第5章 立體的截交與相貫

1、第一節(jié)第一節(jié) 平面立體的投影平面立體的投影第二節(jié)第二節(jié) 平面立體的截交線平面立體的截交線第三節(jié)第三節(jié) 曲面立體的投影曲面立體的投影第四節(jié)第四節(jié) 曲面立體的截交線曲面立體的截交線第五節(jié)第五節(jié) 兩平面立體的相貫線兩平面立體的相貫線第六節(jié)第六節(jié) 平面立體與曲面立體的相貫線平面立體與曲面立體的相貫線第七節(jié)第七節(jié) 兩曲面立體的相貫線兩曲面立體的相貫線 平面立體是由若干個(gè)平面圍成的多面體。平面立體是由若干個(gè)平面圍成的多面體。 立體表面上面面相交的交線稱(chēng)為棱線。立體表面上面面相交的交線稱(chēng)為棱線。 棱線與棱線的交點(diǎn)稱(chēng)為頂點(diǎn)。棱線與棱線的交點(diǎn)稱(chēng)為頂點(diǎn)。 求平面立體的投影就是作出組成立體求平面立體的投影就是作出組

2、成立體的各表面和各條棱線的投影，看得見(jiàn)的棱的各表面和各條棱線的投影，看得見(jiàn)的棱線畫(huà)成實(shí)線，看不見(jiàn)的畫(huà)虛線。線畫(huà)成實(shí)線，看不見(jiàn)的畫(huà)虛線。 1. 棱柱的投影 2. 求棱柱體表面上的點(diǎn)和線 解題時(shí)應(yīng)首先確定所給點(diǎn)、線在哪個(gè)表面上，解題時(shí)應(yīng)首先確定所給點(diǎn)、線在哪個(gè)表面上，再根據(jù)表面求點(diǎn)和線的方法，利用平面投影的積聚再根據(jù)表面求點(diǎn)和線的方法，利用平面投影的積聚性或在平面內(nèi)作輔助線求解。性或在平面內(nèi)作輔助線求解。棱柱體表面上的點(diǎn)和線，棱柱體表面上的點(diǎn)和線，是：是： 若點(diǎn)、線所在表面的投影可見(jiàn)，則該點(diǎn)、線若點(diǎn)、線所在表面的投影可見(jiàn)，則該點(diǎn)、線的同面投影可見(jiàn)；否則不可見(jiàn)。的同面投影可見(jiàn)；否則不可見(jiàn)。 例例5-

3、1已知正三棱柱表面上點(diǎn)已知正三棱柱表面上點(diǎn)M、N的的V投影投影m、（n）及）及K點(diǎn)的點(diǎn)的H投影投影k，求，求M、N、K點(diǎn)的其余兩投影。點(diǎn)的其余兩投影。 1 1）求）求m m、n n點(diǎn)點(diǎn)2 2）求）求m m”、n n”點(diǎn)點(diǎn) 3 3）求）求k k點(diǎn)點(diǎn)4 4）求）求k k”點(diǎn)點(diǎn)5 5）判別可見(jiàn)性）判別可見(jiàn)性1. 棱錐的投影2. 求棱錐體表面上的點(diǎn)和線 例例52已知正四棱錐已知正四棱錐表面上折線的表面上折線的H面投影面投影abced，求四棱錐的求四棱錐的W投投影及折線影及折線ABCED的其余兩投影的其余兩投影.3 3）求）求d d”、d d、c c” 、c c4 4）求）求e e” 、e e5 5）依

4、次連接各點(diǎn)）依次連接各點(diǎn)6 6）判別可見(jiàn)性）判別可見(jiàn)性1 1）求）求a a、a a”2 2）求）求b b、b b完成習(xí)題冊(cè)完成習(xí)題冊(cè)4-14-1的（的（1 1）(2)(5)(2)(5)4-34-3的（的（1 1） 平面與立體相交，可視為立體被平面所截。平面與立體相交，可視為立體被平面所截。截割立體的平面稱(chēng)為截平面；截割立體的平面稱(chēng)為截平面；截平面與立體表面的交線稱(chēng)為截交線；截平面與立體表面的交線稱(chēng)為截交線；由截交線所圍成的平面圖形稱(chēng)為截面（或斷面）。由截交線所圍成的平面圖形稱(chēng)為截面（或斷面）。 截交線的性質(zhì)：截交線的性質(zhì)：（1 1）封閉性）封閉性 截平面與平面立體相交所得的截交線，是一截平面與

5、平面立體相交所得的截交線，是一條封閉的平面多邊形折線。條封閉的平面多邊形折線。（2 2）共有性（雙重性）共有性（雙重性） 截交線既屬于截平面，又屬于立體的表面，所截交線既屬于截平面，又屬于立體的表面，所以截交線是共有線。以截交線是共有線。 截面上的每一個(gè)頂點(diǎn)都是棱線與截平面的交點(diǎn)，截面上的每一個(gè)頂點(diǎn)都是棱線與截平面的交點(diǎn)，稱(chēng)為折點(diǎn)；每一條邊均是立體表面與截平面的交線，稱(chēng)為折點(diǎn)；每一條邊均是立體表面與截平面的交線，稱(chēng)為折線稱(chēng)為折線。 折點(diǎn)法折點(diǎn)法交線法交線法2.求截交線的步驟： 1 1）先找出截交線的積聚投影；）先找出截交線的積聚投影； 2 2）求出各折點(diǎn)；）求出各折點(diǎn)； 3 3）連接各折點(diǎn)。）

6、連接各折點(diǎn)。注意：必須在同一表面上的相鄰兩點(diǎn)才能相連；注意：必須在同一表面上的相鄰兩點(diǎn)才能相連； 4 4）多個(gè)截平面還應(yīng)求出截平面間的交線；）多個(gè)截平面還應(yīng)求出截平面間的交線； 5 5）判別可見(jiàn)性。）判別可見(jiàn)性。1.求截交線的方法 例例53已知截平面已知截平面P截割四棱錐體的截割四棱錐體的V投影，投影，完成截?cái)囿w的其它兩個(gè)投影。完成截?cái)囿w的其它兩個(gè)投影。 1 1）找出四個(gè)折點(diǎn)的）找出四個(gè)折點(diǎn)的V V投影。投影。 2 2）求出交點(diǎn)的）求出交點(diǎn)的H H、W W投影。投影。 3 3）連接各折點(diǎn)的）連接各折點(diǎn)的H、W投影投影。 4 4）加深加深H H、W W面上面上四棱錐體的四棱錐體的棱線棱線。 常見(jiàn)

7、的曲面立體是回轉(zhuǎn)體，主要有圓柱、圓錐、常見(jiàn)的曲面立體是回轉(zhuǎn)體，主要有圓柱、圓錐、球、圓環(huán)等。球、圓環(huán)等。 曲面立體是由曲面或曲面與平面圍合而成的。曲面立體是由曲面或曲面與平面圍合而成的。 曲面上可見(jiàn)與不可見(jiàn)的分界線稱(chēng)為轉(zhuǎn)向輪廓線。曲面上可見(jiàn)與不可見(jiàn)的分界線稱(chēng)為轉(zhuǎn)向輪廓線。 曲面立體表面上取點(diǎn)、線，應(yīng)本著曲面立體表面上取點(diǎn)、線，應(yīng)本著“點(diǎn)在線上，點(diǎn)在線上，線在面上線在面上”的原則。的原則。1. 投影 用單點(diǎn)用單點(diǎn)長(zhǎng)畫(huà)線畫(huà)出軸長(zhǎng)畫(huà)線畫(huà)出軸線和圓的中心線和圓的中心線（線（H H投影）；投影）； 畫(huà)出頂畫(huà)出頂面、底面圓的面、底面圓的三面投影；三面投影； 畫(huà)轉(zhuǎn)向畫(huà)轉(zhuǎn)向輪廓線的三面輪廓線的三面投影。投影。

8、2. 求圓柱體表面上的點(diǎn)和線作圖步驟：作圖步驟： 1 1）求）求m m、m m” 2 2）求）求n n、n n” ，注意，注意n n”不可見(jiàn)不可見(jiàn) 例例54已知圓柱面上的點(diǎn)已知圓柱面上的點(diǎn)M、N的正面投影，的正面投影，求其另兩個(gè)投影。求其另兩個(gè)投影。 例例55已知圓柱面上的已知圓柱面上的ADCEB線段的正面投影線段的正面投影,求其另兩個(gè)投影。求其另兩個(gè)投影。 1 1）求端點(diǎn)）求端點(diǎn)A A、B B的的H H、W W投影投影 2 2）求點(diǎn)）求點(diǎn)C C的投影的投影c c、c c” 3 3）求中間點(diǎn)）求中間點(diǎn)D D、E E的的H、W投影投影 4 4）判別可見(jiàn)性并連線）判別可見(jiàn)性并連線1. 投影2. 求

9、圓錐體表面上的點(diǎn)和線 例例56已知圓錐體上點(diǎn)已知圓錐體上點(diǎn)M的正面投影的正面投影m，求，求m、m”。 1 1）連接）連接s sm m延長(zhǎng)交底圓于延長(zhǎng)交底圓于t t，求出求出t t、t t; ; 2 2）在素線）在素線STST上求出上求出m m、m m。 1 1）過(guò)點(diǎn)）過(guò)點(diǎn)M M作緯作緯 圓，圓，m m點(diǎn)必在緯圓點(diǎn)必在緯圓 的的H H投影上。投影上。 2 2）由）由m m、m m 求出求出mm。1. 球體的投影2. 求球體表面上的點(diǎn)和線 例例58已知圓已知圓球面上的線段球面上的線段CBAFE和和CDE的正面投影，畫(huà)出的正面投影，畫(huà)出球體的球體的W投影，并求其投影，并求其表面上曲線表面上曲線CBA

10、FE和和CDE的其余兩面投影。的其余兩面投影。1 1）畫(huà)出球體的）畫(huà)出球體的W W投投 影；影；2 2）畫(huà)出水平半圓畫(huà)出水平半圓 CDECDE的的H H、W W投影投影; ;3 3）求出求出CBAFECBAFE各點(diǎn)各點(diǎn) 的的H、W投影投影;4 4）依次光滑連接）依次光滑連接 同面投影，并注同面投影，并注 意可見(jiàn)性。意可見(jiàn)性。完成習(xí)題冊(cè)完成習(xí)題冊(cè)4-44-4的（的（1 1）（）（2 2）4-54-5的（的（3 3） 曲面體截交線的形狀取決于曲面體的幾何特征，曲面體截交線的形狀取決于曲面體的幾何特征，以及截平面與曲面體的相對(duì)位置。以及截平面與曲面體的相對(duì)位置。一般步驟：一般步驟： 1 1）分析截交

11、線的形狀，確定截交線的積聚投影；）分析截交線的形狀，確定截交線的積聚投影； 2 2）求截交線上的特殊點(diǎn)。）求截交線上的特殊點(diǎn)。 3 3）求截交線上的一般點(diǎn)。）求截交線上的一般點(diǎn)。 4 4）順次將各點(diǎn)光滑連接，并判別其可見(jiàn)性。）順次將各點(diǎn)光滑連接，并判別其可見(jiàn)性。1. 圓柱的截切例例59求解圓柱體被正垂面求解圓柱體被正垂面P截切后的投影。截切后的投影。 1 1）求特殊點(diǎn)。）求特殊點(diǎn)。2 2）求一般點(diǎn)。）求一般點(diǎn)。3 3）依次光滑連接）依次光滑連接 各點(diǎn)，各點(diǎn)，延長(zhǎng)延長(zhǎng)輪輪 廓線廓線到到3 3”、4 4”， 完成投影。完成投影。 例例510已知截切后圓柱的已知截切后圓柱的V面投影和面投影和W投投影

12、，補(bǔ)畫(huà)其影，補(bǔ)畫(huà)其H投影。投影。 1 1）作出圓柱的）作出圓柱的H H投投 影，求出特殊影，求出特殊 點(diǎn)。點(diǎn)。2 2）求一般點(diǎn)。）求一般點(diǎn)。3 3）依次光滑地連依次光滑地連 接各點(diǎn)。接各點(diǎn)。4 4）延長(zhǎng)延長(zhǎng)H H面輪廓線面輪廓線至至3、4點(diǎn)并加深點(diǎn)并加深。2. 圓錐的截切例例511 求截切圓錐體的求截切圓錐體的V、W投影。投影。 1 1）求特殊點(diǎn)。）求特殊點(diǎn)。2 2）求一般點(diǎn)。）求一般點(diǎn)。3 3）依次光滑）依次光滑連接各點(diǎn)。連接各點(diǎn)。4 4）畫(huà)出）畫(huà)出V V、W W面的轉(zhuǎn)向輪廓面的轉(zhuǎn)向輪廓線。線。3. 圓球的截切例例512求正垂面求正垂面P截切圓球后截?cái)嗲蝮w的投影。截切圓球后截?cái)嗲蝮w的投影。1

13、 1）求特殊點(diǎn)。）求特殊點(diǎn)。2 2）求一般點(diǎn)。）求一般點(diǎn)。3 3）光滑連接各）光滑連接各點(diǎn)。點(diǎn)。4 4）完成轉(zhuǎn)向輪）完成轉(zhuǎn)向輪 廓線投影。廓線投影。 兩立體相交又稱(chēng)兩立體相貫，相交的立體兩立體相交又稱(chēng)兩立體相貫，相交的立體稱(chēng)為相貫體，相貫體表面的交線稱(chēng)為相貫線。稱(chēng)為相貫體，相貫體表面的交線稱(chēng)為相貫線。 全貫全貫（有兩條相貫線）（有兩條相貫線）互貫互貫（有一條相貫線）（有一條相貫線） 求兩平面立體相貫線，實(shí)質(zhì)上就是求直線與平求兩平面立體相貫線，實(shí)質(zhì)上就是求直線與平面的交點(diǎn)或求兩平面交線的問(wèn)題。面的交點(diǎn)或求兩平面交線的問(wèn)題。 求相貫線的作圖步驟求相貫線的作圖步驟: : 1 1）分析；）分析； 2

14、2）求側(cè)棱對(duì)另一形體表面的貫穿點(diǎn)；）求側(cè)棱對(duì)另一形體表面的貫穿點(diǎn)； 3 3）求另一形體側(cè)棱對(duì)該形體表面的貫穿點(diǎn)；求另一形體側(cè)棱對(duì)該形體表面的貫穿點(diǎn)； 4 4）連接各交點(diǎn)；）連接各交點(diǎn)； 5 5）判別可見(jiàn)性；）判別可見(jiàn)性； 6 6）將各棱線延長(zhǎng)至相貫點(diǎn)。）將各棱線延長(zhǎng)至相貫點(diǎn)。1. 相貫線的求法 交點(diǎn)法交點(diǎn)法交線法交線法 例例513已知兩三棱柱相貫的已知兩三棱柱相貫的H投影，補(bǔ)全投影，補(bǔ)全V投影，并畫(huà)出相貫體投影，并畫(huà)出相貫體W投影。投影。1 1）求貫穿點(diǎn)）求貫穿點(diǎn)、 、；2 2）求貫穿點(diǎn)）求貫穿點(diǎn)、。3 3）判別可見(jiàn)性并連線。）判別可見(jiàn)性并連線。例例514補(bǔ)全四棱錐與四棱柱的相貫體的補(bǔ)全四棱錐

15、與四棱柱的相貫體的H投影。投影。 1 1）在）在V V面投影中標(biāo)面投影中標(biāo)出出1212個(gè)貫穿個(gè)貫穿點(diǎn)；點(diǎn)； 2 2）求）求四棱柱上下四棱柱上下兩個(gè)水平面兩個(gè)水平面與棱錐體表與棱錐體表面交線的面交線的H H投影。投影。 3 3）判斷可見(jiàn)性，）判斷可見(jiàn)性，依次連接各點(diǎn)；依次連接各點(diǎn)； 4 4）整理輪廓線。）整理輪廓線。 平面立體與曲面立體相交，一般情況下，平面立體與曲面立體相交，一般情況下，相相貫線貫線為為若干段平面曲線若干段平面曲線所組成，特殊情況下，相所組成，特殊情況下，相貫線有直線和曲線組成。貫線有直線和曲線組成。 每一段平面曲線或直線均是平面體表面截切每一段平面曲線或直線均是平面體表面截切

16、曲面體所得的曲面體所得的截交線截交線，每一段曲線或直線的轉(zhuǎn)折，每一段曲線或直線的轉(zhuǎn)折點(diǎn)，均是貫穿點(diǎn)。點(diǎn)，均是貫穿點(diǎn)。 求解平面體和曲面體相貫，是將平面體分解求解平面體和曲面體相貫，是將平面體分解成幾個(gè)平面，分別截割曲面體，成幾個(gè)平面，分別截割曲面體，利用求曲面體截利用求曲面體截交線的方法交線的方法求解。求解。 例例515 已知相貫體的已知相貫體的H投影，完成相貫線的投影，完成相貫線的V投影，畫(huà)出投影，畫(huà)出W投影。投影。 1 1）畫(huà)出）畫(huà)出W W面投影；面投影； 2 2）求特殊點(diǎn)；）求特殊點(diǎn)； 3 3）求一般點(diǎn)；）求一般點(diǎn)； 4 4）連點(diǎn)并判別可）連點(diǎn)并判別可 見(jiàn)性；見(jiàn)性； 5 5）補(bǔ)全相貫體的

17、）補(bǔ)全相貫體的 V V、W W投影。投影。 例例516補(bǔ)全半球與三棱柱相貫體的補(bǔ)全半球與三棱柱相貫體的V、W投影。投影。1 1）分析特殊點(diǎn)）分析特殊點(diǎn)2 2）求特殊點(diǎn)）求特殊點(diǎn)3 3）求一般點(diǎn)）求一般點(diǎn)4 4）判別可見(jiàn)性）判別可見(jiàn)性 并連線并連線5 5）整理輪廓線）整理輪廓線 1. 兩曲面體相貫線的特性2. 兩曲面體相貫線求法封閉性封閉性共有性共有性1 1）利用積聚性（也稱(chēng)表面取點(diǎn)法）利用積聚性（也稱(chēng)表面取點(diǎn)法）2 2）輔助平面法（三面共點(diǎn)原理）輔助平面法（三面共點(diǎn)原理）3 3）輔助球面法）輔助球面法求兩曲面體相貫線的步驟: 1 1）分析）分析 2 2）求特殊點(diǎn)）求特殊點(diǎn) 3 3）求一般點(diǎn)）求

18、一般點(diǎn) 4 4）判別可見(jiàn)性）判別可見(jiàn)性 5 5）光滑連接相貫線）光滑連接相貫線 6 6）整理輪廓線整理輪廓線 例例517利用積聚性求作軸線垂直相交的兩利用積聚性求作軸線垂直相交的兩圓柱的相貫線。圓柱的相貫線。 1 1）求特殊點(diǎn)）求特殊點(diǎn)2 2）求一般點(diǎn)）求一般點(diǎn)3 3）判別可見(jiàn)）判別可見(jiàn) 性，光滑性，光滑 連接各點(diǎn)連接各點(diǎn)3. 輔助平面法 用輔助平面同時(shí)截用輔助平面同時(shí)截切相貫的兩曲面體，得切相貫的兩曲面體，得到兩條截交線，截交線到兩條截交線，截交線的交點(diǎn)即為相貫線上的的交點(diǎn)即為相貫線上的點(diǎn)。點(diǎn)。 選擇輔助平面時(shí)，選擇輔助平面時(shí)，應(yīng)使截交線投影最簡(jiǎn)單，應(yīng)使截交線投影最簡(jiǎn)單，如直線或圓。如直線或圓。例例518 用輔助平面法求圓柱與圓錐的相貫線。用輔助平面法求圓柱與圓錐的相貫線。1 1）求特殊點(diǎn)）求特殊點(diǎn)2 2）求一般點(diǎn)）求一般點(diǎn)3 3）判別可見(jiàn)）判別可見(jiàn) 性，光滑性