X）的無偏估計量，只要D（X）存在，S2是D（X）的無偏估計量，例如，對于正態(tài)總體，是的無偏估計量，S2是的無偏估計量。注意用作為D（X）的估計量時，不具有無偏性，是D（X）的“偏小的”估計量，當(dāng)然，當(dāng)樣本容量很大時，作為D（X）相差無幾，另外，雖然S2是D（X）的無偏估計量，但S不是

2、的無偏估計量。有效性設(shè)和都是的無偏估計，如果，則稱比有效。例如，X1和都是EX的無偏估計量，當(dāng)n>1時，比X1有效，因為D(X1)=D(X), ,一致性如果對任意的，則稱是的一致估計量。由大數(shù)定律，是E(X) 一致的估計量，可以證明，S2和都是D（X）的一致估計量，S是的一致估計量。一致性保證當(dāng)樣本容量n很大時，以很大的概率接近，當(dāng)樣本容量n不大時，無偏性是點估計的基本要求，它保證對的估計只有隨機誤差，而沒有系統(tǒng)誤差。2、求估計量的常用方法：矩估計和最大似然估計1）矩估計法設(shè)總體X的分布函數(shù)為為待估計量，若X的k階原點矩為 這是m個方程的方程組，如果這個方程組可解出 （1）又設(shè)x1,x2

3、, ,x3是X的樣本值，用來估計E(Xk)(k=1,2,m)，將（1）中的E(Kk)用Ak代替，便得的估計量，這種方法稱為矩估計法。如果將上面的k階原點矩E（X1）換成k階中心矩EX-E（X）k，再用代替A，也稱為矩估計。設(shè)總體X的均值為E（X），方差D（X），則用估計E（X）；用樣本方差，估計D（X）。2）最大似然估計法對于連續(xù)型總體X，設(shè)X的概率密度為，其中是待估參數(shù)，對于給定的一組樣本值x1,x2,xn，把稱作樣本X1，X2，Xn的似然函數(shù)，在形式上，似然函數(shù)就是樣本的聯(lián)合密度，在這里，把x1,x2,xn看作常數(shù)，把待定參數(shù)看作L的自變量。對于離散型隨機變量X，設(shè)X的分布律為，對于給定的

4、一組樣本值，把稱作樣本的似然函數(shù)。如果似然函數(shù)在取到最大值，則稱分別是的最大似然估計值。當(dāng)L對的偏導(dǎo)數(shù)存在時，必須滿足下述方程組（1） （1）由于L與lnL同時達到最大值，也可以用方程組（2）代替 （2）并且后者常常比前一組方程簡單。求最大似然估計量的步驟：寫出；取對數(shù)；解方程組求出L（）的最大值點即為的最大似然估計量通常最大似然估計量具有一致性，但不一定是無偏的。注：若X1，X2，Xn是來自正態(tài)總體的一個簡單樣本，則是的最大似然估計，且是的最大似然估計。2、區(qū)間估計1）單個正態(tài)總體的均值與方差的區(qū)間估計設(shè)隨機變量X的分布中含有未知參數(shù)，對于給定的值a(0<a<1)，若統(tǒng)計量和滿足

5、，則稱隨機區(qū)間（）是的100（1-a）%的置信區(qū)間，和分別稱作置信上限，統(tǒng)稱作置信限，百分?jǐn)?shù)100（1-a）%稱作置信度。對于正態(tài)總體已知，求的置信區(qū)間取隨機變量，則的置信度為1-a的置信區(qū)間為其中是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的臨界值：未知，求的置信區(qū)間取隨機變量，則的置信度為1-a的置信區(qū)間為其中是t(n-1)分布的臨界值：。未知，求的置信區(qū)間取隨機變量，其中Vx2(n-1)，則有，的置信度為1-a的置信區(qū)間為2）兩個正態(tài)總體的均值差以及方差比的區(qū)間估計設(shè)有總體和的兩組相互獨立的樣本，容量分別為n1和n2，樣本均值、方差分別為和。當(dāng)和已知時，求差的置信區(qū)間取作為的點估計，且是無偏估計量則 由此得的置信度為1