陳紀(jì)修教授《數(shù)學(xué)分析》九講學(xué)習(xí)筆記與心得(共5頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上陳紀(jì)修教授數(shù)學(xué)分析九講學(xué)習(xí)筆記與心得云南分中心 × 昆明學(xué)院 × 周興偉此次聽陳教授的課，收益頗多。陳教授的這些講座，不僅是在教我們?nèi)绾翁幚頂?shù)學(xué)分析中一些教學(xué)重點(diǎn)和教學(xué)難點(diǎn)，更是幾堂非常出色的示范課。我們不妨來溫習(xí)一下。第一講、微積分思想產(chǎn)生與發(fā)展的歷史法國著名的數(shù)學(xué)家H.龐加萊說過：“如果我們想要預(yù)見數(shù)學(xué)的將來，適當(dāng)?shù)耐緩绞茄芯窟@門科學(xué)的歷史和現(xiàn)狀?！?那么，如果你要學(xué)好并用好數(shù)學(xué)分析，那么，掌故微積分思想產(chǎn)生與發(fā)展的歷史是非常必要的。陳教授就是以這一專題開講的。在學(xué)校中，我不僅講授數(shù)學(xué)分析，也講授數(shù)學(xué)史，所以我非常贊同陳教授在教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)史的

2、想法，這應(yīng)該也是提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的有效途徑。在這一講中，陳教授脈絡(luò)清晰，分析精當(dāng)，這是我自嘆不如的。講數(shù)學(xué)史也有些年頭，但僅滿足于史料的堆砌，沒有對一些精彩例子加以剖析。如陳教授對祖暅?zhǔn)侨绾斡?“祖暅原理”求出球的體積的分析，這不僅對提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣是有益的（以疑激趣、以奇激趣），而且有利于提高學(xué)生的民族自豪感（陳教授也提到了這一點(diǎn)）。在這一講中，陳教授對weierstrass的“N”、“”語言的評述是“它實(shí)現(xiàn)了靜態(tài)語言對動態(tài)極限過程的刻畫”。這句話是非常精當(dāng)?shù)?，如果意識不到這一點(diǎn)，你就很難理解這一點(diǎn)。在此我還想明確一點(diǎn)：數(shù)學(xué)分析的研究對象是函數(shù)，主要是研究其分析性質(zhì)，即連續(xù)性、可微性及可積

3、性，而使用的工具就是極限。如果仔細(xì)盤點(diǎn)一下，在數(shù)學(xué)分析中，無論是數(shù)、函數(shù)、數(shù)列、函數(shù)列，數(shù)項(xiàng)級數(shù)，函數(shù)項(xiàng)級數(shù)等相關(guān)問題，無不用到這一語言，你應(yīng)該能理解陳教授的“對于數(shù)學(xué)類學(xué)生來說，沒有“N”、“”語言，在數(shù)學(xué)分析中幾乎是寸步難行的”這一觀點(diǎn)。第二講、實(shí)數(shù)系的基本定理在這一講中，陳教授從實(shí)變函數(shù)中對集合基數(shù)的討論展開，對實(shí)數(shù)系的連續(xù)性作了有趣的討論。首先是從紳士開party的禮帽問題，帶我們走進(jìn)了“無窮的世界”。我在開數(shù)學(xué)賞析時有一個專題就是“無窮的世界”，我給學(xué)生講禮帽問題、也講希爾伯特?zé)o窮旅館問題，但遺憾的是，當(dāng)我剖析“若無窮旅館住滿了人，再來兩個時，可將住號房間的移往號房間，住號房間的移往

4、號房間，從而空出兩個房間”時，學(xué)生對我“能移”表示懷疑。這一點(diǎn)我往往只能遺憾的說“跳不出有限的圈子，用有限的眼光來看無限，只能是只在此山中，云深不知處”。當(dāng)然，我還是會進(jìn)一步考慮如何來講好這一講。若陳教授或其他老師有好的建議，能指點(diǎn)一下，則不勝感激。對于集合0,1與(0,1)的對等關(guān)系，包括Q與的對等關(guān)系，或者說他們之間雙射的構(gòu)造。關(guān)鍵在于“求同存異”，找一個可數(shù)集來“填補(bǔ)”他們之間的差距，這相當(dāng)于希爾伯特?zé)o窮旅館問題中來了兩個人和來了可數(shù)個人。對于實(shí)數(shù)集中的有理數(shù)，“廖若晨星”是非常形象的描述。一聲集合的哨響，我們發(fā)現(xiàn)，有理數(shù)在實(shí)數(shù)軸上幾乎是沒有位置的（mQ=0），用一系列的帽子來蓋住這些點(diǎn)

5、，而這些帽子的大小是，這是非常精彩的結(jié)果。從可數(shù)集到不可數(shù)集，再加上無最大基數(shù)定理，讓我們看到了“無窮的層次性”，由此我們不難理解“人外有人，天外有天，無窮之外有無窮”。我們不能不發(fā)出“哀吾生之須臾，羨長江之無窮”的感慨。陳教授對單調(diào)確界原理的證明非常清晰明了，幾何直觀的描述形象直觀。第三講數(shù)學(xué)分析課程中最重要的兩個常數(shù)法國著名雕塑家羅丹曾經(jīng)說過“生活中從不缺少美，而是缺少發(fā)現(xiàn)美的眼睛”。我想說：“數(shù)學(xué)中并不缺少美，缺少的是揭示數(shù)學(xué)美的老師”。陳教授是一個出色的老師，他不僅發(fā)現(xiàn)了數(shù)學(xué)的美，而且為我們展示了數(shù)學(xué)的美。著名的歐拉公式：，實(shí)現(xiàn)了有理數(shù)、無理數(shù)、超越數(shù)、實(shí)數(shù)、虛數(shù)完美統(tǒng)一，獲得“最美的

6、數(shù)學(xué)定理”稱號。歐拉建立了在他那個時代，數(shù)學(xué)中最重要的幾個常數(shù)（）之間的絕妙的有趣的聯(lián)系，被認(rèn)為是數(shù)學(xué)奇異美的典例。在本講中，陳教授以李大潛院士訪問法國“引入”的一個有趣例子開講，讓我們體會了數(shù)學(xué)中的美，這個不等式還有許多有意思的地方，無論是不等式的形式，還是他的證明，都非常深刻地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的美。Pi是無理數(shù)的證明，吸引了與會學(xué)員的眼球，贊嘆之余，有學(xué)員問這一證法的出處，我也還真想知道，請陳教授不吝指教。本講最后將函數(shù)sinx/x展成無窮乘積形式，并妙用此形式求出p級數(shù)中p為偶數(shù)值時的和，對我而言是耳目一新的。在我記憶中好像菲爾金哥爾茨的微積分學(xué)教程(第二卷)中也有求出的方法，而p為奇數(shù)的情形

7、好像至今尚未解決。對p=2的情形，歐拉至少用兩種方法得到結(jié)果，其中一種方法妙用了LHospital法則(數(shù)學(xué)譯林09.3)。第四講級數(shù)與反常積分收斂的A.D判別法恰逢這個學(xué)期講數(shù)學(xué)分析(3)，在講授含參變量反常積分時，先復(fù)習(xí)了反常積分，再復(fù)習(xí)了函數(shù)項(xiàng)級數(shù)，并將幾個判別法列表比較，尤其是A.D判別法，能與陳教授不謀而合，真是倍感榮幸。陳教授對Abel引理的直觀刻畫，也是深得學(xué)員好評。我對陳教授從Abel引理分析Sanbn收斂條件的分析而得到Dilichlet判別法和Abel判別法的相關(guān)條件深感佩服，尤其是分析得絲絲入扣。第五講函數(shù)項(xiàng)級數(shù)與含參變量反常積分的一致收斂一致收斂性無疑是數(shù)學(xué)分析中的一個

8、重要概念。陳教授對“點(diǎn)點(diǎn)收斂”與“一致收斂”的剖析是非常到位的，學(xué)生在學(xué)習(xí)時如果是只能注意到在定義的陳述“"x”的位置不相同，而不明其所以時，這樣的教學(xué)肯定是失敗的。陳教授例子選擇精當(dāng)，語言使用精辟，問題分析精準(zhǔn)。請注意陳教授的這句話：“毛病出在點(diǎn)態(tài)收斂的情況下，在某些點(diǎn)附近，N無法控制”（類似的話在第九講中說過）。第六講Weierstrass函數(shù)：處處連續(xù)處處不可導(dǎo)的函數(shù)陳教授分析了為何在Weierstrass之前的數(shù)學(xué)家不能構(gòu)造出這樣的函數(shù)。原來在此之前，數(shù)學(xué)家們所掌握的函數(shù)是不足以構(gòu)造出這樣的函數(shù)的。Weierstrass在1872年構(gòu)造出了如下處處連續(xù)處處不可導(dǎo)的函數(shù)：San

9、sin(bnx) 0<a<1<b, ab>1陳教授選用1930年Van Der Waerden給出的例子進(jìn)行了剖析。所講自是精當(dāng)，本人很是受益。第七講條件極值問題與Lagrange乘數(shù)法本講陳教授從一個幾何問題入手，得到一個條件極值問題?？紤]了條件極值的必要條件，引入Lagrange乘數(shù)法，化條件極值問題為無極條件極值問題。這部分內(nèi)容中，本人認(rèn)為幾何解釋最有啟發(fā)性。對于具體使用Lagrange乘數(shù)法的例子中，如何解方程組，陳教授給了很好的建議。第二個例子，即求平面x+y+z=0與橢球面x2+y2+4z2=1相交而成的橢圓面積。這個例子我很喜歡，只可惜不能用來做期末考題（

10、不要問我為什么！）。第八講重積分的變量代換本講陳教授從定積分的換元的計(jì)算公式分析入手，對二重積分的相應(yīng)的代換公式作出類比猜想（在教學(xué)中注重滲透數(shù)學(xué)思想方法，如此妙哉！）再作分析，然后得出代換公式。為證明代換公式，陳教授引入本原映射，化“矩形”為“梯形”，化變換T為兩個本原變換的復(fù)合，實(shí)現(xiàn)了化復(fù)雜為簡單，化困難為容易。第九講數(shù)學(xué)分析課程中的否定命題數(shù)學(xué)分析教學(xué)中，說說“反話”很重要！（請不要誤解?。﹥蓚€命題與如果既不能同時成立，也不能同時不成立，就稱與互為否定命題。若與互為否定命題，則與一定滿足：一個成立，另一個必然不成立；一個不成立，另一個必定成立。（廢話?。┯薪缗c無界、收斂于a與不收斂于a、收斂與不收斂、（注意前邊兩對的區(qū)別！）、可導(dǎo)與不可導(dǎo)、Cauchy收斂準(zhǔn)則及其否定命題，等等。這些“反話”不說，大量的題做不了。我在講數(shù)學(xué)分析(1)時會有一講（幾個概念的否定敘述）就是來講否定命題的。陳教授在這部分的例子非常好，分析得也清楚！陳教授的九講，給了我們太多的啟示：一、在我們的教學(xué)中，不僅要教其所以然，而且要教其所以然。陳教授的這九講，應(yīng)該是我們講授數(shù)學(xué)分析的經(jīng)典案例，當(dāng)然，我們不一定是講這一些內(nèi)容！正確的思想從哪里來，是從天上掉下來的嗎？不是！二、在我們的教學(xué)，不僅要傳授知識，而且要傳授思想方法，也就是教學(xué)中要注重思想方法的滲透。三、在我們的教學(xué)中，不僅要