數(shù)學(xué)分析考研大綱

1、2013碩士研究生入學(xué)考試考試大綱考試科目：數(shù)學(xué)分析考試形式和試卷結(jié)構(gòu)一、試卷滿分及考試時間試卷滿分為150分，考試時間為180分鐘二、答題方式答題方式為閉卷、筆試三、試卷內(nèi)容結(jié)構(gòu)一元微積分學(xué) 約50多元微積分學(xué) 約20 無窮級數(shù) 約30四、試卷題型結(jié)構(gòu)試卷題型結(jié)構(gòu)為：敘述和證明題 5個題，每題15分計算題 4個題，每題15分討論題 1個題，每題 15分一、函數(shù)、極限、連續(xù)考試內(nèi)容實(shí)數(shù)域及性質(zhì) 幾種主要不等式及應(yīng)用 鄰域 上確界 下確界 確界原理 函數(shù)復(fù)合、基本初等函數(shù)、初等函數(shù)及某些特性（單調(diào)性、周期性、奇偶性、有界性等） 數(shù)列極限的定義 收斂數(shù)列的若干性質(zhì)（惟一性、保序性等） 數(shù)列收斂的條

2、件（單調(diào)有界原理、迫斂法則、柯西準(zhǔn)則等）“-”語言 敘述各類型函數(shù)極限 函數(shù)極限的若干性質(zhì) 函數(shù)極限存在的條件（歸結(jié)原則，柯西準(zhǔn)則，左、右極限、單調(diào)有界）應(yīng)用兩個特殊極限求函數(shù)的極限 無窮?。ù螅┑亩x、性質(zhì)、階的比較 在一點(diǎn)連續(xù)的定義及其等價定義 間斷點(diǎn)定以及分類 區(qū)間上連續(xù)的定義，用左右極限的方法求極限 在一點(diǎn)連續(xù)性質(zhì)及在區(qū)間上連續(xù)性質(zhì) 初等函數(shù)的連續(xù)性?？荚囈?.了解實(shí)數(shù)域及性質(zhì)。2.掌握幾種主要不等式及應(yīng)用。3.熟練掌握領(lǐng)域，上確界，下確界，確界原理。4.牢固掌握函數(shù)復(fù)合、基本初等函數(shù)、初等函數(shù)及某些特性（單調(diào)性、周期性、奇偶性、有界性等）。5.熟練掌握數(shù)列極限的定義。6.掌握收斂數(shù)

3、列的若干性質(zhì)（惟一性、保序性等）。7.掌握數(shù)列收斂的條件（單調(diào)有界原理、迫斂法則、柯西準(zhǔn)則等）。8.熟練掌握使用“-”語言，敘述各類型函數(shù)極限。9.掌握函數(shù)極限的若干性質(zhì)。10.掌握函數(shù)極限存在的條件（歸結(jié)原則，柯西準(zhǔn)則，左、右極限、單調(diào)有界）。11.熟練應(yīng)用兩個特殊極限求函數(shù)的極限。12.牢固掌握無窮?。ù螅┑亩x、性質(zhì)、階的比較。13.熟練掌握在一點(diǎn)連續(xù)的定義及其等價定義。14.掌握間斷點(diǎn)定以及分類。15.了解在區(qū)間上連續(xù)的定義，能使用左右極限的方法求極限。16.掌握在一點(diǎn)連續(xù)的函數(shù)的性質(zhì)及在區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)的性質(zhì)。17.了解初等函數(shù)的連續(xù)性。二、一元函數(shù)微分學(xué)考試內(nèi)容導(dǎo)數(shù)的定義 幾何、物

4、理意義 求導(dǎo)法則、求導(dǎo)公式 各類函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和高階導(dǎo)數(shù)微分的概念 并會用微分進(jìn)行近似計算 連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系 微分中值定理及應(yīng)用 洛比達(dá)法則 未定式極限 單調(diào)與導(dǎo)數(shù)符號的關(guān)系 單調(diào)區(qū)間 極值 凹凸性及拐點(diǎn) 凸函數(shù)及性質(zhì) 曲線各種類型的漸近線性 方程近似解的牛頓切線法 區(qū)間套、柯西列、聚點(diǎn)、等概念 刻劃實(shí)數(shù)完備性的幾個定理的等價性考試要求 1.熟練掌握導(dǎo)數(shù)的定義，幾何、物理意義。2.牢記求導(dǎo)法則、求導(dǎo)公式。3.會求各類函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和高階導(dǎo)數(shù)。4.掌握微分的概念，并會用微分進(jìn)行近似計算。5.理解連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系。6.牢固掌握微分中值定理及應(yīng)用。7.會用洛比達(dá)法則求未定式極限。8.掌握單調(diào)與導(dǎo)

5、數(shù)符號的關(guān)系，并用它證明函數(shù)單調(diào)，不等式、求單調(diào)區(qū)間、極值等。9. 會判定凹凸性及拐點(diǎn)。10.了解凸函數(shù)及性質(zhì)11.會求曲線各種類型的漸近線性。12.了解方程近似解的牛頓切線法。13.掌握區(qū)間套、柯西列、聚點(diǎn)、子列等概念。14.了解刻劃實(shí)數(shù)完備性的幾個定理的等價性，并掌握各定理證明。15.會用上述定理證明其他問題。三、一元函數(shù)積分學(xué)考試內(nèi)容 原函數(shù)與不定積分的概念 基本積分公式 換元法、分部積分法 有理函數(shù)積分可化為有理函數(shù)的積分 定積分定義 性質(zhì) 可積條件 可積類 微積分基本定理 定積分 廣義積分收斂定義及判別法 各種平面圖形面積 旋轉(zhuǎn)體或已知截面面積的體積 孤長曲率 旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積 微元法

6、 反常積分收斂定義及判別法 考試要求 1.掌握原函數(shù)與不定積分的概念。2.記住基本積分公式。3.熟練掌握換元法、分部積分法。4.了解有理函數(shù)積分步驟，并會求可化為有理函數(shù)的積分。5.掌握定積分定義、性質(zhì)。6.了解可積條件，可積類。7.深刻理解微積分基本定理，并會熟練應(yīng)用。8.熟練計算定積分。9.掌握廣義積分收斂定義及判別法，會計算廣義積分。10.熟練計算各種平面圖形面積。11.會求旋轉(zhuǎn)體或已知截面面積的體積。12.會利用定積分求孤長、曲率、旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積。13.會用微元法求解某些物理問題。 掌握反常積分收斂定義及判別法，會計算反 常積分。 四、多元函數(shù)微分學(xué)考試內(nèi)容 平面點(diǎn)集的若干概念 二元函

7、數(shù)二重極限定義、性質(zhì) 二次極限，二重極限與二次極限的關(guān)系 二元連續(xù)函數(shù)的定義、可微，偏導(dǎo)的意義 二元函數(shù)可微，偏導(dǎo)，連續(xù)以及偏導(dǎo)函數(shù)連續(xù) 各種類型的偏導(dǎo) 全微分 空間曲面的切平面 法線 空間曲線的法平面與切線 函數(shù)的方向?qū)?shù)與梯度 二元函數(shù)的泰勒展式及無條件極值 由一個方程確定的隱函數(shù)的條件 隱函數(shù)性質(zhì) 隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式 隱函數(shù)組空間曲線的切線與法平面 空間曲面的切平面與法線 條件極值的拉格朗日數(shù)乘法?？荚囈?.了解平面點(diǎn)集的若干概念。2.掌握二元函數(shù)二重極限定義、性質(zhì)。3.掌握二次極限，并掌握二重極限與二次極限的關(guān)系。4.掌握二元連續(xù)函數(shù)的定義、性質(zhì)。5.了解二元函數(shù)關(guān)于兩個變量全體連續(xù)與

8、分別連續(xù)的關(guān)系。6.熟練掌握，可微，偏導(dǎo)的意義。7.掌握二元函數(shù)可微，偏導(dǎo)，連續(xù)以及偏導(dǎo)函數(shù)連續(xù)，概念之間關(guān)系。8.會計算各種類型的偏導(dǎo)，全微分。9.會求空間曲面的切平面，法線?？臻g曲線的法平面與切線。10.會求函數(shù)的方向?qū)?shù)與梯度。11.會求二元函數(shù)的泰勒展式及無條件極值。12.掌握由一個方程確定的隱函數(shù)的條件，隱函數(shù)性質(zhì)，隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（偏導(dǎo)）公式。13.掌握由m個方程n個變元組成方程組，確定n-m個隱函數(shù)組的條件，并會求這n-m個隱函數(shù)對各個變元的偏導(dǎo)數(shù)。14.會求空間曲線的切線與法平面。15.會求空間曲面的切平面與法線。16.掌握條件極值的拉格朗日數(shù)乘法。六、多元函數(shù)積分學(xué)考試內(nèi)容 含參

9、變量的正常積分定義、性質(zhì) 含參量非正常積分一致收斂定義、性質(zhì) 含參量非正常積分一致收斂判別 積分號下求導(dǎo)、積分號下做積分 歐拉積分 遞推公式及性質(zhì) 第一、二型曲線積分的計算方法 兩種曲線積分，兩種曲面積分關(guān)系 二重積分，三重積分定義與性質(zhì) 二重積分的換序，變量代換的方法 三重積分的換序，球、柱、廣義球坐標(biāo)計算三重積分 曲面面積，轉(zhuǎn)動慣量，重心坐標(biāo)等 第一、二型曲面積分的計算方法 兩種曲面積分關(guān)系 格林公式，高斯公式，斯托克斯公式計算 積分與路徑無關(guān)的條件 場論初步知識考試要求1.含參變量的正常積分定義、性質(zhì)。2.掌握含參量非正常積分一致收斂定義、性質(zhì)。3.掌握含參量非正常積分一致收斂判別。4.

10、會用積分號下求導(dǎo)、積分號下做積分方法計算一些定積分或廣義積分。5.了解歐拉積分，遞推公式及性質(zhì)。6.熟練掌握第一、二型曲線積分的計算方法。 7. 了解兩種曲線積分，兩種曲面積分關(guān)系。8.理解二重積分，三重積分定義與性質(zhì)。9.掌握二重積分的換序，變量代換的方法。10.理解三重積分的換序，會用球、柱、廣義球坐標(biāo)進(jìn)行代換計算三重積分。11.重積分應(yīng)用：求曲面面積，轉(zhuǎn)動慣量，重心坐標(biāo)等。12.熟練掌握第一、二型曲面積分的計算方法。（2）了解兩種曲面積分關(guān)系。13.熟練運(yùn)用格林公式，高斯公式，斯托克斯公式計算。14.掌握積分與路徑無關(guān)的條件。15.了解場論初步知識，并會求梯度，散度，旋度。七、無窮級數(shù)考

11、試內(nèi)容 數(shù)項級數(shù)斂散的定義、性質(zhì) 正項級數(shù)的斂、散判別法 條件、絕對收斂及萊布尼茲定理 函數(shù)列與函數(shù)項級之間的關(guān)系 函數(shù)列及函數(shù)項級數(shù)的一致收斂定義 函數(shù)列、函數(shù)項級數(shù)一致收斂的判別法 函數(shù)列的極限函數(shù)，函數(shù)項級數(shù)的和函數(shù)性質(zhì) 冪級數(shù)收斂域 收斂半徑 和函數(shù) 冪級數(shù)的分析性質(zhì) 冪級數(shù)展式 基本初等函數(shù)的馬克勞林展式 一些初等函數(shù)的冪級數(shù)展式 付里葉系數(shù)公式 以2為周期函數(shù)的付里葉展式 定義在（0,L）上的函數(shù)可以展成余弦級數(shù)，正弦級數(shù)，一般付里葉級數(shù) 收斂性定理 貝塞爾不等式 勒貝格引理?？荚囈?.掌握數(shù)項級數(shù)斂散的定義、性質(zhì)。2.熟練掌握正項級數(shù)的斂、散判別法。3.掌握條件、絕對收斂及萊布尼茲定理。4.了解函數(shù)列與函數(shù)項級之間的關(guān)系，掌握函數(shù)列及函數(shù)項級數(shù)的一致收斂定義。5.掌握函數(shù)列、函數(shù)項級數(shù)一致收斂的判別法。6.函數(shù)列的極限函數(shù)，函數(shù)項級數(shù)的和函數(shù)性質(zhì)。7.熟練冪級數(shù)收斂域，收斂半徑，及和函數(shù)的求法。8.了解冪級數(shù)的若