數(shù)列的極限與函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

1、專題九：數(shù)列的極限與函數(shù)的導(dǎo)數(shù)【考點審視】極限與導(dǎo)數(shù)作為初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的銜接點，新課程卷每年必考，主要考查極限與導(dǎo)數(shù)的求法及簡單應(yīng)用?？v觀近年來的全國卷與各省市的試卷，試題呈“一小一大”的布局，“小題”在選擇、填空題中出現(xiàn)時，都屬容易題；“大題”在解答題中出現(xiàn)時，極限通常與其它數(shù)學(xué)內(nèi)容聯(lián)系而構(gòu)成組合題，主要考查極限思想與方法的靈活應(yīng)用能力；導(dǎo)數(shù)的考查常給出一個含參的函數(shù)或應(yīng)用建模，通過求導(dǎo)、分析函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查“數(shù)形結(jié)合”、“分類討論”等數(shù)學(xué)思想方法的綜合運用能力。從2004年各地的高考試卷看，考生在備考時，應(yīng)從下列考點夯實基礎(chǔ)，做到以不變應(yīng)萬變：（1）從數(shù)列或函數(shù)的變化趨勢了解極

2、限概念，理解三個基本極限：1)是常數(shù)）,2),3).(2)明確極限四則運算法則的適用條件與范圍，會求某些數(shù)列和函數(shù)的極限。（3）了解函數(shù)連續(xù)的意義，理解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)有最大值和最小值。（4）了解導(dǎo)數(shù)的概念，掌握函數(shù)在一點處的導(dǎo)數(shù)定義，理解導(dǎo)函數(shù)的概念。（5）熟記八個基本導(dǎo)數(shù)公式，掌握求導(dǎo)的四則運算法則，理解復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，會求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。（6）掌握導(dǎo)數(shù)的幾何意義與物理意義，理解可導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性、極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，強化用導(dǎo)數(shù)解決實際問題的能力。【疑難點撥】：1，極限的四則運算法則，只有當(dāng)兩數(shù)列或兩函數(shù)各自都有極限時才能適用。對、型的函數(shù)或數(shù)列的極限，一般要先變形或化簡再運用法則求極限。

3、例如（2004年遼寧，14）= 【分析】這是型，需因式分解將分母中的零因子消去，故=。2，極限的運算法則僅可以推廣到有限個數(shù)列或函數(shù)，對于無窮項的和或積必須先求和或積1 / 9再求極限；商的極限法則，必須分母的極限不為零時才適用。例如：（2004年廣東,4）+ )的值為（ ）（）-1 （）0 （） （）1【分析】這是求無窮項的和，應(yīng)先求前項的和再求極限=，原式=-1，故選。 3，無窮等比數(shù)列的公比，當(dāng)|1時，各項的和及重要應(yīng)用。例如（2004年上海，4）設(shè)等比數(shù)列（）的公比，且=，則 【分析】數(shù)列是首項為，公比是的等比數(shù)列，=，解得=2。 4，當(dāng)且僅當(dāng)時， ，時可有定義也可無定義。例如下列命題

4、正確的是( )()若,則，若,則，若,則， (D)若,則。【分析】()中無定義，（）中無定義，而(D) ，故是正確的。 5，函數(shù)在處連續(xù)是指，注意：有極限是連續(xù)的必要條件，連續(xù)是有極限的充分條件。 6，導(dǎo)數(shù)的概念要能緊扣定義，用模型解釋，記住典型反例。例如在（，）處的導(dǎo)數(shù)存在嗎？為什么？【分析】，在（，）處的導(dǎo)數(shù)不存在。 7，導(dǎo)數(shù)的求法要熟練、準確，須明確（1）先化簡，再求導(dǎo)，（2）復(fù)合函數(shù)靈活處理，（3）有時要回到定義中求導(dǎo)。8，導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線切線的斜率，物理意義是因變量對自變量的變化率。導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用應(yīng)盡可能全面、深入，注重掌握以下幾方面的問題：曲線切線方程的求法、函數(shù)單調(diào)性與函數(shù)作圖、

5、函數(shù)極值與最值求法、有關(guān)方程與不等式問題、有關(guān)近似計算問題、實際應(yīng)用題?！窘?jīng)典題例】【例】求下列數(shù)列的極限：（）；（）（）；（）；（）已知，數(shù)列滿足，若的極限存在且大于零，求的值?！纠壳笙铝泻瘮?shù)的極限：（1） （2）（3） （4）【例】求下列函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)：（）； （）；（）；（）已知，求?！纠吭O(shè)（），（+）。（）用和表示；（）當(dāng)時，求的值；（）在（）的條件下，求的取值范圍?！纠窟^點（2，0），求與曲線相切的直線方程?！纠浚?004全國卷二，22）已知函數(shù) ，。（）求函數(shù)的最大值；（）設(shè)，證明。【例】（2004廣東卷，21）設(shè)函數(shù)=，其中常數(shù)為整數(shù)。（）當(dāng)為何值時，；（）定理：若函數(shù)在上

6、連續(xù)，且與異號，則至少存在一點使。試用上述定理證明：當(dāng)整數(shù)時，方程=0，在內(nèi)有兩個實根?！纠咳芤鹤陨?8，頂直徑12的圓錐形漏斗中漏入一直徑為10的圓柱形容器中，開始時漏斗中盛滿水，已知當(dāng)溶液在漏斗中之深為12時，其水平下落的速度為1，問此時圓柱形容器中水面上升的速度是多少？【熱身沖刺】一、選擇題：1、下列數(shù)列極限為1的是（ ）； ； 。2、已知，則常數(shù)的值為（ ） （） ；3、的值是（ ） 不存在；4、若在點處連續(xù)，則（ ） 5、若為偶函數(shù)，且存在，則（ ） （）0 1 -1；6、設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，的圖象如圖所示，則的圖象最有可能的是（ ）1y12022yxDCBA1000011122xx

7、xyyy (A) (B) (C) (D)7、函數(shù)有極值的充要條件是（ ）（） （）8、(2004江蘇卷，10)函數(shù)在區(qū)間-3，0上的最大值、最小值分別是（ ）（A）1,-1 （B）1,-17 （C）3,-17 （D）9,-199、分別是定義上的奇函數(shù)和偶函數(shù)。當(dāng)時，且，則不等式的解集是（ ）（）（-3，0）（3，） （） 10、三次函數(shù)=在1，2內(nèi)恒為正值的充要條件為 （ ）（） ； 二、填空題：11、曲線與在交點處的切線夾角是 （以弧度數(shù)作答）；12、，則 ；13、已知是的一個三次多項式，若=1，則= 14、如圖，是一塊半徑為1的半圓形紙板，在的左下端剪去一個半徑為的半圓后得圖形，然后剪去更

8、小的半圓（其直徑為前一被剪掉半圓的半徑）得圖形，記紙板的面積為，則= 三、解答題：15、已知函數(shù)在定義域上可導(dǎo)，設(shè)點是函數(shù)的圖象上距離原點0最近的點。（）若點的坐標為，求證：=0；（）若函數(shù)的圖象不經(jīng)過坐標原點0，證明直線與函數(shù)的圖象上過點的切線互相垂直。16、證明：（1）當(dāng)時，；（2）當(dāng)，時，。 17、已知函數(shù)在處取得極值。（）討論和是函數(shù)的極大值還是極小值；（）過點作曲線的切線，求此切線方程。18、已知函數(shù)，將滿足的所有正數(shù)從小到大排成數(shù)列（）證明：數(shù)列為等比數(shù)列；（）記是數(shù)列的前項和，求19、是定義在0，1上的增函數(shù)，且在每個區(qū)間上，的圖象都是斜率為同一常數(shù)的直線的一部分。（）求及的值，并歸