第一章 靜電學(xué)的基本規(guī)律(高斯定理)

1、1 四、高斯定理及其應(yīng)用四、高斯定理及其應(yīng)用 1.電場線（電力線）電場線（電力線） 2.電通量電通量 3.靜電場的高斯定理靜電場的高斯定理 4. 高斯定理在解場方面的應(yīng)用高斯定理在解場方面的應(yīng)用 附錄附錄1：靜電應(yīng)用（圖片）：靜電應(yīng)用（圖片） 附錄附錄2：靜電場高斯定理的證明：靜電場高斯定理的證明 附錄附錄3：如何理解均勻帶電球面內(nèi)場強(qiáng)為：如何理解均勻帶電球面內(nèi)場強(qiáng)為0？2定性定性:定量定量:疏密疏密垂直面積垂直面積 規(guī)定條數(shù)規(guī)定條數(shù) （1）規(guī)定）規(guī)定 方向：方向：電場線電場線上每一點(diǎn)的切線方向表示該上每一點(diǎn)的切線方向表示該點(diǎn)的電場強(qiáng)度方向；點(diǎn)的電場強(qiáng)度方向； 大小：大?。篍1. 電場線（電力

2、線）電場線（電力線）用一族空間曲線形象描述場強(qiáng)分布用一族空間曲線形象描述場強(qiáng)分布電場線電場線(electric field line)過去稱為過去稱為電力線電力線P3SEdddE SE Sdd式中的式中的d稱為通過該面積元的稱為通過該面積元的電通量電通量(electric flux) 定量規(guī)定：定量規(guī)定： 通過垂直于通過垂直于 的單位面積的電場線條數(shù)等的單位面積的電場線條數(shù)等于該區(qū)域的電場強(qiáng)度值，即，于該區(qū)域的電場強(qiáng)度值，即，EEdS ne43)電場線有頭有尾，不會形成閉合曲線電場線有頭有尾，不會形成閉合曲線.（2）電場線的性質(zhì)）電場線的性質(zhì)1)電場線起始于正電荷電場線起始于正電荷(或無窮遠(yuǎn)處

3、或無窮遠(yuǎn)處)，終止于，終止于負(fù)電荷負(fù)電荷(或無窮遠(yuǎn)處或無窮遠(yuǎn)處) ，不會在沒有電荷處中，不會在沒有電荷處中斷斷.2)兩條電場線不會相交，也不會相切兩條電場線不會相交，也不會相切.這些性質(zhì)是由靜電場的基本性質(zhì)和場的單這些性質(zhì)是由靜電場的基本性質(zhì)和場的單值性、有限大小性決定的值性、有限大小性決定的.并且可用并且可用靜電場靜電場的基本性質(zhì)方程的基本性質(zhì)方程加以證明加以證明.5將上式推廣至一般面元將上式推廣至一般面元若面積元不垂直電場強(qiáng)度若面積元不垂直電場強(qiáng)度由圖可知由圖可知: 通過通過SSdd和和電場線條數(shù)相同電場線條數(shù)相同勻強(qiáng)電場勻強(qiáng)電場SEdd由電場線的定量規(guī)定，有由電場線的定量規(guī)定，有2. 電

4、通量電通量通過任意面積的電場線條數(shù)叫通過該面的電通量通過任意面積的電場線條數(shù)叫通過該面的電通量SESneSdSd6由圖可知由圖可知: 通過通過SSdd和和電場線條數(shù)相同電場線條數(shù)相同SEddnSSdd cosSEd令令SEdd電通量的基本定義式電通量的基本定義式是面元是面元dS的法線方向與該處的法線方向與該處的電場強(qiáng)度方向之間的夾角的電場強(qiáng)度方向之間的夾角勻強(qiáng)電場勻強(qiáng)電場SESneSd7SSSEddSEdd通過任意面積元的電通量通過任意面積元的電通量通過任意曲面的電通量：通過任意曲面的電通量：把曲面分成許多個面積元把曲面分成許多個面積元每一面元處視為勻強(qiáng)電場每一面元處視為勻強(qiáng)電場SneSdE8

5、物理上有實(shí)際意義的是求物理上有實(shí)際意義的是求通過閉合面的電通量通過閉合面的電通量討論討論SEdd1) )有正有正 有負(fù)有負(fù)若取若取如如實(shí)藍(lán)箭頭實(shí)藍(lán)箭頭所所示的法線方向，則示的法線方向，則 若取如若取如虛紅箭頭虛紅箭頭所所示的法線方向，則示的法線方向，則正負(fù)取決于正負(fù)取決于面元的法線面元的法線方向的方向的選取選取SEd 0SEd 0對于非閉合面，面元的正方向可以任取，對于非閉合面，面元的正方向可以任取，SneSdEne9規(guī)定：規(guī)定：面元方向面元方向sEd0sEd幾何含義：通過閉合曲面的電場線的幾何含義：通過閉合曲面的電場線的凈凈條數(shù)條數(shù)SneEEne10 3. 靜電場的高斯定理靜電場的高斯定理(

6、Gauss theorem) (1) 表述表述在靜電場內(nèi)在靜電場內(nèi) 任一閉合面的電通量等于這閉合任一閉合面的電通量等于這閉合面所包圍的電量的代數(shù)和面所包圍的電量的代數(shù)和(凈電荷凈電荷)除以除以 0 0(內(nèi)）SiiSqSE內(nèi)內(nèi)d（嚴(yán)格證明見附錄（嚴(yán)格證明見附錄2）iqsSdE11(2) 高斯定理關(guān)系式的導(dǎo)出高斯定理關(guān)系式的導(dǎo)出思路思路：1）以點(diǎn)電荷場為例以點(diǎn)電荷場為例取包圍點(diǎn)電荷的高斯面取包圍點(diǎn)電荷的高斯面取不包圍點(diǎn)電荷的高斯面取不包圍點(diǎn)電荷的高斯面 2）推廣到一般）推廣到一般推導(dǎo)：推導(dǎo)：1）場源電荷是電量為）場源電荷是電量為Q的點(diǎn)電荷的點(diǎn)電荷 高斯面高斯面包圍包圍該點(diǎn)電荷該點(diǎn)電荷12高斯面如圖

7、高斯面如圖QS通過該高斯面的電通量？通過該高斯面的電通量？根據(jù)電場線的連續(xù)性根據(jù)電場線的連續(xù)性等于以點(diǎn)電荷為球心的等于以點(diǎn)電荷為球心的任意半徑的球面的電通量任意半徑的球面的電通量r計算通過計算通過球面球面的電的電通量通量SdSEeddSEdE通過高斯球面任一面元通過高斯球面任一面元的電通量是的電通量是Sd13SSSESEdd24 rE 22044rrQ0Q等于高斯面內(nèi)電量代數(shù)和除以等于高斯面內(nèi)電量代數(shù)和除以 02) )場源電荷仍是點(diǎn)電荷場源電荷仍是點(diǎn)電荷 但高斯面但高斯面不不包圍電荷包圍電荷QS 因電場線連續(xù)，故電通量為零因電場線連續(xù)，故電通量為零 等于高斯面內(nèi)電量代數(shù)和除以等于高斯面內(nèi)電量代

8、數(shù)和除以 03) )推廣推廣:利用利用疊加原理疊加原理0(內(nèi)）SiiSqSEd通過高斯球面的電通量通過高斯球面的電通量SSE d14討論討論3) )高斯定理是靜電場的基本性質(zhì)方程之一，高斯定理是靜電場的基本性質(zhì)方程之一，它它表明靜電場是表明靜電場是有源場有源場，它要求電場線在無，它要求電場線在無電荷處不能中斷電荷處不能中斷. 1) ) 中中, , 是面元是面元 所在處的場強(qiáng)所在處的場強(qiáng). .SSEdESd只有只有閉合面內(nèi)閉合面內(nèi)的的電荷電荷對對電通量電通量 有貢獻(xiàn)有貢獻(xiàn).2) ) 并非只是由并非只是由閉合面內(nèi)的電荷產(chǎn)生，而是閉合面內(nèi)的電荷產(chǎn)生，而是由空間由空間所有電荷共同產(chǎn)生的，但是閉合面內(nèi)所

9、有電荷共同產(chǎn)生的，但是閉合面內(nèi)、外的電荷對電通量、外的電荷對電通量 的貢獻(xiàn)不同的貢獻(xiàn)不同.SSEdESSEd4) )對于運(yùn)動電荷產(chǎn)生的電場及迅變電磁場，對于運(yùn)動電荷產(chǎn)生的電場及迅變電磁場，庫侖定律不再成立，但高斯定理仍然成立庫侖定律不再成立，但高斯定理仍然成立. .15 常見的電量分布的常見的電量分布的很好的很好的對稱性：對稱性： 球?qū)ΨQ球?qū)ΨQ 柱對稱柱對稱 面對稱面對稱均均勻勻帶帶電電的的球體球體球面球面(點(diǎn)電荷點(diǎn)電荷)無限長的無限長的柱體柱體柱面柱面帶電線帶電線無限大的無限大的平板平板平面平面4. 高斯定理在高斯定理在求解場強(qiáng)求解場強(qiáng)方面的應(yīng)用方面的應(yīng)用利用高斯定理求解利用高斯定理求解E較

10、為方便較為方便對電量的分布具有對電量的分布具有很好的很好的對稱性情況下對稱性情況下16舉例目的：舉例目的：1) )清晰清晰用高斯定理解題的用高斯定理解題的步驟步驟2) )通過解題通過解題明確明確用高斯定理解題的用高斯定理解題的條件條件3) )簡單的解作為基本結(jié)論簡單的解作為基本結(jié)論記住記住 并且能并且能熟練使用熟練使用 理論理論是建立在是建立在理想模型理想模型之上的之上的注意注意電量分布沒有電量分布沒有很好的很好的對稱性時，雖然對稱性時，雖然不能用高斯定理求場強(qiáng)，但高斯定理仍然成立！不能用高斯定理求場強(qiáng)，但高斯定理仍然成立！17例例1 求電量為求電量為q 半徑為半徑為R 的的均勻帶電均勻帶電球

11、面球面的的電場強(qiáng)度分布電場強(qiáng)度分布 q第第1步：步：根據(jù)電荷分布的對稱根據(jù)電荷分布的對稱性，選取合適的經(jīng)過場點(diǎn)的高性，選取合適的經(jīng)過場點(diǎn)的高斯面斯面(閉合面閉合面)解解:取取過場點(diǎn)過場點(diǎn)P的以球心的以球心O 為球心的球面為球心的球面ESSEdSSEdSSE d24 rERoPrSSd第第2步：步：從高斯定理表達(dá)式的左方入手從高斯定理表達(dá)式的左方入手 計算通過高斯面的電通量計算通過高斯面的電通量18第第4步：步：根據(jù)高斯定理列方程、解方程根據(jù)高斯定理列方程、解方程0)(24內(nèi)SiiqrEEqrii402 第第3步：步：求高斯面內(nèi)電量代數(shù)和求高斯面內(nèi)電量代數(shù)和24 rESESdQrSRoP0iiq

12、Rr19第第5步：得解步：得解rER均勻帶電球面電場分布均勻帶電球面電場分布0204Rq0思考：思考：0ERr1）球面）球面內(nèi)內(nèi)場強(qiáng)為場強(qiáng)為零零 到球面到球面外突變外突變 ，物物理上合理嗎？理上合理嗎？2）若選過場點(diǎn)）若選過場點(diǎn)P的的任意閉合曲面，高任意閉合曲面，高斯定理是否成立？斯定理是否成立？能否求出場強(qiáng)的分能否求出場強(qiáng)的分布？布？3）能否這樣證明能否這樣證明球面內(nèi)的場強(qiáng)：球面內(nèi)的場強(qiáng)：“因?yàn)榍蛎鎯?nèi)沒因?yàn)榍蛎鎯?nèi)沒有電荷，所以場有電荷，所以場強(qiáng)為零強(qiáng)為零”，對嗎？，對嗎？20例例2 求電量為求電量為q 半徑為半徑為R 的的均勻帶電均勻帶電球體球體的的 電場強(qiáng)度分布電場強(qiáng)度分布 q第第1步：步

13、：根據(jù)電荷分布的對稱根據(jù)電荷分布的對稱性，選取合適的經(jīng)過場點(diǎn)的高性，選取合適的經(jīng)過場點(diǎn)的高斯面斯面(閉合面閉合面)解解:取取過場點(diǎn)過場點(diǎn)P的以球心的以球心O 為球心的球面為球心的球面ESSEdSSEdSSE d24 rERoPrSSd第第2步：步：從高斯定理表達(dá)式的左方入手從高斯定理表達(dá)式的左方入手 計算通過高斯面的電通量計算通過高斯面的電通量21第第4步：步：根據(jù)高斯定理列方程、解方程根據(jù)高斯定理列方程、解方程0)(24內(nèi)SiiqrEEqrii402 第第3步：步：求高斯面內(nèi)電量代數(shù)和求高斯面內(nèi)電量代數(shù)和24 rESESdQrSRoPqRrqRrii33iiqqRr22第第5步：得解步：得解

14、rER均勻帶電球體電場分布均勻帶電球體電場分布0204Rq0rrRqERr03034204rqERr例例3 均勻帶電的無限長的直線均勻帶電的無限長的直線線密度線密度對稱性的分析對稱性的分析取合適的高斯面取合適的高斯面計算電通量計算電通量SsEd兩底面?zhèn)让鎠EsEddrlE 2lrsdEsd利用高斯定理解出利用高斯定理解出E02lrlErE02+oxyErl2324例例4 求面電荷密度為求面電荷密度為的的均勻帶電無限大平均勻帶電無限大平面的場強(qiáng)分布面的場強(qiáng)分布. 解：解：由對稱性分析易知空間的由對稱性分析易知空間的場強(qiáng)必垂直于帶電平面場強(qiáng)必垂直于帶電平面, 而且而且與帶電平面距離相等的點(diǎn)場強(qiáng)與帶

15、電平面距離相等的點(diǎn)場強(qiáng)大小相同大小相同.由于圓筒的側(cè)面上各點(diǎn)的由于圓筒的側(cè)面上各點(diǎn)的 與側(cè)面平行，故與側(cè)面平行，故EESESSdESdESdE22底兩底面?zhèn)让嬗钟謨?nèi)SiSq001據(jù)高斯定理可得：據(jù)高斯定理可得：02SES 02E 選一個過場點(diǎn)選一個過場點(diǎn)P、軸線與帶電平、軸線與帶電平面垂直的的圓筒形高斯面，兩底面面垂直的的圓筒形高斯面，兩底面到帶電平面距離相等，到帶電平面距離相等，如圖所示如圖所示. .S底底poSEEEEEE 對于有限大帶電平面，只要研究的場點(diǎn)對于有限大帶電平面，只要研究的場點(diǎn)P到平面邊緣到平面邊緣上任一點(diǎn)的距離遠(yuǎn)大于上任一點(diǎn)的距離遠(yuǎn)大于P點(diǎn)到平面的垂直距離，則此平面點(diǎn)到平面

16、的垂直距離，則此平面就可看作就可看作“無限大無限大”平面，上述結(jié)論即可應(yīng)用。平面，上述結(jié)論即可應(yīng)用。25000000無限大帶電平面的電場疊加問題無限大帶電平面的電場疊加問題26關(guān)于高斯定理的理解有下面幾種說法，其中正確的是：關(guān)于高斯定理的理解有下面幾種說法，其中正確的是：（A A）如果高斯面上）如果高斯面上 E 處處為零，則該面內(nèi)必?zé)o電荷。處處為零，則該面內(nèi)必?zé)o電荷。（B B）如果高斯面內(nèi)無電荷）如果高斯面內(nèi)無電荷 , ,則高斯面上則高斯面上E處處為零。處處為零。（D D）如果高斯面內(nèi)有凈余電荷）如果高斯面內(nèi)有凈余電荷 , ,則穿過高斯面的電通量則穿過高斯面的電通量必不為零。必不為零。（C C

17、）如果高斯面上）如果高斯面上 E 處處不為零，則該面內(nèi)必有電荷。處處不為零，則該面內(nèi)必有電荷。（ E）高斯定理僅適用于具有高度對稱性的電場。）高斯定理僅適用于具有高度對稱性的電場。思考思考27例例5 5 真空中有一電荷為真空中有一電荷為Q，半徑為，半徑為R的均勻帶電球面的均勻帶電球面. .試求試求（1 1）球面外兩點(diǎn)間的電勢差；）球面外兩點(diǎn)間的電勢差；（2 2）球面內(nèi)兩點(diǎn)間的電勢差；）球面內(nèi)兩點(diǎn)間的電勢差；（3 3）球面外任意點(diǎn)的電勢；）球面外任意點(diǎn)的電勢；（4 4）球面內(nèi)任意點(diǎn)的電勢球面內(nèi)任意點(diǎn)的電勢. .RABorArBr28解解RrrQRrE2040由高斯定理知，由高斯定理知，電場分布為

18、電場分布為)11(40BArrQ0d BABArrrE（1 1）Rr RABorArBrBABArrrEdBArrrrQ20d4rdr（2 2）Rr RABorrd29 由高斯定理知，電場分布為由高斯定理知，電場分布為解解ERr 0Rrrqo241 1.當(dāng)當(dāng)r R 時時rrrrqrEd41d20rq041Rq041ROrPP求一均勻帶電球面的電勢分布。求一均勻帶電球面的電勢分布。例例6303.當(dāng)當(dāng)r = R 時，時，RrrrqrEd41d20Rq0414.電勢分布電勢分布這是一道典型的例這是一道典型的例題，應(yīng)很好掌握，題，應(yīng)很好掌握，并記住結(jié)果。并記住結(jié)果。 RrRq041Rrrqo4131均

19、勻帶電球面，球內(nèi)任一點(diǎn)的電勢等于球表面的電勢，均勻帶電球面，球內(nèi)任一點(diǎn)的電勢等于球表面的電勢，故均勻帶電球面及其內(nèi)部是一個等電勢的區(qū)域。球外故均勻帶電球面及其內(nèi)部是一個等電勢的區(qū)域。球外任一點(diǎn)的電勢等效于將電荷集中于球心的點(diǎn)電荷在該任一點(diǎn)的電勢等效于將電荷集中于球心的點(diǎn)電荷在該點(diǎn)產(chǎn)生的電勢。點(diǎn)產(chǎn)生的電勢。電勢分布曲線電勢分布曲線場強(qiáng)分布曲線場強(qiáng)分布曲線ERRrrOO204rqRq041 r2 r3233求電場強(qiáng)度求電場強(qiáng)度E分布的三種方法分布的三種方法1.1.利用點(diǎn)電荷場強(qiáng)公式和場強(qiáng)疊加原理利用點(diǎn)電荷場強(qiáng)公式和場強(qiáng)疊加原理2.2.利用已知場強(qiáng)公式和場強(qiáng)疊加原理利用已知場強(qiáng)公式和場強(qiáng)疊加原理3.

20、3.利用高斯定理（電荷分布具有很好的利用高斯定理（電荷分布具有很好的對稱性）對稱性）第一章結(jié)束第一章結(jié)束34 靜電噴漆靜電噴漆 靜電除塵靜電除塵附錄附錄1 1： 靜電應(yīng)用靜電應(yīng)用(圖片圖片) 35 帶電木梳吸水帶電木梳吸水36附錄附錄2 2：高斯定理的立體角法證明高斯定理的立體角法證明1. .介紹立體角的定義介紹立體角的定義2. .證明證明37r1) )平面角平面角 由一點(diǎn)發(fā)出的兩條射線之間的夾角由一點(diǎn)發(fā)出的兩條射線之間的夾角 記做記做 d cos0rlrlddd單位：弧度單位：弧度1. .立體角的概念立體角的概念l dd設(shè)射線長為設(shè)射線長為r ，線段元線段元dl對某點(diǎn)所張的平面角：對某點(diǎn)所張

21、的平面角：0l ddl0是以是以r為半徑的圓弧為半徑的圓弧 是線段元是線段元dl與與dl0之間的夾角之間的夾角382) )立體角立體角 面元面元dS 對某點(diǎn)所張的角叫做立體角對某點(diǎn)所張的角叫做立體角 即錐體的即錐體的“頂角頂角”單位：球面度單位：球面度rdSd0Sdcos220rSrSddd對比平面角有對比平面角有定義式定義式:dS0是以是以r為半徑的圓錐對應(yīng)的球面元為半徑的圓錐對應(yīng)的球面元 是面元是面元dS與球面元與球面元dS0間的夾角間的夾角39弧度弧度閉合曲面對面內(nèi)一點(diǎn)所張的立體角閉合曲面對面內(nèi)一點(diǎn)所張的立體角球面度球面度420SSrSddld閉合平面曲線對曲線內(nèi)一點(diǎn)所張的平面角閉合平面曲線對曲線內(nèi)一點(diǎn)所張的平面角coslrld00lrld240庫侖定律庫侖定律 + 疊加原理疊加原理思路：思路：先證明點(diǎn)電荷的場先證明點(diǎn)電荷的場 然后推廣至一般電荷分布的場然后推廣至一般電荷分布的場1) 源電荷是點(diǎn)電荷源電荷是點(diǎn)電荷在該