專題平面向量中的范圍和最值問題

1、專題十、平面向量中的最值和范圍問題平面向量中的最值和范圍問題，是一個(gè)熱點(diǎn)問題，也是難點(diǎn)問題，這類試題的基本類型是根據(jù)給出的條件求某個(gè)量的最值、范圍，如：向量的模、數(shù)量積、夾角及向量的系數(shù).解決這類問 題的一般思路是建立求解目標(biāo)的函數(shù)關(guān)系，通過函數(shù)的值域解決問題， 同時(shí)，平面向量兼具“數(shù)”與“形”的雙重身份，解決平面向量最值、范圍問題的另一個(gè)基本思想是數(shù)形結(jié)合.考點(diǎn)1、向量的模的范圍例1、（1）已知直角梯形ABCD中，AD/BC, ADC =90°,ad =2,BC =1,P是腰DC上的 動(dòng)點(diǎn)，貝U PA +3PB的最小值為 .(2) ( 2011遼寧卷理)若a,b,c均為單位向量，且

2、 a，b=O, （ac）（bc）蘭0，貝U a + b c的最大值為（）A. 2-1B. 1C. 2D. 2卜 1- HI- h F-»F1- （2010浙江卷理）已知平面向量0式0, a式0）滿足B =1，且a與0 - a的夾角為12O °貝U a的取值范圍是 變式：已知平面向量a, B滿足丨：卜斗1且a與一的夾角為12O ,則| （Vt 0 t2 （切R）的取值范圍是;7 c 7 c小結(jié)1、模的范圍或最值常見方法：通過 |a|2=a2轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)問題；數(shù)形結(jié)合；坐標(biāo)法. 考點(diǎn)2、向量夾角的范圍,2sin%）,貝U OA與OB夾角的取值范圍是例 2、已知 O)B= (2,O

3、), OC= (2,2), CA= ( .2cosa,A.Tt n12' 3B.C.雖，祠 D.5n n12，2小結(jié)2、夾角范圍問題的常見方法：公式法；數(shù)形結(jié)合法；坐標(biāo)法.考點(diǎn)3、向量數(shù)量積的范圍 例3、（1）已知圓0的半徑為1, PA、PB為該圓的兩條切線，A、B為兩切點(diǎn)，貝U PA PB的最小值為()(A)-42(B) - 32(C) - 42 . 2(D) - 32. 21t t如右圖，在梯形ABCD中，DA=AB=BC =°CD=1點(diǎn)P在陰影區(qū)域（含邊界）中運(yùn)動(dòng)，則AP BD的取值范圍是小結(jié)3、數(shù)量積問題涉及的方法較多，常用的方法有：定義；模與投影之積；坐標(biāo)法；t t

4、 t tt T ,a + b、2,a-b、2a b=（ 2 ） -（ 2 ）-考點(diǎn)4、向量的系數(shù)問題： 例4、給定兩個(gè)長度為1的平面向量0A和0B，它們的夾角為120°.如圖所示，點(diǎn) C在以0為圓心的圓弧Ab上變動(dòng) 若0C=xoA+yoB其中X, y R，則x+y的最大值是 小結(jié)4、向量系數(shù)問題的一般處理方法：點(diǎn)乘法；幾何法；整體法.T TI變式：已知點(diǎn)G是 ABC的重心，點(diǎn)P是 GBC內(nèi)一點(diǎn)，若 AP ABAC,則丄的取1 23值范圍是（）A . （一,1）B. （一,1）C. （1-）D. （1 , 2）2 32專題十、平面向量中的最值和范圍問題練習(xí)題1、（2011全國新課標(biāo)理）

5、已知a,b均為單位向量，其夾角為二，有下列四個(gè)命題p1 :| a b | 仁：v 0,)3P13：|a -b| 1=二0, 3)2兀p2 ： | a b | 坯:,p4 :| a -b| 1=二(，門3D. P2，P4B P1,P3C P2, P32、（2012廣東卷）對任意兩個(gè)非零的平面向量:-和：，定義:-:二 一.p *p其中真命題是（A. 5, P4足心0, a與b的夾角簾嚴(yán)打,且a b和b a都在集合 -Z 中，則 af;b 二()J3、（2012寧波市期末）在. ABC中，D為BC中點(diǎn)，若.A =120 , AB AC -，貝U AD 的最小值是 （)A. 1B.3C. QD竺22

6、24、（2011福建卷）已知O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn) A若點(diǎn)M卡淪2(1,1)(x,y)為平面區(qū)域x< 1十2上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則om'OA的取值范圍是（)A . 1 , 0B . 0, 1C.0, 2D.1,25、（2012浙江會考）在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，M是BC的中點(diǎn)，P,Q是正方體內(nèi)部及面上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則AM PQ的最大值是（）A.-B.1 C.- D.52246、（2011 全國大綱理） 設(shè)向量 a,b, c滿足 a = b =1, a b = - , ac, b cj=60°，貝y c的最大值等于（）A. 2B.3 C.、2 D. 17、如圖，在

7、直角梯形ABCD中, ABAD. AD=DC=t AB=3在以點(diǎn)C為圓心,且與直線BD相切的圓內(nèi)運(yùn)刖丁，則P呼的取值范圍是（）A. J B. i J I C.D.片 H4 4f f8、 （2012安徽卷）若平面向量a,b滿足：2ab蘭3；則a b的最小值是 ；9、已知向量a = （x -1,2）, b =（4, y）,若£ _ b，則9x 3y的最小值為 10、（ 2012北京卷）已知正方形ABCD的邊長為1,點(diǎn)E是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，則DE CB的值為，DE DC的最大值為11、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形OABC的邊長為1，E為AB的中點(diǎn)，若F為正方形內(nèi)（含邊界）任意一點(diǎn)，則 OeOF 的最大值為 12、如圖，線段AB長度為2，點(diǎn)代B分別在x非負(fù)半軸和y非負(fù)半軸上滑動(dòng)，以線段 AB為邊，在第一象限內(nèi)作矩形ABCD，BC =1，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則