世界數(shù)學(xué)史上的十個著名不等式(共6頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上數(shù)學(xué)史上的十個著名不等式    在數(shù)學(xué)領(lǐng)域里，不等式知識占有廣闊的天地，而一個個的重要不等式又把這片天地裝點(diǎn)得更加豐富多彩下面擇要介紹一些著名的不等式    一、平均不等式（均值不等式）設(shè)，是個實(shí)數(shù)，叫做這個實(shí)數(shù)的算術(shù)平均數(shù)當(dāng)這個實(shí)數(shù)非負(fù)時，叫做這個非負(fù)數(shù)的幾何平均數(shù)當(dāng)這個實(shí)數(shù)均為正數(shù)時，叫做這個正數(shù)的調(diào)和平均數(shù)設(shè)，為個正數(shù)時，對如下的平均不等式：，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立平均不等式是一個重要的不等式，它的應(yīng)用非常廣泛，如求某些函數(shù)的最大值和最小值即是其應(yīng)用之一設(shè)，是個正的變數(shù)，則（1）當(dāng)積是定值時，和有最小值，且

2、；（2）當(dāng)和是定值時，積有最大值，且兩者都是當(dāng)且僅當(dāng)個變數(shù)彼此相等時，即時，才能取得最大值或最小值在中，當(dāng)時，分別有 ， 平均不等式經(jīng)常用到的幾個特例是（下面出現(xiàn)的時等號成立；（3），當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立；（4），當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立二、柯西不等式（柯西許瓦茲不等式或柯西布尼雅可夫斯基不等式）對任意兩組實(shí)數(shù)，；，有，其中等號當(dāng)且僅當(dāng) 時成立柯西不等式經(jīng)常用到的幾個特例（下面出現(xiàn)的，；，都表示實(shí)數(shù)）是：（1），則 （2） （3） 柯西不等式是又一個重要不等式，有許多應(yīng)用和推廣，與柯西不等式有關(guān)的競賽題也頻頻出現(xiàn)，這充分顯示了它的獨(dú)特地位三、閔可夫斯基不等式設(shè)，；，是兩組正數(shù)，則（ ）（ ）當(dāng)且僅當(dāng)時

3、等號成立閔可夫斯基不等式是用某種長度度量下的三角形不等式，當(dāng)時得平面上的三角形不等式：右圖給出了對上式的一個直觀理解若記，則上式為四、貝努利不等式（1）設(shè)，且同號，則 （2）設(shè) ，則（）當(dāng)時，有；（）當(dāng)或時，有 ，上兩式當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立不等式（1）的一個重要特例是 （ ）五、赫爾德不等式已知（ ）是個正實(shí)數(shù)，則上式中若令，則此赫爾德不等式即為柯西不等式六、契比雪夫不等式（1）若，則；（2）若，則下面給出一個時的契比雪夫不等式的直觀理解如圖，矩形OPAQ中，顯然陰影部分的矩形的面積之和不小于空白部分的矩形的面積之和，（這可沿圖中線段MN向上翻折比較即知）于是有，也即七、排序不等式設(shè)有兩組數(shù)，；

4、，滿足，則有，式中的，是1，2，的任意一個排列，式中的等號當(dāng)且僅當(dāng)或時成立以上排序不等式也可簡記為：反序和亂序和同序和這個不等式在不等式證明中占有重要地位，它使不少困難問題迎刃而解八、含有絕對值的不等式 為復(fù)數(shù)，則，左邊的等號僅當(dāng)?shù)姆遣顬闀r成立，右邊的等號僅當(dāng)?shù)姆窍嗟葧r成立，這個不等式也稱為三角形不等式，其一般形式是，也可記為                 絕對值不等式在實(shí)數(shù)的條件下用得較多。九、琴生不等式設(shè)是（）內(nèi)的凸函數(shù)，則對于（）內(nèi)任意的幾個實(shí)數(shù)有，等號當(dāng)且僅當(dāng) 時取得琴生不等式是丹麥數(shù)學(xué)家琴生于1905年到1906年間建立的。利用琴生不等式我們可以得到一系列不等式，比如“冪平均不等式”，“加權(quán)的琴生不等式”等等十、艾爾多斯莫迪爾不等式設(shè)P為內(nèi)部或邊界上一點(diǎn)，P到三邊距離分別為PD，PE，PF，則，當(dāng)且僅當(dāng)為正三角形，且P為三角形中心時上式取等號這是用于幾何問題的證明和求最大（?。┲禃r的一個重