第六章微分中值定理及其應(yīng)用

1、第六章 微分中值定理及其應(yīng)用 教學(xué)基本要求1.熟練掌握微分中值定理的條件和結(jié)論，通過舉缺少條件的反例來加深理解;2.熟練掌握三個定理之間的關(guān)系以及幾何上的一致性;LHospital法則并應(yīng)用極限計算4.熟練掌握用導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)單調(diào)性、極值、最大值和最小值的方法,尤其是函數(shù)的單調(diào)性、凸性等幾何性狀;5.熟練掌握Taylor公式，并理解Taylor公式作為Lagrange定理的推廣在多項式逼近中將起的作用;6.掌握中值定理和Taylor公式的應(yīng)用,提高應(yīng)用能力。7.會利用導(dǎo)數(shù)等分析手段準(zhǔn)確描繪函數(shù)圖象§ 1 拉格朗日定理和函數(shù)的單調(diào)性教學(xué)目的：熟練掌握羅爾中值定理，拉格朗日中值定理及其應(yīng)

2、用，掌握導(dǎo)數(shù)極限定理及意義，應(yīng)用，掌握函數(shù)單調(diào)的條件及應(yīng)用使學(xué)生掌握拉格朗日中值定理，領(lǐng)會其實質(zhì)，為微分學(xué)的應(yīng)用打好堅實的理論基礎(chǔ)教學(xué)內(nèi)容拉格朗日中值定理及其分析意義與幾何意義。掌握它的證明方法，了解它在微分中值定理中的地位。教學(xué)重點：函數(shù)為常函數(shù)的充要條件; 導(dǎo)數(shù)極限定理; 函數(shù)單調(diào)的條件一 羅爾定理與拉格朗日定理數(shù)學(xué)分析研究的基本對象是定義在實數(shù)集上函數(shù)的性質(zhì)，而研究函數(shù)性質(zhì)的最重要工具之一就是微分中值定理，微分中值定理主要指拉格朗日中值定理。極值概念：回憶極值的概念和可微極值點的必要條件:定理 ( Fermat ) 設(shè)函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)有定義，且在點可導(dǎo)，若點為的極值點，則必有 1羅爾中

3、值定理：若函數(shù)滿足如下條件：（i）在閉區(qū)間a，b上連續(xù)；（ii）在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)；（iii），則在（a，b）內(nèi)至少存在一點，使得（）=0（分析）由條件（i）知在a，b上有最大值和最小值，再由條件（ii）及（iii），應(yīng)用費馬定理便可得到結(jié)論。證明：因為在a,b上連續(xù)，所以有最大值與最小值，分別用M與m表示，現(xiàn)分兩種情況討論：(i)若M = m , 則 在a,b上必為常數(shù)，從而結(jié)論顯然成立。(ii)若m M，則因 (a)=(b)，使得最大值M與最小值m至少有一個在(a,b)內(nèi)某點處取得，從而是的極值點，由條件(ii) 在點處可導(dǎo)，故由費馬定理推知=0.注1：羅爾定理的幾何意義：在每一點都

4、可導(dǎo)的一段連續(xù)曲線上，如果曲線的兩端點高度相等，則至少存在一條水平切線。注2：習(xí)慣上把結(jié)論中的稱為中值，羅爾定理的三個條件是充分而非必要的，但缺少其中任何一個條件，定理的結(jié)論將不一定成立，見下圖：例如： -2-1012-101易見，F(xiàn)在x=-1不連續(xù)，在x=±1不可導(dǎo)，F(xiàn)(-2)F（2）, 即羅爾定理的三個條件均不成立，但是在（-2，2）內(nèi)存在點 , 滿足 注3：羅爾定理結(jié)論中的值不一定唯一，可能有一個，幾個甚至無限多個，例如：在 -1，1 上滿足羅爾定理的條件，顯然在（-1，1）內(nèi)存在無限多個 = 使得=0。2拉格朗日（Lagrange）中值定理：若函數(shù) 滿足如下條件：（i）在閉區(qū)

5、間上連續(xù)；（ii）在開區(qū)間()內(nèi)可導(dǎo)；則在（a，b）內(nèi)至少存在一點，使得（分析）羅爾定理是拉格朗日中值定理：（a）=(b)時的特殊情況，應(yīng)用羅爾定理證明此定理要構(gòu)造輔助函數(shù) ，使得滿足羅爾定理的條件（i）-(iii) 且，從而推得證明：作輔助函數(shù)顯然，F(xiàn)（a）=F(b)（=0），且F在a，b上滿足羅爾定理的另兩個條件，故存在點(a，b)，使得即 注1°羅爾定理是拉格朗日中值定理時的特例注2°幾何意義：在滿足拉格朗日中值定理條件的曲線上至少存在一點，該曲線在該點處的切線平行于曲線兩端點的連線AB，我們在證明中引入的輔助函數(shù)，正是曲線 與直線AB 之差，事實上，這個輔助函數(shù)的引

6、入相當(dāng)于坐標(biāo)系統(tǒng)原點在平面內(nèi)的旋轉(zhuǎn)，使在新坐標(biāo)系下，線段AB平行于新軸（F（a）=F（b）。注3°此定理的證明提供了一個用構(gòu)造函數(shù)法證明數(shù)學(xué)命題的精彩典范；同時通過巧妙地數(shù)學(xué)變換，將一般化為特殊，將復(fù)雜問題化為簡單問題的論證思想，也是數(shù)學(xué)分析的重要而常用的數(shù)學(xué)思維的體現(xiàn)。注4°拉格朗日中值定理的結(jié)論常稱為拉格朗日公式，它有幾種常用的等價形式，可根據(jù)不同問題的特點，在不同場合靈活采用：注5°拉格朗日中值定理的兩個條件彼此有關(guān)，并不彼此獨立，因為：在（a,b）可導(dǎo)可以推出在（a，b）連續(xù)，但反之不成立。把這兩個條件的“重疊”部分去掉，改成“函數(shù)在（a，b）可導(dǎo)且在a右

7、連續(xù)在b左連續(xù)”這樣，兩個條件互相獨立，但文字累贅且不便記憶，因此一般不這樣敘述。3、拉格朗日中值定理的幾個重要推論推論1 函數(shù)在區(qū)間I上可導(dǎo)且為I上的常值函數(shù). 證明： 任取兩點 （設(shè)），在區(qū)間 上應(yīng)用拉格朗日中值定理，存在 （）I，使得推論2 函數(shù)和在區(qū)間I上可導(dǎo)且推論3（導(dǎo)數(shù)極限定理）設(shè)函數(shù)在點的某鄰域U（）內(nèi)連續(xù)，在U°（）內(nèi)可導(dǎo)，且極限存在，則在點可導(dǎo)，且證明：分別按左右導(dǎo)數(shù)來證明上式成立（1） 任取，在上滿足拉格朗日中值定理條件，則存在，使得由于，因此當(dāng)時隨之有，對上式兩邊取極限，使得 （2）同理可得因為=存在，所以=，從而即注1°由推論3可知：在區(qū)間I上的導(dǎo)函

8、數(shù)在I上的每一點，要么是連續(xù)點，要么是第二類間斷點，不可能出現(xiàn)第一類間斷點。注2°導(dǎo)數(shù)極限定理適合于用來求分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。推論4 ( 導(dǎo)函數(shù)的介值性 ) 若函數(shù)在閉區(qū)間上可導(dǎo), 且 ( 證 )二、 可微函數(shù)單調(diào)性判別法：1 單調(diào)性判法：Th 1 設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo). 則在內(nèi)(或) 在內(nèi) ( 或 ).證明：必要性 充分性 在I 上遞增。例 設(shè) 討論它的單調(diào)區(qū)間。 解 -101-10 , 例 2 求函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間。Th 2 設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo). 則在內(nèi)嚴(yán)格( 或嚴(yán)格) ） 對 有 ( 或; ） 在內(nèi)任子區(qū)間上例 證明不等式 證明： 設(shè) 時 課后反思：需要下去總結(jié)的是兩個中值定理得聯(lián)系和

9、區(qū)別，以及兩個中值定理得各自應(yīng)用。特別注意：拉格朗日中值定理是本節(jié)乃至本章內(nèi)容的核心。 §2 柯西中值定理和不等式極限教學(xué)目的：熟練掌握柯西中值定理及其應(yīng)用，熟練掌握不定式極限，洛必達法則以及六種不定式極限的求解教學(xué)內(nèi)容：1.柯西中值定理;2.不定式極限與洛必達法則;3.不定式極限的求解教學(xué)重點：不定式極限與洛必達法則;一 柯西中值定理 定理(6.5) 設(shè) 、滿足P(i) 在區(qū)間 上連續(xù)，(ii) 在 內(nèi)可導(dǎo)(iii) 不同時為零;(iv) 則至少存在一點 使得           &

10、#160;                   柯西中值定理的幾何意義  若連續(xù)，曲線 由參數(shù)方程    給出，除端點外處處有不垂直于 軸的切線，則 上存在一點 P處的切線平行于割線 .。 注意曲線 AB在點 處的切線的斜率為 ，而弦 的斜率為 . 受此啟發(fā)，可以得出柯西中值定理的證明如下：由于， 類似于拉格朗日中值定理的證明，作一輔助函數(shù)容易驗證 滿足羅爾定理的條件且 根據(jù)羅爾定理，至

11、少有一點 使得 即 由此得注1：在柯西中值定理中，取 ，則公式（3）可寫成 這正是拉格朗日中值公式，而在拉格朗日中值定理中令 ，則 . 這恰恰是羅爾定理.注2: 設(shè) 在區(qū)間 I上連續(xù)，則 在區(qū)間 I上為常數(shù) ， . 二、利用拉格朗日中值定理研究函數(shù)的某些特性1、利用其幾何意義要點：由拉格朗日中值定理知：滿足定理條件的曲線上任意兩點的弦，必與兩點間某點的切線平行?？梢杂眠@種幾何解釋進行思考解題： 例1：設(shè) 在 （a ，b） 可導(dǎo)，且在 a，b 上嚴(yán)格遞增，若，則對一切有 。證明：記A（），對任意的x，記C（），作弦線AB，BC，應(yīng)用拉格朗日中值定理，使得分別等于AC，BC弦的斜率，但因嚴(yán)格遞增，

12、所以，從而注意到，移項即得， 2、利用其有限增量公式要點：借助于不同的輔助函數(shù)，可由有限增量公式進行思考解題：例2：設(shè)上連續(xù)，在（a，b）內(nèi)有二階導(dǎo)數(shù)，試證存在使得證：上式左端作輔助函數(shù)則上式= ，=，其中 3、作為函數(shù)的變形要點：若在a，b上連續(xù)，（a，b）內(nèi)可微，則在a，b上 （介于與之間）此可視為函數(shù)的一種變形，它給出了函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的一種關(guān)系，我們可以用它來研究函數(shù)的性質(zhì)。例3 設(shè)在上可導(dǎo)，并設(shè)有實數(shù)A0，使得在上成立，試證證明 ：在0，上連續(xù)，故存在 使得 =M于是M=A。故M=0，在0， 上恒為0。用數(shù)學(xué)歸納法，可證在一切（ i=1,2,）上恒有=0,所以=0, 。三、利用柯西中值定理

13、研究函數(shù)的某些特性 1. 證明中值點的存在性: 例 1 設(shè)函數(shù)在區(qū)間 上連續(xù), 在 內(nèi)可導(dǎo), 則 , 使得.證 在Cauchy中值定理中取 .例2 設(shè)函數(shù)在區(qū)間 上連續(xù), 在 內(nèi)可導(dǎo), 且有.試證明: .2. 證明恒等式: 例3 證明: 對, 有 .例4 設(shè)函數(shù)和可導(dǎo)且又 則 .證明 . 例5 設(shè)對, 有 , 其中是正常數(shù). 則函數(shù)是常值函數(shù). (證明 ).3. 證明不等式: 例6 證明不等式: 時, .例7 證明不等式: 對，有.4. 證明方程根的存在性: 證明方程 在 內(nèi)有實根.例8 證明方程 在 內(nèi)有實根.四 、小結(jié)本節(jié)課重點是拉格朗日中值定理及利用它研究函數(shù)的某些特性；難點是用輔助函數(shù)

14、解決問題的方法。1°拉格朗日中值定理的內(nèi)容及證明方法要熟練掌握。微分中值定理主要指拉格朗日中值定理，它的特例是羅爾定理，它的推廣是接下來我們要學(xué)習(xí)的柯西定理和泰勒定理。拉格朗日中值定理是溝通函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的橋梁，是數(shù)學(xué)分析的重要定理之一。2°構(gòu)造輔助函數(shù)法是應(yīng)用微分中值定理的基本方法。實際上，輔助函數(shù)法是轉(zhuǎn)化問題的一種重要手段，通過巧妙地數(shù)學(xué)變換，將一般問題化為特殊問題，將復(fù)雜問題化為簡單問題，這種論證思想也是數(shù)學(xué)分析的重要而常用的數(shù)學(xué)思維的體現(xiàn)。關(guān)于如何恰當(dāng)?shù)貥?gòu)造和選用輔助函數(shù)問題，請同學(xué)們結(jié)合第三部分的題目仔細(xì)體會總結(jié)。五、不定式的極限 1. 型:Th (Hospital

15、法則 ) 若函數(shù) 和滿足：(i) (ii) 在點 的某空心鄰域內(nèi)而這可導(dǎo)，且；(iii) 可為實數(shù)，也可為 ）則 ( 證 ) 注意: 若將定理中的x 換成 ，只要相應(yīng)地求證條件(ii)中的鄰域，也可以得到同樣的結(jié)論。例1 例2 .例3 . ( 作代換 或利用等價無窮小代換直接計算. )例4 . ( Hospital法則失效的例 )2 型不定式 極限:Th 6.7 (Hospital法則 ) 若函數(shù) 和滿足：(i) (ii) 在點 的某右鄰域內(nèi)二這可導(dǎo)，且；(iii) 可為實數(shù)，也可為 ）則 例5 .例6 . 注1 不存在，并不能說明 不存在（為什么？）注2 不能對任何比式極限都按洛必達法則來求

16、，首先要注意它是不是不定式極限，其次是否滿足洛必達法則條件例 求極限 . ( Hospital法則失效的例 )3. 其他待定型: 型： 這里的0表示極限為零的函數(shù)，即無窮小量，不是真正的零，這里的是無窮大量，即極限為的函數(shù)，不是真正的，利用無窮小與無窮大的關(guān)系，有： ， 從而 這就是說通過其中一項“取倒”可將 型既化成 型，也可以化成 型。但究竟應(yīng)化成哪種形式，要以 的計算方便為標(biāo)準(zhǔn)。例7 計算 若將“取倒”化成 型，則 若將“取倒”化成 型，則 比原來還復(fù)雜所以，一般情況下，盡量不要對 取倒。 型： 化成了 型例8 型 型： 化成了 型例9 ， 型 型： 化成了 型 型： 化成了 型例10

17、.例11 設(shè) 且 求解 .例12 .課后反思：柯西中值定理和上節(jié)兩個中值定理的聯(lián)系和區(qū)別，要讓學(xué)生明白柯西中值定理是最一般的情況。在用洛必達法則時應(yīng)注意靈活應(yīng)用，結(jié)合以前學(xué)過的求極限方法。§ 3 Taylor公式 ( 3時 )教學(xué)目的：掌握泰勒公式，麥克勞林公式，掌握函數(shù)的泰勒公式，麥克勞林公式的間接求解法，掌握它們在求極限中的應(yīng)用，了解它們在近似計算中的應(yīng)用教學(xué)內(nèi)容：1.泰勒系數(shù)，泰勒多項式;2.帶有皮亞諾型余項的泰勒公式和麥克勞林公式;3.帶有拉格朗日型余項的泰勒公式和麥克勞林公式;4.泰勒公式在近似計算中的應(yīng)用;教學(xué)重點：帶有拉格朗日型余項的泰勒公式和麥克勞林公式教學(xué)難點：帶有

18、拉格朗日型余項的泰勒公式和麥克勞林公式 一. 問題和任務(wù): 泰勒定理的引入和基本思想 容易驗證多項式函數(shù) 一般函數(shù)上面的結(jié)果能否成立或近似成立呢？若一個函數(shù)能用多項式近似，對函數(shù)的計算、性質(zhì)的研究就會大大簡化。二. Taylor( 16851731 )多項式:1、帶有皮亞諾余項的泰勒公式定理1 若函數(shù)f在點存在直至n階導(dǎo)數(shù)，則有，即即函數(shù)f在點處的泰勒公式；稱為泰勒公式的余項。形如的余項稱為皮亞諾（peano）型余項。注1、若f(x)在點附近函數(shù)滿足，其中，這并不意味著必定是f的泰勒多項式。但并非f(x)的泰勒多項式。（因為除外，f在x0出不再存在其它等于一階的導(dǎo)數(shù)。）；2、滿足條件的n次逼近

19、多項式是唯一的。由此可知，當(dāng)f滿足定理1的條件時，滿足要求的多項式一定是f在點的泰勒多項式；3、泰勒公式0的特殊情形麥克勞林（Maclauyin）公式：定理2 設(shè)函數(shù)滿足條件:) 在閉區(qū)間上有直到階連續(xù)導(dǎo)數(shù);) 在開區(qū)間內(nèi)有階導(dǎo)數(shù).則對 使 .證 稱這種形式的余項為Lagrange型余項. 并稱帶有這種形式余項的Taylor公式為具 Lagrange 型余項的Taylor公式. Lagrange 型余項還可寫為 . 時, 稱上述Taylor公式為 Maclaurin 公式, 此時余項常寫為 .三. Taylor公式和誤差估計:稱 為余項. 稱給出的定量或定性描述的式為函數(shù)的Taylor公式.1

20、. 誤差的定量刻畫( 整體性質(zhì) ) Taylor中值定理:關(guān)于Taylor公式中Lagrange型余項的進一步討論可參閱: 2. 誤差的定性描述( 局部性質(zhì) ) Peano型余項:Th 2 若函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)具有階導(dǎo)數(shù), 且存在, 則 證 設(shè) , . 應(yīng)用Hospital法則 次, 并注意到存在, 就有= .稱為Taylor公式的Peano型余項, 相應(yīng)的Maclaurin公式的Peano型余項為. 并稱帶有這種形式余項的Taylor公式為具Peano型余項的Taylor公式( 或Maclaurin公式 ).四. 函數(shù)的Taylor公式( 或Maclaurin公式 )展開:例 驗證下列函數(shù)的

21、Maclaurin公式例1 .例2 ,例3 例4 例5 例6 例7 寫出 函數(shù)的Maclaurin公式 , 并求 例8 在時 的泰勒公式例9 把函數(shù)展開成含項的具Peano型余項的Maclaurin公式 .解 , .例10 把函數(shù)展開成含項的具Peano型余項的Maclaurin公式 .解 , 注意, .a）泰勒定理是中值定理的推廣，是含有高階導(dǎo)數(shù) 的中值定理b）由泰勒定理余項和（c62）圖示看出，其誤差是較 高階的無窮小。c） 如果用更高階的泰勒多項式來近似代替函數(shù)，不僅更精確而且能夠在更大范圍內(nèi)近似代替函數(shù)。 例11 求 精確到 的近似值.解 .注意到 有 . 為使,只要取. 現(xiàn)取, 即得

22、數(shù)的精確到的近似值為.3. 利用Taylor公式求極限: 原理:例12 求極限 例13 求極限 .解 , ; .課后反思：兩個類型的泰勒公式的區(qū)別和條件。這對于應(yīng)用泰勒公式非常重要，需要注意在用泰勒公式求極限時展開到第幾次項如何把握。§4 函數(shù)的極值與最大(小)值教學(xué)目的： 會求函數(shù)的極值和最值。教學(xué)內(nèi)容 1函數(shù)的極值與最值；2.取得極值必要條件以及第一、第二充分條件；求函數(shù)極值的一般方法和步驟； 教學(xué)重點: 利用導(dǎo)數(shù)求極值的方法教學(xué)難點: 極值的判定一 可微極值點判別法: 極值問題: 極值點, 極大值還是極小值, 極值是多少.1. 可微極值點的必要條件: Fermat定理( 表述為

23、Th3 ).函數(shù)的駐點和(連續(xù)但)不可導(dǎo)點統(tǒng)稱為可疑點, 可疑點的求法.2. 極值點的充分條件: 對每個可疑點, 用以下充分條件進一步鑒別是否為極值點.Th 4 (充分條件) 設(shè)函數(shù)在點連續(xù), 在鄰域和 內(nèi)可導(dǎo). 則 ） 在 內(nèi) 在 內(nèi) 時, 為 的一個極小值點; ） 在內(nèi) 在內(nèi)時, 為的一個極大值點; ） 若在上述兩個區(qū)間內(nèi)同號, 則不是極值點.Th 5 (充分條件) 設(shè)點為函數(shù)的駐點且存在.則 ） 當(dāng)時, 為的一個極大值點; ） 當(dāng)時, 為的一個極小值點.證法一 當(dāng)時, 在點的某空心鄰域內(nèi)與異號,證法二 用Taylor公式展開到二階, 帶Peano型余項.例2 求函數(shù) 的極值點與極值。第一

24、步 對函數(shù)求導(dǎo), 解出穩(wěn)定點和不可導(dǎo)點 利用極值充分條件決定極大極小 , 算出極值穩(wěn)定點 a=1, 不可導(dǎo)點 b=0 由此例看出，函數(shù)也可能在不可導(dǎo)點取得極值, 于是得出結(jié)論：分段光滑函數(shù)的極值點的必要條件是: 它是穩(wěn)定點或不可導(dǎo)點. 例 3 求函數(shù) 的極值點與極值。Th 6.12)(充分條件 ) 設(shè),而.則 ） 為奇數(shù)時, 不是極值點; ） 為偶數(shù)時, 是極值點. 且對應(yīng)極小; 對應(yīng)極大.例 求函數(shù) 的極值二 最大值最小值由上面圖像看出，函數(shù)的最大最小值可能發(fā)生在穩(wěn)定點處，不可導(dǎo)點處， 也可能發(fā)生在區(qū)間的端點。因此, 函數(shù)的最大最小值點應(yīng)從：穩(wěn)定點, 不可導(dǎo)點, 端點 中去尋找， 這三種點中

25、，函數(shù)取最大者為函數(shù)的最大點，取最小者為函數(shù)的最小值點，因此求解最大最小點的步驟應(yīng)為: 第一步 求出穩(wěn)定點, 不可導(dǎo)點和端點 第二步 算出這些點處的函數(shù)值, 其中最大者就是最大值, 最小者就是最小值例 4 求函數(shù) 在區(qū)間 上的最大與最小值.解：此函數(shù)是絕對值函數(shù),且, 所以 x=0 是角點, 不可導(dǎo)點，再求函數(shù)的穩(wěn)定點穩(wěn)定點為 x=1, 和x=2計算穩(wěn)定點, 不可導(dǎo)點, 端點的函數(shù)值, 決定出最大最小值最小值是 0 , 最大值是 5.觀看一下它的圖像課后反思：本節(jié)內(nèi)容本身不是很難，但是需要讓學(xué)生明白極值和最值之間的關(guān)系，以及在何種條件下能相互轉(zhuǎn)化。這對于以后應(yīng)用和證明非常重要 §5

26、函數(shù)的凸性與拐點教學(xué)目的: 掌握討論函數(shù)的凹凸性和方法。教學(xué)內(nèi)容: 1.凸函數(shù)、凹函數(shù)的概念，嚴(yán)格凸（凹）函數(shù)的概念;2.函數(shù)為凸函數(shù)的充要條件;3.詹森不等式;教學(xué)重點: 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的凸性教學(xué)難點: 利用凸性證明相關(guān)命題一 凸性的定義及判定：1 凸性的定義：由直觀引入. 強調(diào)曲線彎曲方向與上升方向的區(qū)別.定義1 設(shè)函數(shù)在區(qū)間I上連續(xù). 若對I 和恒有則稱曲線 在區(qū)間I的凸函數(shù), 反之, 如果總有則稱曲線 在區(qū)間I的凹函數(shù). 若在上式中, 當(dāng)時, 有嚴(yán)格不等號成立, 則稱曲線在區(qū)間上是嚴(yán)格凸(或嚴(yán)格凹)的. 凸性的幾何意義:切線的位置關(guān)系;與弦的位置關(guān)系;曲線的彎曲方向.引理 為區(qū)間I上

27、的凸函數(shù)的充要條件是:對I上任意三點: , 總有 設(shè)函數(shù)在區(qū)間I上可導(dǎo), 則下面條件等價:(i) 為I上凸函數(shù)(ii) 為I上的增函數(shù)(iii) 對I上的任意兩點 有2 利用二階導(dǎo)數(shù)判斷曲線的凸向:Th 6.14 設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在二階導(dǎo)數(shù), 則在內(nèi) 在 內(nèi)嚴(yán)格上凸; 在 內(nèi)嚴(yán)格下凸.證法一 ( 用Taylor公式 ) 對 設(shè), 把在點展開成具Lagrange型余項的Taylor公式, 有 .其中 和 在 與 之間. 注意到 , 就有 , 于是, 若有 上式中, 即 嚴(yán)格上凸. 若有 上式中, 即嚴(yán)格下凸.證法二 ( 利用Lagrange中值定理. ) 若 則有. 不妨設(shè) , 并設(shè) , 分別在

28、區(qū)間和上應(yīng)用Lagrange中值定理, 有,.有 又由 ， <, ， 即 ， 嚴(yán)格下凸.可類證的情況.3 凸區(qū)間的分離: 的正、負(fù)值區(qū)間分別對應(yīng)函數(shù)的下凸和上凸區(qū)間.二. 曲線的拐點: 拐點的定義. 例1 確定函數(shù)的上凸、下凸區(qū)間和拐點. 4P154 E20解 的定義域為 . 令, 解得 .在區(qū)間內(nèi) 的符號依次為，. 拐點為: 倘若注意到本題中的是奇函數(shù), 可使解答更為簡捷. Jensen不等式及其應(yīng)用:Jensen不等式: 設(shè)函數(shù)為區(qū)間上的凸函數(shù), 則對任意 , , 有Jensen不等式:,且等號當(dāng)且僅當(dāng)時成立.證 令, 把表為點處具二階Lagrange型余項的Taylor公式，仿前述定理的證明，注意 即得所證.例1 證明: 對 有不等式 .例2 證明均值不等式: 對, 有均值不等式.證 先證不等式. 取. 在內(nèi)嚴(yán)格上凸, 由Jensen不等式, 有.由 . 對用上述已證結(jié)果, 即得均值不等式的左半端.例3 證明: 對, 有不等式 . ( 平方根平均值 )例4 設(shè)，證明 .解 取, 應(yīng)用Jensen不等式.Jensen不等式在初等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用舉例: 參閱 荊昌漢 文: “凸(凹)函數(shù)定理在不等式證明中的應(yīng)用”,數(shù)學(xué)通訊1980.4. P39.例6 在中, 求證 .解 考慮函數(shù)在區(qū)間內(nèi)凹, 由Jensen不等式