空間直線方程

1、第六節(jié)一、空間直線方程一、空間直線方程 二、線面間的位置關(guān)系二、線面間的位置關(guān)系 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 空間直線及其方程 第七七章 一、空間直線方程一、空間直線方程xyzo01111DzCyBxA02222DzCyBxA1 2 L因此其一般式方程1 1. 一般式方程一般式方程 直線可視為兩平面交線，(不唯一)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ),(0000zyxM2. 對(duì)稱式方程對(duì)稱式方程故有說(shuō)明說(shuō)明: 某些分母為零時(shí), 其分子也理解為零.mxx000yyxx設(shè)直線上的動(dòng)點(diǎn)為 則),(zyxMnyy0pzz0此式稱為直線的對(duì)稱式方程對(duì)稱式方程(也稱為點(diǎn)向式方程點(diǎn)向式方程)直線方

2、程為s已知直線上一點(diǎn)),(0000zyxM),(zyxM例如, 當(dāng),0, 0時(shí)pnm和它的方向向量 , ),(pnms sMM/0機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 3. 參數(shù)式方程參數(shù)式方程設(shè)得參數(shù)式方程 :tpzznyymxx000tmxx0tnyy0tpzz0機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例1 1.用對(duì)稱式及參數(shù)式表示直線解解: :先在直線上找一點(diǎn).043201 zyxzyx632zyzy再求直線的方向向量2,0zy令 x = 1, 解方程組,得交已知直線的兩平面的法向量為是直線上一點(diǎn) .)2,0, 1(故.s, ) 1, 1, 1 (1n)3, 1,2(2n21ns,ns21n

3、ns機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 故所給直線的對(duì)稱式方程為參數(shù)式方程為tztytx32 41t41x1y32z解題思路解題思路: 先找直線上一點(diǎn);再找直線的方向向量.)3, 1,4(21nns312111kji機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2L1L二、線面間的位置關(guān)系二、線面間的位置關(guān)系1. 兩直線的夾角兩直線的夾角 則兩直線夾角 滿足21, LL設(shè)直線 兩直線的夾角指其方向向量間的夾角(通常取銳角)的方向向量分別為212121ppnnmm212121pnm222222pnm),(, ),(22221111pnmspnms2121cosssss 1s2s機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回

4、 結(jié)束 特別有特別有:21) 1(LL 21/)2(LL0212121ppnnmm212121ppnnmm21ss 21/ss機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例2. . 求以下兩直線的夾角解解: 直線直線二直線夾角 的余弦為(參考P332 例2 )13411:1zyxL0202:2zxyxL cos22從而4的方向向量為1L的方向向量為2L) 1,2,2() 1(1)2()4(212221)4(1222) 1()2(2) 1,4, 1 (1s2010112kjis 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 當(dāng)直線與平面垂直時(shí),規(guī)定其夾角線所夾銳角 稱為直線與平面間的夾角;L2. 直線與平面的夾

5、角直線與平面的夾角當(dāng)直線與平面不垂直時(shí),設(shè)直線 L 的方向向量為 平面 的法向量為則直線與平面夾角 滿足.2222222CBApnmpCnBmA直線和它在平面上的投影直),(pnms ),(CBAn ),cos(sinnsnsns sn機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 特別有特別有: :L) 1(/)2(L0pCnBmApCnBmAns/ns解解: : 取已知平面的法向量421zyx則直線的對(duì)稱式方程為0432zyx直的直線方程. 為所求直線的方向向量. 132垂 ) 1,3,2(nn例例3. 求過(guò)點(diǎn)(1,2 , 4) 且與平面機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 1. 空間直線方程空間直線方

6、程一般式對(duì)稱式參數(shù)式0022221111DzCyBxADzCyBxAtpzztnyytmxx000pzznyymxx000)0(222pnm 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié) 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ,1111111pzznyymxxL：直線0212121ppnnmm,2222222pzznyymxxL：212121ppnnmm2. 線與線的關(guān)系線與線的關(guān)系直線夾角公式:),(1111pnms ),(2222pnms 021ss21LL 21/ LL021ss2121cosssss 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 , 0DzCyBxACpBnAm平面 :L L / 夾角公式：0CpBnAmsi

7、n,pzznyymxx3. 面與線間的關(guān)系面與線間的關(guān)系直線 L :),(CBAn ),(pnms 0 ns0nsnsns L機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 作業(yè)作業(yè)P335 3，4，5，7，9 P335 題2, 10習(xí)題課 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 思考與練習(xí)思考與練習(xí))1 ,2, 1(A,11231:1zyxLiL設(shè)直線解：解：,2上在因原點(diǎn)LO12:2zyxL相交,求此直線方程 .的方向向量為過(guò) A 點(diǎn)及 的平2L面的法向量為則所求直線的方向向量方法方法1 利用叉積. ),2, 1( isi, n,1nss所以O(shè)Asn2121112kjikji333一直線過(guò)點(diǎn) 且垂直于直線 又和直線備用題備用題nOA2L2s機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 設(shè)所求直線與的交點(diǎn)為512231zyx12000zyx0000,2yzyx待求直線的方向向量方法方法2 利用所求直線與L2 的交點(diǎn) .即故所求直線方程為 2L),(000zyxB則有2L) 1 , 2 , 1 (Anss1333123kji)523(3kji),(000zyxB機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 0) 1()2(2) 1(3000zyx78,716,78000zxy512