陳紀修教授《數(shù)學分析》九講學習筆記與心得(共5頁)

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上陳紀修教授數(shù)學分析九講學習筆記與心得云南分中心 × 昆明學院 × 周興偉此次聽陳教授的課，收益頗多。陳教授的這些講座，不僅是在教我們如何處理數(shù)學分析中一些教學重點和教學難點，更是幾堂非常出色的示范課。我們不妨來溫習一下。第一講、微積分思想產(chǎn)生與發(fā)展的歷史法國著名的數(shù)學家H.龐加萊說過：“如果我們想要預見數(shù)學的將來，適當?shù)耐緩绞茄芯窟@門科學的歷史和現(xiàn)狀?！?那么，如果你要學好并用好數(shù)學分析，那么，掌故微積分思想產(chǎn)生與發(fā)展的歷史是非常必要的。陳教授就是以這一專題開講的。在學校中，我不僅講授數(shù)學分析，也講授數(shù)學史，所以我非常贊同陳教授在教學中滲透數(shù)學史的

2、想法，這應該也是提高學生數(shù)學素養(yǎng)的有效途徑。在這一講中，陳教授脈絡清晰，分析精當，這是我自嘆不如的。講數(shù)學史也有些年頭，但僅滿足于史料的堆砌，沒有對一些精彩例子加以剖析。如陳教授對祖暅是如何用 “祖暅原理”求出球的體積的分析，這不僅對提高學生的學習興趣是有益的（以疑激趣、以奇激趣），而且有利于提高學生的民族自豪感（陳教授也提到了這一點）。在這一講中，陳教授對weierstrass的“N”、“”語言的評述是“它實現(xiàn)了靜態(tài)語言對動態(tài)極限過程的刻畫”。這句話是非常精當?shù)?，如果意識不到這一點，你就很難理解這一點。在此我還想明確一點：數(shù)學分析的研究對象是函數(shù)，主要是研究其分析性質，即連續(xù)性、可微性及可積

3、性，而使用的工具就是極限。如果仔細盤點一下，在數(shù)學分析中，無論是數(shù)、函數(shù)、數(shù)列、函數(shù)列，數(shù)項級數(shù)，函數(shù)項級數(shù)等相關問題，無不用到這一語言，你應該能理解陳教授的“對于數(shù)學類學生來說，沒有“N”、“”語言，在數(shù)學分析中幾乎是寸步難行的”這一觀點。第二講、實數(shù)系的基本定理在這一講中，陳教授從實變函數(shù)中對集合基數(shù)的討論展開，對實數(shù)系的連續(xù)性作了有趣的討論。首先是從紳士開party的禮帽問題，帶我們走進了“無窮的世界”。我在開數(shù)學賞析時有一個專題就是“無窮的世界”，我給學生講禮帽問題、也講希爾伯特無窮旅館問題，但遺憾的是，當我剖析“若無窮旅館住滿了人，再來兩個時，可將住號房間的移往號房間，住號房間的移往

4、號房間，從而空出兩個房間”時，學生對我“能移”表示懷疑。這一點我往往只能遺憾的說“跳不出有限的圈子，用有限的眼光來看無限，只能是只在此山中，云深不知處”。當然，我還是會進一步考慮如何來講好這一講。若陳教授或其他老師有好的建議，能指點一下，則不勝感激。對于集合0,1與(0,1)的對等關系，包括Q與的對等關系，或者說他們之間雙射的構造。關鍵在于“求同存異”，找一個可數(shù)集來“填補”他們之間的差距，這相當于希爾伯特無窮旅館問題中來了兩個人和來了可數(shù)個人。對于實數(shù)集中的有理數(shù)，“廖若晨星”是非常形象的描述。一聲集合的哨響，我們發(fā)現(xiàn)，有理數(shù)在實數(shù)軸上幾乎是沒有位置的（mQ=0），用一系列的帽子來蓋住這些點

5、，而這些帽子的大小是，這是非常精彩的結果。從可數(shù)集到不可數(shù)集，再加上無最大基數(shù)定理，讓我們看到了“無窮的層次性”，由此我們不難理解“人外有人，天外有天，無窮之外有無窮”。我們不能不發(fā)出“哀吾生之須臾，羨長江之無窮”的感慨。陳教授對單調確界原理的證明非常清晰明了，幾何直觀的描述形象直觀。第三講數(shù)學分析課程中最重要的兩個常數(shù)法國著名雕塑家羅丹曾經(jīng)說過“生活中從不缺少美，而是缺少發(fā)現(xiàn)美的眼睛”。我想說：“數(shù)學中并不缺少美，缺少的是揭示數(shù)學美的老師”。陳教授是一個出色的老師，他不僅發(fā)現(xiàn)了數(shù)學的美，而且為我們展示了數(shù)學的美。著名的歐拉公式：，實現(xiàn)了有理數(shù)、無理數(shù)、超越數(shù)、實數(shù)、虛數(shù)完美統(tǒng)一，獲得“最美的

6、數(shù)學定理”稱號。歐拉建立了在他那個時代，數(shù)學中最重要的幾個常數(shù)（）之間的絕妙的有趣的聯(lián)系，被認為是數(shù)學奇異美的典例。在本講中，陳教授以李大潛院士訪問法國“引入”的一個有趣例子開講，讓我們體會了數(shù)學中的美，這個不等式還有許多有意思的地方，無論是不等式的形式，還是他的證明，都非常深刻地體現(xiàn)了數(shù)學的美。Pi是無理數(shù)的證明，吸引了與會學員的眼球，贊嘆之余，有學員問這一證法的出處，我也還真想知道，請陳教授不吝指教。本講最后將函數(shù)sinx/x展成無窮乘積形式，并妙用此形式求出p級數(shù)中p為偶數(shù)值時的和，對我而言是耳目一新的。在我記憶中好像菲爾金哥爾茨的微積分學教程(第二卷)中也有求出的方法，而p為奇數(shù)的情形

7、好像至今尚未解決。對p=2的情形，歐拉至少用兩種方法得到結果，其中一種方法妙用了LHospital法則(數(shù)學譯林09.3)。第四講級數(shù)與反常積分收斂的A.D判別法恰逢這個學期講數(shù)學分析(3)，在講授含參變量反常積分時，先復習了反常積分，再復習了函數(shù)項級數(shù)，并將幾個判別法列表比較，尤其是A.D判別法，能與陳教授不謀而合，真是倍感榮幸。陳教授對Abel引理的直觀刻畫，也是深得學員好評。我對陳教授從Abel引理分析Sanbn收斂條件的分析而得到Dilichlet判別法和Abel判別法的相關條件深感佩服，尤其是分析得絲絲入扣。第五講函數(shù)項級數(shù)與含參變量反常積分的一致收斂一致收斂性無疑是數(shù)學分析中的一個

8、重要概念。陳教授對“點點收斂”與“一致收斂”的剖析是非常到位的，學生在學習時如果是只能注意到在定義的陳述“"x”的位置不相同，而不明其所以時，這樣的教學肯定是失敗的。陳教授例子選擇精當，語言使用精辟，問題分析精準。請注意陳教授的這句話：“毛病出在點態(tài)收斂的情況下，在某些點附近，N無法控制”（類似的話在第九講中說過）。第六講Weierstrass函數(shù)：處處連續(xù)處處不可導的函數(shù)陳教授分析了為何在Weierstrass之前的數(shù)學家不能構造出這樣的函數(shù)。原來在此之前，數(shù)學家們所掌握的函數(shù)是不足以構造出這樣的函數(shù)的。Weierstrass在1872年構造出了如下處處連續(xù)處處不可導的函數(shù)：San

9、sin(bnx) 0<a<1<b, ab>1陳教授選用1930年Van Der Waerden給出的例子進行了剖析。所講自是精當，本人很是受益。第七講條件極值問題與Lagrange乘數(shù)法本講陳教授從一個幾何問題入手，得到一個條件極值問題?？紤]了條件極值的必要條件，引入Lagrange乘數(shù)法，化條件極值問題為無極條件極值問題。這部分內容中，本人認為幾何解釋最有啟發(fā)性。對于具體使用Lagrange乘數(shù)法的例子中，如何解方程組，陳教授給了很好的建議。第二個例子，即求平面x+y+z=0與橢球面x2+y2+4z2=1相交而成的橢圓面積。這個例子我很喜歡，只可惜不能用來做期末考題（

10、不要問我為什么?。?。第八講重積分的變量代換本講陳教授從定積分的換元的計算公式分析入手，對二重積分的相應的代換公式作出類比猜想（在教學中注重滲透數(shù)學思想方法，如此妙哉?。┰僮鞣治觯缓蟮贸龃鷵Q公式。為證明代換公式，陳教授引入本原映射，化“矩形”為“梯形”，化變換T為兩個本原變換的復合，實現(xiàn)了化復雜為簡單，化困難為容易。第九講數(shù)學分析課程中的否定命題數(shù)學分析教學中，說說“反話”很重要?。ㄕ埐灰`解?。﹥蓚€命題與如果既不能同時成立，也不能同時不成立，就稱與互為否定命題。若與互為否定命題，則與一定滿足：一個成立，另一個必然不成立；一個不成立，另一個必定成立。（廢話！）有界與無界、收斂于a與不收斂于a、收斂與不收斂、（注意前邊兩對的區(qū)別?。?、可導與不可導、Cauchy收斂準則及其否定命題，等等。這些“反話”不說，大量的題做不了。我在講數(shù)學分析(1)時會有一講（幾個概念的否定敘述）就是來講否定命題的。陳教授在這部分的例子非常好，分析得也清楚！陳教授的九講，給了我們太多的啟示：一、在我們的教學中，不僅要教其所以然，而且要教其所以然。陳教授的這九講，應該是我們講授數(shù)學分析的經(jīng)典案例，當然，我們不一定是講這一些內容！正確的思想從哪里來，是從天上掉下來的嗎？不是！二、在我們的教學，不僅要傳授知識，而且要傳授思想方法，也就是教學中要注重思想方法的滲透。三、在我們的教學中，不僅要