華師大八年級數(shù)學(xué)暑假專題輔導(dǎo) 相似三角形

1、 暑假專題相似三角形重點(diǎn)、難點(diǎn)： 1. 通過探索兩個三角形相似的識別方法，加強(qiáng)合情推理能力的培養(yǎng)，感受發(fā)現(xiàn)的樂趣，逐步掌握說理的基本方法。 2. 通過相似三角形性質(zhì)復(fù)習(xí)，豐富與角、面積等相關(guān)的知識方法，開闊研究角、面積等問題的視野。【知識縱橫】 1. 相似三角形 對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的三角形叫做相似三角形（similar triangles）。 議一議： （1）兩個全等三角形一定相似嗎？為什么？ （2）兩個直角三角形一定相似嗎？兩個等腰直角三角形呢？為什么？ （3）兩個等腰三角形一定相似嗎？兩個等邊三角形呢？為什么？ 2. 相似比 相似三角形對應(yīng)邊的比叫做相似比。 說明：相似比要注意順序：

2、如ABCA'B'C'的相似比，而A'B'C'ABC的相似比，這時。 3. 相似三角形的識別 （1）如果一個三角形的兩角分別與另一個三角形的兩角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形相似。 （2）如果一個三角形的兩條邊與另一個三角形的兩條邊對應(yīng)成比例，并且夾角相等，那么這兩個三角形相似。 （3）如果一個三角形的三條邊和另一個三角形的三條邊對應(yīng)成比例，那么這兩個三角形相似。【典型例題】 例1. 如圖，123，圖中相似三角形有（ ）對。 答：4對 例2. 如圖，已知：ABC、DEF，其中A50°，B60°，C70°，D40°

3、，E60°，F(xiàn)80°，能否分別將兩個三角形分割成兩個小三角形，使ABC所分成的每個三角形與DEF所分成的每個三角形分別對應(yīng)相似？ 如果可能，請設(shè)計一種分割方案；若不能，說明理由。 解： 例3. （2004·廣東省）如圖所示，四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)F在BA的延長線上，連結(jié)CF交AD于點(diǎn)E。 （1）求證：CDEFAE； （2）當(dāng)E是AD的中點(diǎn)，且BC2CD時，求證：FBCF。 命題意圖：相似三角形的識別、特征在解題中的應(yīng)用。 解析：由ABDC得：FDCE，EAFD CDEFAE ，又E為AD中點(diǎn) DEAE，從而CDFA，結(jié)合已知條件，易證 BFBC，F(xiàn)BCF

4、解：（1）四邊形ABCD是平行四邊形 ABCD FDCE，EAFD CDEFAE （2）E是AD中點(diǎn)，DEAE 由（1）得： CDAF 四邊形ABCD是平行四邊形 ABCD ABCDAF BF2CD，又BC2CD BCBF FBCF 思路探究：平行往往是證兩個三角形相似的重要條件，利用比例線段也可證明兩線段相等。 例4. 在梯形ABCD中，A90°，ADBC，點(diǎn)P在線段AB上從A向B運(yùn)動， （1）是否存在一個時刻使ADPBCP； （2）若AD4，BC6，AB10，使ADPBCP，則AP的長度為多少？ 解：（1）存在 （2）若ADPBCP，則 設(shè) 或 或 或 AP長度為4或6 例5.

5、如圖，在平行四邊形ABCD中，E為CD上一點(diǎn)，DE：CE2：3，連結(jié)AE、BE、BD，且AE、BD交于點(diǎn)F，則（ ） A. 4：10：25B. 4：9：25 C. 2：3：5D. 2：5：25（2001年黑龍江省中考題） 思路點(diǎn)撥：運(yùn)用與面積相關(guān)知識，把面積比轉(zhuǎn)化為線段比。 選A 例6. 如圖，有一批形狀大小相同的不銹鋼片，呈直角三角形，已知C90°，AB5cm，BC3cm，試設(shè)計一種方案，用這批不銹鋼片裁出面積達(dá)最大的正方形不銹鋼片，并求出這種正方形不銹鋼片的邊長。 思路點(diǎn)撥：要在三角形內(nèi)裁出面積最大的正方形，那么這正方形所有頂點(diǎn)應(yīng)落在ABC的邊上，先畫出不同方案，把每種方案中的正

6、方形邊長求出。 解：如圖甲，設(shè)正方形EFGH邊長為x，則AC4 而CD×ABAC×BC，得 又CEHCAB，得 于是，解得： 如圖乙，設(shè)正方形CFGH的邊長為y cm 由GHAC，得： 即，解得： 即應(yīng)如圖乙那樣裁剪，這時正方形面積達(dá)最大，它的邊長為 例7. 如圖，已知直角梯形ABCD中，AB90°，設(shè)，作DEDC，DE交AB于點(diǎn)E，連結(jié)EC。 （1）試判斷DCE與ADE、DCE與BCE是否分別一定相似？若相似，請加以證明。 （2）如果不一定相似，請指出a、b滿足什么關(guān)系時，它們就能相似？ 解：（1）DCE與ADE一定相似，DCE與BCE不一定相似，分別延長BA、

7、CD交于F點(diǎn) 由FADFBC，得： 于是FDDC，從而可證FEDCED 得AEDDEC 所以DECAED （2）作CGAD交AD延長線于G， 由AEDGDC，有，得 要使DCE與BCE相似，那么一定成立 即，得 也就是當(dāng)時，DCE與BCE一定相似?！灸M試題】（答題時間：40分鐘） 1. 如圖，已知DEBC，CD和BE相交于O，若，則AD：DB_。 2. 如圖，ABC中，CE：EB1：2，DEAC，若ABC的面積為S，則ADE的面積為_。 3. 若正方形的4個頂點(diǎn)分別在直角三角形的3條邊上，直角三角形的兩直角邊的長分別為3cm和4cm，則此正方形的邊長為_。（2000年武漢市中考題） 4. 閱

8、讀下面的短文，并解答下列問題： 我們把相似形的概念推廣到空間：如果兩個幾何體大小不一定相等，但形狀完全相同，就把它們叫做相似體。 如圖，甲、乙是兩個不同的正方體，正方體都是相似體，它們的一切對應(yīng)線段之比都等于相似比：，設(shè)分別表示這兩個正方體的表面積，則，又設(shè)分別表示這兩個正方體的體積，則。 （1）下列幾何體中，一定屬于相似體的是（ ） A. 兩個球體B. 兩個圓錐體 C. 兩個圓柱體D. 兩個長方體 （2）請歸納出相似體的3條主要性質(zhì)： 相似體的一切對應(yīng)線段（或?。╅L的比等于_； 相似體表面積的比等于_； 相似體體積的比等于_。（2001年江蘇省泰州市中考題） 5. 如圖，鐵道口的欄桿短臂長1

9、 m，長臂長16 m，當(dāng)短臂端點(diǎn)下降0.5 m時，長臂端點(diǎn)升高（ ） A. 11.25 mB. 6.6 mC. 8 mD. 10.5 m 6. 如圖，D為ABC的邊AC上的一點(diǎn)，DBCA，已知，BCD與ABC的面積的比是2：3，則CD的長是（ ） A. B. C. D. 7. 如圖，在正三角形ABC中，D、E分別在AC、AB上，且，AEBE，則有（ ） A. AEDBEDB. AEDCBD C. AEDABDD. BADBCD（2001年杭州市中考題） 8. 如圖，已知ABC中，DEFGBC，且AD：FD：FB1：2：3，則等于（ ） A. 1：9：36B. 1：4：9 C. 1：8：27D.

10、 1：8：36 9. 如圖，已知梯形ABCD中，ADBC，ACDB，求證： 10. 如圖，ABC中，D是BC邊上的中點(diǎn)，且ADAC，DEBC，DE與AB相交于點(diǎn)E，EC與AD相交于點(diǎn)F。 （1）求證：ABCFCD； （2）若，求DE的長。（2000年河北省中考題） 11. 閱讀并解答問題。 在給定的銳角ABC中，求作一個正方形DEFG，使D、E落在BC上，F(xiàn)、G分別落在AC、AB邊上，作法如下： 第一步：畫一個有3個頂點(diǎn)落在ABC兩邊上的正方形D'E'F'G'。 第二步：連結(jié)BF'，并延長交AC于點(diǎn)F； 第三步：過F點(diǎn)作FEBC于E； 第四步：過F點(diǎn)作F

11、GBC交AB于點(diǎn)G； 第五步：過G點(diǎn)作GDBC于點(diǎn)D。 四邊形DEFG即為所求作的四邊形DEFG，為正方形。 問題： （1）證明上述所求作的四邊形DEFG為正方形； （2）在ABC中，如果，BAC75°，求上述正方形DEFG的邊長。（江蘇省揚(yáng)州市中考題） 12. 如圖，在ABC中，在BC上有100個不同的點(diǎn)，過這100個點(diǎn)分別作ABC的內(nèi)接矩形，設(shè)每個內(nèi)接矩形的周長分別為，則_。（安徽省競賽題） 13. 如圖，在ABC中，DEFGBC，GIEFAB，若ADE、EFG、GIC的面積分別為，則ABC的面積為_。 14. 如圖，一個邊長為3、4、5厘米的直角三角形的一個頂點(diǎn)與正方形的頂點(diǎn)B

12、重合，另兩個頂點(diǎn)分別在正方形的兩條邊AD、DC上，那么這個正方形的面積是_厘米2。（第11屆“希望杯”邀請賽試題） 15. 如圖，將一個矩形紙片ABCD沿AD和BC的中點(diǎn)連線對折，要使矩形AEFB與原矩形相似，則原矩形的長與寬的比為（ ） A. 2：1B. C. D. 1：1 16. 如圖，梯形ABCD中，ABCD，且CD3AB，EFCD，EF將梯形ABCD分成面積相等的兩部分，則AE：ED等于（ ） A. 2B. C. D. 【試題答案】 1. 3：1 2. 3. 或 4. （1）A；（2）相似比；相似比的平方；相似比的立方 5. C6. C7. B8. C 9. 由ABCDCA，得 10. （1）略 （2）過A作AMBC于M 由ABCFCD，得： 又，得 DEAM， ，得 11. （1）易證明四邊形EFGD為矩