線性代數(shù)高等代數(shù)知識點(diǎn)總結(jié)

1、一、知識結(jié)構(gòu)框圖一、知識結(jié)構(gòu)框圖概念概念計(jì)算計(jì)算性質(zhì)性質(zhì)展開展開證證|A|=0應(yīng)用應(yīng)用行列式行列式一、行列式知識概述一、行列式知識概述 概念概念不同行不同列的元素的乘積的代數(shù)和。不同行不同列的元素的乘積的代數(shù)和。性質(zhì)性質(zhì)經(jīng)轉(zhuǎn)置行列式的值不變；經(jīng)轉(zhuǎn)置行列式的值不變；互換兩行行列式變號；互換兩行行列式變號；某行有公因子可提到行列式符號外；某行有公因子可提到行列式符號外；拆成行列式的和；拆成行列式的和；消法變換。消法變換。展開展開計(jì)算計(jì)算數(shù)字?jǐn)?shù)字型型抽象抽象型型三角化法；三角化法；重要行列式法；重要行列式法；加邊法；加邊法；遞推法。遞推法。用行列式性質(zhì)；用行列式性質(zhì)；用矩陣性質(zhì)；用矩陣性質(zhì)；用特征值

2、；用特征值；利用矩陣相似。利用矩陣相似?！緹狳c(diǎn)熱點(diǎn)】注意與矩陣的運(yùn)算相聯(lián)系的一些行列式注意與矩陣的運(yùn)算相聯(lián)系的一些行列式的計(jì)算及其證明的計(jì)算及其證明. . 證證|A|=0AX=0有非零解；有非零解；反證法；反證法；R(A)n;A可逆；可逆；|A|= - |A|；A的列向量組線性相關(guān)；的列向量組線性相關(guān)；0是是A的特征值；的特征值；應(yīng)用應(yīng)用AX=0有非零解；有非零解；伴隨矩陣求逆法；伴隨矩陣求逆法；克拉姆法則克拉姆法則;A可逆的證明；可逆的證明；線性相關(guān)線性相關(guān)(無關(guān)無關(guān))的判定；的判定；特征值計(jì)算。特征值計(jì)算。二、特殊行列式的值二、特殊行列式的值 三、有關(guān)行列式的幾個重要公式三、有關(guān)行列式的幾

3、個重要公式1、若、若A是是n階矩陣，則階矩陣，則*1| |nAA2、若、若A,B是是n階矩陣，則階矩陣，則| |ABA B3、若、若A是是n階矩陣，則階矩陣，則|nkAkA4、若、若A是是n階可逆矩陣，則階可逆矩陣，則11| |AA5、若、若A是是n階矩陣，階矩陣，(1,2, )iin是是A的的n個特征值，則個特征值，則1|niiA6、若、若A與與B相似，則相似，則| |AB行列式的計(jì)算（重點(diǎn)）行列式的計(jì)算（重點(diǎn)）常用方法：常用方法：u三角化法三角化法u加邊法加邊法u歸納法歸納法u化為已知行列式（一些有固定形式的行列化為已知行列式（一些有固定形式的行列式，如：三角形、爪型、式，如：三角形、爪型

4、、“范德蒙范德蒙”行列式行列式等）等）u行列式計(jì)算行列式計(jì)算（重點(diǎn)）（重點(diǎn)）1、具體階數(shù)行列式計(jì)算、具體階數(shù)行列式計(jì)算2、較簡單的、較簡單的n階行列式計(jì)算階行列式計(jì)算u與行列式定義、性質(zhì)有關(guān)的問題與行列式定義、性質(zhì)有關(guān)的問題u需利用行列式進(jìn)行判定的問題需利用行列式進(jìn)行判定的問題如：如：1、“Crammer”法則判定方程組的解況法則判定方程組的解況2、矩陣可逆性、矩陣可逆性3、向量組相關(guān)性（向量個數(shù)向量維數(shù)）、向量組相關(guān)性（向量個數(shù)向量維數(shù)）4、兩個矩陣相似的必要條件、兩個矩陣相似的必要條件5、矩陣正定、半正定的必要條件、矩陣正定、半正定的必要條件矩陣矩陣運(yùn)算運(yùn)算行行列列式式初等變換初等變換和標(biāo)

5、準(zhǔn)形和標(biāo)準(zhǔn)形特殊特殊矩陣矩陣14轉(zhuǎn)置轉(zhuǎn)置取逆取逆伴隨伴隨加法(A+B)T=AT+BT數(shù)乘(kA)T= k AT(kA) 1= k 1A 1 (kA)*= kn 1A*乘法(AB)T= BT AT(AB) 1= B 1 A 1(AB)*= B*A*轉(zhuǎn)置(AT)T=A(AT) 1=(A 1)T(AT)*=(A*)T取逆(A 1) 1=A(A 1)*(A*) 1伴隨(A*)*=|A|n 2A*其它A-1=|A|-1A*AA*=A*A=|A|I當(dāng)當(dāng)A可逆時，可逆時，A*|A|A 115行列式行列式秩數(shù)秩數(shù)加法r(A+B)r(A)+r(B)數(shù)乘|kA|=kn|A|r(kA)=r(A) (k0)乘法|AB

6、|=|A|B|r(A)+r(B)-nr(AB)r(A), r(B)轉(zhuǎn)置|AT|=|A|r(AT)=r(A)取逆|A 1|=|A| 1伴隨|A*|=|A|n 1 n, 若若r(A)=n r(A*)= 1, 若若r(A)=n 1 0, 若若r(A)0 p=n A=PTP k0.00, 0,. 5 .00, 0,. 4.)(,. 3 .)(,. 2.,. 1 :222BAABnBABAABBABABABAnBABABABAAATTT或則若階方陣均為若或則有若矩陣則階方陣為若則為同階矩陣若則若判斷題.,.10.)(,. 9 .)(,. 8 .,. 7.,. 61111111是同階方陣可交換的必要條件為

7、與則為同階可逆方陣若則為同階可逆方陣若則階方陣都是若有對于任意矩陣BABABABABAABCABCCBABAABnBABAABBA1.錯（不滿足消去律） 2 對 3 錯（不滿足交換律）4.錯（不一定是方陣）5.對6 錯 （同4）7對8 對9 錯（不存在關(guān)于加法的公式，同理行列式也不存在關(guān)于加法的公式）10對向量線性關(guān)系線性相關(guān)線性無關(guān)線性表示等價極大無關(guān)組秩數(shù)22線性表示： 列向量組1,.,r可由1,.,s線性表示當(dāng)且僅當(dāng)有矩陣C使得(1,.,r)=(1,.,s)C. 進(jìn)一步，C的第k列恰為k的表示系數(shù) 線性表示有傳遞性 被表示者的秩數(shù)表示者的秩數(shù)向量組等價：對于向量組S，T，下列條件等價1.

8、 S和T等價，即S,T可以互相表示2. S,T的極大無關(guān)組等價3. S,T的秩數(shù)相等，且其中之一可由另一表示23線性相關(guān)與線性表示： 1,.,r線性相關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)其中之一可由其余的線性表示 若,1,.,r線性相關(guān),而1,.,r線性無關(guān),則可由1,.,r線性表示,且表法唯一線性無關(guān)：對于向量組1,.,r下列條件等價 1,.,r線性無關(guān) 當(dāng)c1,.,cr不全為0時，必有c11+.+crr0 當(dāng)c11+.+crr0時，必有c1.cr0 1,.,r的秩數(shù)等于r (1,.,r)是列滿秩矩陣24極大無關(guān)組與秩數(shù)：1.1,.,rS是S的一個極大無關(guān)組當(dāng)且僅當(dāng) 1,.,r線性無關(guān) S的每個向量都可由1,.,r線

9、性表示2.秩S極大無關(guān)組中向量的個數(shù)3.若秩Sr,則任何r個無關(guān)的向量都是極大無關(guān)組4.矩陣的秩數(shù)行向量組的秩數(shù)列向量組的秩數(shù)25(*)000221122221211212111 mnmnnmmmmxaxaxaxaxaxaxaxaxa齊次線性方程組齊次線性方程組有非零解有非零解判定方程判定方程線線性性相相關(guān)關(guān)m ,21特別當(dāng)向量組的特別當(dāng)向量組的“向量個數(shù)向量維數(shù)向量個數(shù)向量維數(shù)”時，則有：時，則有：.0,;0,2121”向向量量組組線線性性相相關(guān)關(guān)“”向向量量組組線線性性無無關(guān)關(guān)“ nn當(dāng)當(dāng)向量維數(shù)向量維數(shù)向量個數(shù)向量個數(shù)”時，則有向量組必時，則有向量組必線性相關(guān)線性相關(guān).u“短短”向量組無

10、關(guān)必有向量組無關(guān)必有“長長”向量組無關(guān)向量組無關(guān)u“長長”向量組相關(guān)必有向量組相關(guān)必有“短短”向量組相關(guān)向量組相關(guān)u向量組向量組“部分相關(guān)部分相關(guān)”必有必有“整體相關(guān)整體相關(guān)”u向量組向量組“整體無關(guān)整體無關(guān)”必有必有“部分無關(guān)部分無關(guān)”u“大大”向量組被向量組被“小小”向量組表出，向量組表出，“大大”向量組向量組線性相關(guān)線性相關(guān).u“線性無關(guān)線性無關(guān)”的向量組只可能被的向量組只可能被“不小于不小于”它的向它的向量組線性表出量組線性表出.u任何向量組只可能被任何向量組只可能被“秩不小于它的秩秩不小于它的秩”的向量組的向量組線性表出線性表出.u“等價無關(guān)組等價無關(guān)組”具有相同的具有相同的“大、小

11、大、小” m 21將向量組按列排放將向量組按列排放初等行變換初等行變換 rmrrrrmrrmrrAAAAAAAAAAAA121222211111211r 1i 2i ri 一個極大無關(guān)組一個極大無關(guān)組riii ,21原向量組一個極大無關(guān)組原向量組一個極大無關(guān)組（滿秩）（滿秩）nAr )(）可逆（非奇異、非退化可逆（非奇異、非退化A0 A關(guān)關(guān)個個行行（列列）向向量量線線性性無無的的nA只有零解只有零解齊次線性方程組齊次線性方程組oAX 有唯一解有唯一解非齊次線性方程組非齊次線性方程組bAX （不滿秩）（不滿秩）nAr )(不可逆（奇異、退化）不可逆（奇異、退化）A0 A關(guān)關(guān)個個行行（列列）向向量

12、量線線性性相相的的nA有非零解有非零解齊次線性方程組齊次線性方程組oAX 為線性無關(guān)向量組為線性無關(guān)向量組，m 21正交化、單位化正交化、單位化Schmidtm ，單位正交向量組單位正交向量組21:與初始向量組等價與初始向量組等價為正交向量組為正交向量組，m 21為線性無關(guān)向量組為線性無關(guān)向量組，m 21.階正交矩陣階正交矩陣為為，則稱矩陣，則稱矩陣滿足滿足階方陣階方陣若若nAEAAAnT .)4(,)3(; 11)2(;)1(,*11也為正交陣也為正交陣也是正交陣；也是正交陣；）的轉(zhuǎn)置（即的轉(zhuǎn)置（即或或階正交矩陣，則有：階正交矩陣，則有：為為若若ABAAAAAAnBATT 線性方程組線性方程

13、組的表示 方程式： 矩陣式：Ax=b, 其中A=(aij)mn, x=(xi)n1, b=(bi)m1 向量式：x11+.+xnn=b, 其中i是xi的系數(shù)列11 11221121 1222221 122nnnnmnnmmma xa xa xba xaxaxbaxaxaxb 33解的判定: 1. n元線性方程組Ax=b有解系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩數(shù)相等. 具體地， 當(dāng)秩A秩(A b)時，方程組無解 當(dāng)秩A秩(A b)n時，方程組有唯一解 當(dāng)秩A秩(A b)n時，方程組有無窮解2. 線性方程組有解常數(shù)列可由系數(shù)列線性表示. 此時, 解恰為表示的系數(shù)34解法Cramer法則Gauss-Jordan消

14、元法： 用行變換和列換法變換將增廣矩陣化成行最簡形 寫出行最簡形對應(yīng)的方程組 取每個方程的第一個變量為主變量，其余的為自由變量，并解出主變量 寫出參數(shù)解或通解35解的結(jié)構(gòu)齊次線性方程組Ax=0： 解空間：解的集合 基礎(chǔ)解系：解空間的基底 通解：設(shè)1,s是一個基礎(chǔ)解系,則通解為=c11+.+css，其中c1,.,cs是任意常數(shù) 解空間的維數(shù)未知數(shù)個數(shù)系數(shù)矩陣的秩數(shù) 設(shè)秩A=r,則Ax=0的任何n-r個無關(guān)的解都是基礎(chǔ)解系36一般線性方程組Ax=b： Axb和Ax=0的解的關(guān)系： Axb的兩個解之差是Ax=0的解 Axb的解與Ax=0的解之和是Ax=b的解 Ax=b的解的線性組合是 設(shè)Sb和S0分

15、別表示Axb和Ax=0的解集合，則SbS0+，Sb 通解：設(shè)1,s是一個基礎(chǔ)解系,是Ax=b的一個解, 則通解為=c11+.+css+，其中c1,.,cs是任意常數(shù)Ax=0的解，當(dāng)系數(shù)和0時；Ax=b的解，當(dāng)系數(shù)和1時.37矩陣計(jì)算行列式：化三角形；展開+遞推求逆矩陣：行變換；伴隨求秩數(shù)：初等變換；定義38計(jì)算方程組的計(jì)算1. 求基礎(chǔ)解系： Gauss-Jordan消元法(行變換+列換法) 已知秩Ar，則任何r個無關(guān)解都是基礎(chǔ)解系2. 求通解：Gauss-Jordan消元法(行變換+列換法)3. 帶參數(shù)的方程組：先化簡，再判定. 可先考慮唯一解的情形.特別是有系數(shù)行列式時. 39向量的計(jì)算設(shè)S

16、：1,.,s是n元向量組(無論行或列) 求S的秩數(shù)：S的秩數(shù)=它組成的矩陣的秩數(shù) 判斷S的相關(guān)性： 設(shè)x11+.+xss=0,將其轉(zhuǎn)化成x的方程組.若方程組有非零解，則S相關(guān)；否則，無關(guān). 求S的秩數(shù).若秩Ss,則相關(guān)；若秩Ss,則無關(guān) 線性表示：令=x11+.+xss,將其轉(zhuǎn)化成x的方程組.若方程組有(唯一)解，則可由S(唯一)表示，且方程組的解就是表示的系數(shù)；否則，不可由S表示.40 求極大無關(guān)組： 若已知秩Sr，則在S中找出r的無關(guān)的向量即可 將S中的向量寫成列的形式組成矩陣，對矩陣作行變換，化成階梯形，則S與階梯矩陣的列向量組線性關(guān)系一致.41. 0,. 2.,. 1212211212

17、12122112121mmmmnmmmmmnmkkkkkkkkkmRkkkkkkkkkmR則必有成立使個數(shù)如果存在且線性無關(guān)設(shè)必不全為零則成立使個數(shù)如果存在且線性相關(guān)設(shè)是非題.,. 3 22112121成立都有個不全為零的數(shù)則對任意且線性相關(guān)設(shè)mmmnmkkkkkkmR.,.,. 5 .,. 421221121212122112121線性無關(guān)則成立都有對于任意不全為零的數(shù)設(shè)線性無關(guān)則成立使若存在全為零的數(shù)設(shè)mmmmnmmmmmnmkkkkkkRkkkkkkR.,.,. 7 .,. 6 212211212122112121線性無關(guān)則使零的數(shù)若存在無窮多組不全為設(shè)成立使不全為零的數(shù)則存在無窮多組且

18、線性相關(guān)設(shè)mmmmnmmmmnmkkkkkkRkkkkkkR.1,.10.,. 9 .,. 82121212121關(guān)個向量的部分組線性相則必存在且線性相關(guān)若關(guān)則任一部分組必線性無且線性無關(guān)若使則必存在數(shù)線性相關(guān)且若sRRRnsnsn.,.1121性無關(guān)其中任意兩個向量均線條件是則它們線性無關(guān)的充要若nsR.,0, 0 ,.1212111221112121線性表示不能由則成立使得為零的數(shù)已知存在一組不全且線性相關(guān)若ssssssnskkkkkkR.,.,.14.,.132121212121的一個最大線性無關(guān)組為則均能由它們線性表示且其中部分向量組若向量階子式不為零中所有則的秩為若矩陣siriisiriinsRrArA.,.152121lsRlsn則等價與中向量組.,.16的行向量組線性相關(guān)則必有的列向量組線性相關(guān)若為任一矩陣AAA.)2() 1 (),2() 1 (),2() 1 (.17必等價與則秩若秩與中兩個向量組設(shè)nR.,.18的行向量組也等價的行向量組與則列向量組等價的的列向量組與若為任意兩個矩陣BABABA.) 1 ()2(,)2() 1 (.) 1 (,: )2(,) 1 (),1 (.20.) 1 (,)2() 1 ().2(),1 (.1921的一個最大線性