極限的計算方法

1、極限的計算方法極限的計算方法主要有一下幾種一.利用四則法則計算二.利用兩個重要極限計算三.利用等價無窮小代換計算四.利用羅必塔法則計算利用四則運算法則計算極限定理：若 存在，則，)(lim)(limxgxf)(lim)(lim)()(lim1.xgxfxgxf)(lim)(lim. 2xfcxfc)(lim)(lim)()(lim. 3xgxfxgxf)(lim)(lim)(lim)()(lim. 4xgxgxfxgxf（0) （注：以上極限過程可以為 例1計算下列極限）或x0 xx2323lim12243lim).1 (3221124323xxxxxxxxxx利用四則運算法則計算極限mnmn

2、mnbabxbxbxbaxaxaxammmmnnnnx0lim0011101110一般的：利用四則運算法則計算極限162)1 ()1 ()2(lim) 1() 1() 12(lim) 24821827817841482784xxxxxxxxxxx（利用四則運算法則計算極限3) 1()2)(1(lim2lim3)212321xxxxxxxxxx（21) 11() 11 (lim) 11() 11)(11(lim11lim4)2220 x22220 x220 xxxxxxxxxx（利用四則運算法則計算極限利用兩個重要極限計算exexxxxxxxx100)1 (lim)11 (lim)2(1sinl

3、im) 1 (利用兩個重要極限計算極限1.1sinlim0 xxx0000000sin ( )lim( )0,lim1( )tgxlim1xxxxxxxxx一般地：若則，另，特征：極限為“ ”型未定式注：若極限形式不是“ ”型，則不能利用上述公式計算。利用兩個重要極限計算例如：0sinlimsinlim, 1sinlim10110110事實上，xxxxxxxxxexexxxxx1)1 (lim)1 (lim. 201利用兩個重要極限計算上述兩個極限為冪指函數(shù)型極限，他有以下三個特征：（1) 極限形式為： 型未定式，（2) 括號內(nèi)第一項為數(shù)1（3) 括號內(nèi)變量為1/x(或x)與指數(shù)x（或1/x）

4、符 號相同且互為倒數(shù) 注：若極限形式不是 型，則不能利用上述 公式計算. ”“1”“1利用兩個重要極限計算例如：exexxxxx1)1 (lim)1 (lim10，例2：計算下列極限23333sinlim2123sinlim1)00 xxxxxx（4141)(sinlim2sin2lim2cos1lim)2(22220222020 xxxxxxxxx利用兩個重要極限計算2141)(sin2lim2sin2limcos1limcos1limsinlim) 1(sinlimsinlim) 3 (22220222002003cos1030 xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxtgx利用兩個重要

5、極限計算41212sin2lim211112sinlim) 11(2sin11lim) 11(2sin) 11)(11(lim2sin11lim) 4 (00000 xxxxxxxxxxxxxxxxxxx利用兩個重要極限計算5353lim53lim53sinlim)55()33sin(lim0,:53sinlim)5(05533sin000ttttttgtttgttxtxxtgxttttgtttttx原式時令利用兩個重要極限計算 例3計算下列極限2)2(000)2-1lim)2-1lim21lim) 1 (211exxxxxxxxx（3)3()x2-1lim)2(lim)2(lim)2(232

6、32exxxxxxxxxx（43133)1(13131)1(lim)1(lim)1()1(lim)11(lim)31(lim)3(3eeexxxxxxxxxxxxxxxxxxx利用兩個重要極限計算exxxxxxxxxln)1 (limln)1 (lnlim)1ln(lim)4(1100011010ln)1ln(lim)1ln(lim0, 1,11(lnlimlnlnlim1lnlim)5(1eeeteetttextteexexexxtttexexexexexexex原式時，令：）利用等價無窮小代換計算極限如果：時下列無窮小等價：在常用等價無窮小代換：是等價無窮小量，記為與時則稱在而0.)()(

7、xx1)()(lim0)(lim, 0)(lim0000 xxxxxxxxxxxxx利用等價無窮小代換計算極限212121)sinx (2)sin(3)sin(4)(5)(6)1 cos(7) 11(8)ln(1) (9)1(10)csinnnxxkxkxxxtgxxtgkxkxxxxxxxexarxx（注：利用等價無窮小代換，可以將左邊比較復雜的無窮小用右邊較簡單的無窮小等價代換，使極限計算簡單化利用等價無窮小代換計算極限 例4：計算下列極限2022221122212210211(2)lim1cos2011,1cos2(2 )21lim(2 )4xxxxxxxxxxxx 時，原式32lims

8、in2lim) 1 (320320 xxxxtgxx利用等價無窮小代換計算極限xxxxxx00lim)1ln(lim)3(21lim11limsin1sin1lim) 4 (2221022020 xxxxxxxxxx21)(lim)1 (cos1lim)5(22100 xxxexxxxx利用等價無窮小代換計算極限0limsinsinlim,21limcos)cos1 (sinlim1(sinlimsinsinlim)6(303032210303cos1030 xxxxxtgxxxxxxxxxxxxtgxxxxxxxx但是）注：等價無窮小代換是將分子或分母中的乘積形式的無窮小因子整體代換，而對于

9、分子或分母中的兩個無窮小之差，不能直接代換，應先化簡再代換利用羅必塔法則計算極限羅必塔法則是計算 型極限未定式的最有效方法之一1.”或“00條件：的某一鄰域內(nèi)滿足以下在設(shè)羅必塔法則：”型極限未定式：”或“0)(),(00 xxgxf；的某一鄰域內(nèi)存在且在）（或（0)()(),()2(0)(lim)(lim1)000 xgxxgxfxgxfxxxx利用羅必塔法則計算極限導數(shù)比的極限即函數(shù)比的極限等于其則）存在；或AxgxfxgxfAxgxfxxxxxx)()(lim)()(lim,()()(lim) 3(000利用羅必塔法則計算極限例5：計算下列極限11limlimlim) 1 (2211112

10、22xxarctgxxxxxxx616lim31lim321lim) 1(2) 1(lim)2(0202030 xexeexexexexeexeexxxxxxxxxxxxxxx利用羅必塔法則計算極限 注：在使用羅必塔法則前，應先檢查極限是 否為 型未定式，并且在連續(xù)使用時，每步都需檢查，若不是未定式則停止使用，此時極限已求出。”或“00利用羅必塔法則計算極限172lim7ln2lnlim7ln2lnlim)3(712100 xxxxxxxxtgxtg3limcos1limsinlimsin)cos1 (limsincoslim)4(22122302230221000 xxxxxxxxxxxxx

11、xxxxxxxxx利用羅必塔法則計算極限 注2：將羅必塔法則與等價無窮小代換結(jié)合 起來使用極限計算將更簡單。10101limcos1sin1lim,sin1cos1limcossinlim)5(11xxxxxxxxxxxxxx原式但不存在利用羅必塔法則計算極限1)1)1lim,limlimlim)6(2211xxexexxxxxxxxxxxxxxxxxeeeeeeeeeeeeee（原式但出現(xiàn)循環(huán)利用羅必塔法則計算極限 注3：當:應改用其他方法求之。而原極限未必不存在，法則失效，或出現(xiàn)循環(huán)時，羅必塔不存在，)()(lim0 xgxfxx）（）（則若（”型未定式”和“)(100)(1)(g)()(

12、)(,0)()(1)02xfxgxxfxgxfxgxf利用羅必塔法則計算極限例6：計算下列極限1)lim1lim) 1(lim1)011122111eeeexxxxxxxxxx（1000sin10011000ln22100lnln2) lim sinlnlimlimlimlimsin0sinsinlim sinlnlimlimlncoslimlimlnlnxxxxxxxxxxxxxxxxxxcsextgxxcsexctgxxxxxxxxxxx （但 是 ，無 結(jié) 果 。利用羅必塔法則計算極限 注4：在 型中若乘積因子含有l(wèi)nx，lnf(x)則其只能作分子而不能將其倒到分母中。例7 求下列極限:

13、型或利用通分化成若00,)()(:)2(xgxf212lim21lim1lim) 1(1lim)111(lim1)002000 xxxexxeexxeexxxxxxxxxxx（0利用羅必塔法則計算極限02lim2cos1limsinlimsinsinlim)1sin1(lim2)221002000 xxxxxxxxxxxxxxxxxx（21lim1ln11lnlimln) 1(1lnlim)ln11(lim3)211111111xxxxxxxxxxxxxxxxxx（利用羅必塔法則計算極限 3. 冪指函數(shù)的極限；00000( )0( )1( )( )lim ( ),(0 ,0 ,1 ) ( ),ln( )ln ( )(0. )ln ( )limlnlim ( )ln ( )limlim ( )g xxxg xxxxxxxg xg xkxxf xyf xyg xf xf xyg xf xkf xe令則利用羅必塔法則計算極限例8 求下列極限:11111111111111)lim(1 )ln,ln1lnlim lnlimlim111limxxxxxxxxxxxyxyxxyxxe （令利用羅必塔