高考不等式經(jīng)典例題

1、 高考不等式經(jīng)典例題【例1】已知a0，a1，Ploga(a3a1)，Qloga(a2a1)，試比較P與Q的大小.【解析】因為a3a1(a2a1)a2(a1)，當(dāng)a1時，a3a1a2a1，PQ；當(dāng)0a1時，a3a1a2a1，PQ；綜上所述，a0，a1時，PQ.【變式訓(xùn)練1】已知ma(a2)，nx2(x)，則m，n之間的大小關(guān)系為()A.mnB.mnC.mn D.mn【解析】選C.本題是不等式的綜合問題，解決的關(guān)鍵是找中間媒介傳遞.maa22224，而nx2()24.【變式訓(xùn)練2】已知函數(shù)f(x)ax2c，且4f(1)1，1f(2)5，求f(3)的取值范圍.【解析】由已知4f(1)ac1，1f(2

2、)4ac5.令f(3)9ac(ac)(4ac)，所以故f(3)(ac)(4ac)1,20.題型三開放性問題【例3】已知三個不等式：ab0； ；bcad.以其中兩個作條件，余下的一個作結(jié)論，則能組成多少個正確命題？【解析】能組成3個正確命題.對不等式作等價變形:0.(1)由ab0，bcad0，即； (2)由ab0，0bcad0bcad，即；(3)由bcad0，0ab0，即.故可組成3個正確命題.【例2】解關(guān)于x的不等式mx2(m2)x20 (mR).【解析】當(dāng)m0時，原不等式可化為2x20，即x1；當(dāng)m0時，可分為兩種情況： (1)m0 時，方程mx2(m2)x20有兩個根，x11，x2.所以不

3、等式的解集為x|x1或x；(2)m0時，原不等式可化為mx2(2m)x20，其對應(yīng)方程兩根為x11，x2，x2x1(1).m2時，m20，m0，所以x2x10，x2x1， 不等式的解集為x|1x；m2時，x2x11，原不等式可化為(x1)20，解集為；2m0時，x2x10，即x2x1，不等式解集為x|x1.【變式訓(xùn)練2】解關(guān)于x的不等式0.【解析】原不等式等價于(ax1)(x1)0.當(dāng)a0時，不等式的解集為x|x1；當(dāng)a0時，不等式的解集為x|x或x1；當(dāng)1a0時，不等式的解集為x|x1；當(dāng)a1時，不等式的解集為；當(dāng)a1時，不等式的解集為x|1x.【例3】已知ax2bxc0的解集為x|1x3，

4、求不等式cx2bxa0的解集.【解析】由于ax2bxc0的解集為x|1x3，因此a0， 解得x或x1.(1)zx2y4的最大值； (2)zx2y210y25的最小值； (3)z的取值范圍.【解析】作出可行域如圖所示，并求出頂點的坐標(biāo)A(1,3)，B(3,1)，C(7,9).(1)易知直線x2y4z過點C時，z最大. 所以x7，y9時，z取最大值21.(2)zx2(y5)2表示可行域內(nèi)任一點(x，y)到定點M(0,5)的距離的平方，過點M作直線AC的垂線，易知垂足N在線段AC上，故z的最小值是()2.(3)z2·表示可行域內(nèi)任一點(x，y)與定點Q(1，)連線斜率的2倍.因為kQA，k

5、QB，所以z的取值范圍為，.【例1】(1)設(shè)x，yR，且xy(xy)1，則()A .xy2(1) B .xy2(1) C. xy2(1)2 D. xy(1)2(2)已知a，bR，則，的大小順序是.【解析】(1)選A.由已知得xy1(xy)，又xy()2，所以()21(xy).解得xy2(1)或xy2(1). 因為xy0，所以xy2(1).(2)由有ab2，即ab，所以. 又，所以， 所以.【變式訓(xùn)練1】設(shè)abc，不等式恒成立，則的取值范圍是.【解析】(，4).因為abc，所以ab0，bc0，ac0.而(ac)()(ab)(bc)()4，所以4.【例2】(1)已知x，則函數(shù)y4x2的最大值為；【

6、解析】(1)因為x，所以54x0. 所以y4x2(54x)3231.當(dāng)且僅當(dāng)54x，即x1時，等號成立. 所以x1時，ymax1.【變式訓(xùn)練2】已知x，a，b，y成等差數(shù)列，x，c，d，y成等比數(shù)列，求的取值范圍.【解析】由等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)得abxy，cdxy，所以2，當(dāng)0時，4；當(dāng)0時，0，故的取值范圍是(，04，).例 已知，求的最小值。 解：。當(dāng)且僅當(dāng)時，即，上式取“=”，故。例 已知，求函數(shù)的最小值。解：因為，所以。所以。當(dāng)且僅當(dāng)時，即，上式取“=”，故。例 已知，且，求的最小值。解：設(shè)，故有。當(dāng)且僅當(dāng)同時成立時上述不等式取“=”，即，代入，解得，此時，故的最小值為36。例 若正實數(shù)x，y 滿足 ，則xy 的最小值是 。（變式：求2x+y的最小值為_）答案：18解：因為x>0，y>0 ，所以，解得等號當(dāng)且僅當(dāng)2x=y=6時成立，故xy的最小值為18。變式答案：12解：因為x>0，y>