線性代數(shù)課件第三章

1、第二章第二章 矩陣的初等變換與線性方矩陣的初等變換與線性方程組程組1. 矩陣的初等變換矩陣的初等變換2. 矩陣的秩矩陣的秩3. 線性方程組的解線性方程組的解 以以Em(ij(k)左左乘矩陣乘矩陣A=(aij)m n, 相當(dāng)于把相當(dāng)于把A的第的第j 行乘數(shù)行乘數(shù)k加到加到A的第的第i 行上行上(ri+krj).1112111221212nijijinjnjjjnmmmnaaaakaakaaaaaaaaa 1112112121211( ( )11niiinmjjjnmmmnaaaaaakEij k Aaaaaaa 第第i 行行 第第j 行行 類似地類似地, 以以En(ji(k)右右乘矩陣乘矩陣A=

2、(aij)m n, 其其結(jié)果相當(dāng)于把結(jié)果相當(dāng)于把A的第的第j 列乘數(shù)列乘數(shù)k加到加到A的第的第i 列上列上(ci+kcj).經(jīng)過(guò)初等行變換經(jīng)過(guò)初等行變換, 可把矩陣化為行階梯形矩陣可把矩陣化為行階梯形矩陣, 其其特點(diǎn)特點(diǎn)是是: 可畫(huà)出一條階梯線可畫(huà)出一條階梯線, 線的下方全為線的下方全為0; 每個(gè)臺(tái)階每個(gè)臺(tái)階只有一行只有一行, 臺(tái)階數(shù)即是非零行的行數(shù)臺(tái)階數(shù)即是非零行的行數(shù), 階梯線的豎線階梯線的豎線(每段豎線的長(zhǎng)度為一行每段豎線的長(zhǎng)度為一行)后面的第一個(gè)元素為非零元后面的第一個(gè)元素為非零元,也就是非零行的第一個(gè)非零元也就是非零行的第一個(gè)非零元.經(jīng)過(guò)初等行變換經(jīng)過(guò)初等行變換, 行階梯形矩陣還可以

3、進(jìn)一步化行階梯形矩陣還可以進(jìn)一步化為行最簡(jiǎn)形矩陣為行最簡(jiǎn)形矩陣, 其其特點(diǎn)特點(diǎn)是是: 非零行的非零首元為非零行的非零首元為1, 且且這些非零元所在列的其它元素都為這些非零元所在列的其它元素都為0. 若在矩陣若在矩陣A中有一個(gè)中有一個(gè)r 階子式階子式D非零非零, 且所有的且所有的r+1階子式階子式(如果存在的話如果存在的話)都為零都為零, 則稱則稱D為為矩陣矩陣A的一個(gè)的一個(gè)最高階非零子式最高階非零子式, 稱稱數(shù)數(shù) r 為為矩陣矩陣A的秩的秩, 記作記作R(A). 如果如果A中有一個(gè)中有一個(gè)r 階子式非零階子式非零, 則則 R(A) r .如果如果A的所有的的所有的r+1階子式都為零階子式都為零

4、, 則則 R(A) r .行階梯形矩陣的秩等于非零行的行數(shù)行階梯形矩陣的秩等于非零行的行數(shù).若若A為為n階可逆矩陣階可逆矩陣, 則則(1) A的最高階非零子式為的最高階非零子式為|A|; (2) R(A)=n;(3) A的標(biāo)準(zhǔn)形為單位矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形為單位矩陣E; (4) A E.性質(zhì)性質(zhì)1: 0 R(Am n) minm, n;性質(zhì)性質(zhì)2: R(AT) = R(A);性質(zhì)性質(zhì)3: 若若A B, 則則R(A) = R(B);性質(zhì)性質(zhì)4: 若若P, Q可逆可逆, 則則R(PAQ) = R(A); 性質(zhì)性質(zhì)5: maxR(A), R(B) R(A B) R(A) + R(B), 特別當(dāng)特別當(dāng)B = b

5、時(shí)時(shí), R(A) R(A b) R(A) + 1;性質(zhì)性質(zhì)6: R(A + B) R(A) + R(B); 性質(zhì)性質(zhì)7: R(AB) minR(A), R(B);性質(zhì)性質(zhì)8: 若若Am nBn l =O, 則則R(A)+R(B) n. 把矩陣用初等行變換變成為行階梯形矩陣把矩陣用初等行變換變成為行階梯形矩陣, 行階行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)就是矩陣的秩梯形矩陣中非零行的行數(shù)就是矩陣的秩.(注意：行變注意：行變換與列變換不能同時(shí)進(jìn)行！換與列變換不能同時(shí)進(jìn)行！) (2) 初等變換法初等變換法 (1) 利用定義利用定義 (矩陣的階數(shù)矩陣的階數(shù) )3 求矩陣秩的方法求矩陣秩的方法尋找矩陣中非零子式的最

6、高階數(shù)尋找矩陣中非零子式的最高階數(shù); 齊次線性方程組的解法齊次線性方程組的解法: 系數(shù)矩陣化成行最簡(jiǎn)形系數(shù)矩陣化成行最簡(jiǎn)形矩陣矩陣, 便可寫(xiě)出其通解便可寫(xiě)出其通解. 非齊次線性方程組的解法非齊次線性方程組的解法: 增廣矩陣化成行階梯增廣矩陣化成行階梯形矩陣形矩陣, 便可判斷其是否有解便可判斷其是否有解. 若有解若有解, 化成行最簡(jiǎn)形化成行最簡(jiǎn)形矩陣矩陣, 便可寫(xiě)出其通解便可寫(xiě)出其通解. 定理定理1: n元線性方程組元線性方程組Am nx=b (1) 無(wú)解的充分必要條件是無(wú)解的充分必要條件是R(A)R(A,b); (2) 有唯一解的充分必要條件是有唯一解的充分必要條件是R(A)=R(A,b)=n

7、; (3) 有無(wú)窮多解的充分必要條件是有無(wú)窮多解的充分必要條件是R(A)=R(A,b)n. 把把行最簡(jiǎn)形行最簡(jiǎn)形中中r 個(gè)非零行的個(gè)非零行的所對(duì)應(yīng)的未所對(duì)應(yīng)的未知量取作知量取作, 其余其余nr個(gè)未知量取作自由未個(gè)未知量取作自由未知量知量, 并令自由未知量分別取并令自由未知量分別取c1, c2, cnr , 由由B(或或A)的行最簡(jiǎn)形即可寫(xiě)出含有的行最簡(jiǎn)形即可寫(xiě)出含有nr個(gè)參數(shù)的通解個(gè)參數(shù)的通解.)(BA)(1BAE 初初等等行行變變換換.1BAX BA 1BAE初初等等列列變變換換.1 BAX)(TTBA)(1TTBAE 初初等等行行變變換換TTTBAX1)( 或者或者(1) AX=B(2)

8、XA=B.1 BAX 注意注意: 用初等行變換求逆矩陣時(shí)用初等行變換求逆矩陣時(shí), 必須始終用必須始終用行變行變換換, 其間其間不能作任何列變換不能作任何列變換. 同樣地同樣地, 用初等列變換求用初等列變換求逆矩陣時(shí)逆矩陣時(shí), 必須始終用列變換必須始終用列變換, 其間不能作任何行變換其間不能作任何行變換. 例例3: 當(dāng)當(dāng)a取何值時(shí)取何值時(shí), 下述齊次線性方程組有非零解下述齊次線性方程組有非零解, 并且求出它的通解并且求出它的通解.0323002204321432143214321 axxxxxaxxxxxxxxxxx解法一解法一: 系數(shù)矩陣系數(shù)矩陣A的行列式為的行列式為aaA3231112121

9、1111| 3050212010101111 aa2000010010101111 aa)2)(1( aa11111010121201001111000132310000 當(dāng)當(dāng)a = 1時(shí)時(shí), 把系數(shù)矩陣把系數(shù)矩陣A化成最簡(jiǎn)形化成最簡(jiǎn)形:,01014321 kxxxxx從而得到方程組的通解從而得到方程組的通解:k為任意常數(shù)為任意常數(shù).當(dāng)當(dāng)a = 1或者或者a=2時(shí)時(shí), |A|=0, 方程組有非零解方程組有非零解. 00000300101011112323121121211111 0000010010100001當(dāng)當(dāng)a=2時(shí)時(shí), 把系數(shù)矩陣把系數(shù)矩陣A化成最簡(jiǎn)形化成最簡(jiǎn)形:,10104321 k

10、xxxxx從而得到方程組的通解從而得到方程組的通解:k為任意常數(shù)為任意常數(shù). aaA32311121211111 3050212010101111aa解法二解法二: 用初等行變換把系數(shù)矩陣用初等行變換把系數(shù)矩陣A化為階梯形化為階梯形 2000010010101111aa 當(dāng)當(dāng)a= 1或者或者a=2時(shí)時(shí), R(A)n時(shí)，必有行列式0|AB(B) 當(dāng)mn時(shí)，必有行列式0|AB(C) 當(dāng)nm時(shí)，必有行列式0|AB(D) 當(dāng)nm時(shí)，必有行列式0|AB2010年期末考題年期末考題2.已知 P為3階非零方陣，且滿足PQ=0,則( ),96342321tQ(A) t=6時(shí)，P的秩必為1；(B) t=6時(shí)，P

11、的秩必為2；(C) 時(shí)，P的秩必為1；(B) 時(shí)，P的秩必為2；6t6t2010年期末考題年期末考題2.設(shè)設(shè)A, B為為n階非零方陣階非零方陣, 且且AB=O , 則則A和和B的秩的秩( ) A. 必有一個(gè)為零必有一個(gè)為零 B. 都小于都小于nC. 一個(gè)小于一個(gè)小于n，一個(gè)等于，一個(gè)等于n D. 都等于都等于nB2009年期末考題年期末考題(線代線代I) 002120110719214321ccxxxx答答案案： 6242163511325)12.(432143214321xxxxxxxxxxxx通通解解：求求下下列列非非齊齊次次方方程程組組的的分分四四2009年期末考題年期末考題(線代線代I

12、I)1、設(shè)、設(shè)A與與B均為均為n階方陣，則下列結(jié)論中成立的是階方陣，則下列結(jié)論中成立的是( )A. |AB|=0,則則A=0或或B=0; B. |AB|=0,則則|A|=0或或|B|=0；C. AB=0,則則A=0或或B=0; D. AB0,則則|A|0或或|B|0； B2010選考題選考題 143132111830520002)8.(3X求解矩陣方程求解矩陣方程分分 2235231727171121X答案：答案：2010選考題選考題4設(shè)非齊次線性方程組設(shè)非齊次線性方程組Ax = b有有n個(gè)未知量個(gè)未知量, m個(gè)方程個(gè)方程, 且且R(A) = r, 則此方程組則此方程組( )。(A) 當(dāng)當(dāng)r

13、= m時(shí)時(shí), 有解有解; (B) 當(dāng)當(dāng)r = n時(shí)時(shí), 有唯一解有唯一解; (C) 當(dāng)當(dāng)m = n時(shí)時(shí), 有唯一解有唯一解; (D) 當(dāng)當(dāng)r n; (B)(D) R(A) m.bxAnm 六、六、(10分分) 求方程組求方程組 642136511354432143214321xxxxxxxxxxxx 的通解的通解.2008年期末考題年期末考題(I)2已知A= B0, B為3階矩陣, 且AB = 0, 則t = .,03032321 t(A) 9, (B) 27, (C) 18, (D) 27.2008年期末考題年期末考題(II)12312112323012xAa,b,xxxa 例：設(shè)例：設(shè)求求 為何值時(shí)為何值時(shí)(1)齊次線性方程組齊次線性方程組 只有零解只有零解(2)線性方程組線性方程組 無(wú)解無(wú)解a0Ax Axb 例：例： 為何值時(shí)，線性方程組為何值時(shí)，線性方程組1232123123424xxkxxkxxkxxx 有唯一解，無(wú)解，有無(wú)窮多組解？若有解，有唯一解，無(wú)解，有無(wú)窮多組解？若有解，求出其全部