專項(xiàng)練習(xí)菱形的判定

1、菱形的判定、選擇題1. 下列條件能判斷四邊形ABCD是菱形的條件是（）A 對角線互相平分B.對角線互相垂直C 鄰邊相等D 對角線互相垂直且平分2. 若平行四邊形對角線的平方和等于它一邊平方的四倍，則該平行四邊形一定 為（ ）A. 矩形.B .菱形.C.矩形和菱形.D .正方形.3. 滿足下列（ ）的是菱形.A .兩對角線相等B. 兩對角線垂直C. 兩條對角線垂直且互相平分D. 兩條對角線相等且互相垂直4順次連結(jié)四邊形各邊中點(diǎn)得到的四邊形是一個菱形，則原來的四邊形必是（ ）A. 等腰梯形B .矩形C.對角線相等D .菱形5. 將一張矩形紙對折再對折（如圖），然后沿著圖中的虛線剪下，得到、兩 部分

2、，將展開后得到的平面圖形是（）A.矩形 B .三角形C.正方形D .菱形6. 已知四邊形的兩條對角線相等，那么順次連結(jié)四邊形各邊中點(diǎn)，得到的四邊形是（）A.梯形B.矩形C.菱形D .正方形7. 用兩根等寬的木條交叉重疊在一起，則重疊部分的圖形一定是（）A.矩形B.菱形C.正方形D .無法確定8. 已知四邊形ABCD是平行四邊形，下列結(jié)論中不一定正確的是（）A. AB=CDB. AC=BDC. AC _ BD時，它是菱形D. 當(dāng).ABC =90時，它是矩形二、填空題9. 依次連結(jié)等腰梯形各邊中點(diǎn)所成的四邊形是 .10. 在四邊形ABCD中，對角線AC、BD交于點(diǎn)O，從(1) AB二CD ; (2

3、)AB/ CD ; (3) OA=OC ; (4) OB = OD ; (5) AC 丄 BD ; (6) AC 平分.BAD 這六個條件中，選取三個推出四邊形 ABCD是菱形.如(1) (2) (5) = ABCD 是菱形，再寫出符合要求的兩個： = A B C是菱形； =A B C是菱形.11. 延長等腰 ABC頂角平分線AD到E使DE二AD，連結(jié)BE，CE，則四邊形ABEC是形.12. 對角線勺四邊形是菱形.MNDC13. 將矩形ABCD繞對角線交點(diǎn)逆時針方向旋轉(zhuǎn)一角度后，使 A與B重合，得矩形BFDE，BF交AD于M，DE交BC于N，貝U四邊形BMDN是(填特殊四邊形的名稱).三、證明

4、題14. 已知，如圖，從菱形ABCD對角線的交點(diǎn)O分別向各邊引垂線，垂線分別是E，F(xiàn)，G，H .求證：四邊形EFGH是矩形.15. 已知四邊形ABCD的四邊分別為a，b，c，d，且滿足 a4 b4 c4 y4 =4abcd，求證：四邊形ABCD是菱形.16. 已知口 ABCD是對角線AC、BD相交于0，如圖，且AD -.13, AC = 6 ,BD=4，你能說明四邊形ABCD是菱形嗎？17. 如圖所示，Rt ABC中，.ACB =90*，ABC的角平分線BD交AC于點(diǎn)D ,CH丄AB交BD于F ， DE丄AB于E，四邊形CDEF是菱形嗎？18. 如圖，在五邊形 ABCDE 中，AB 二 BC

5、二 CD 二 DE 二 EA, ABC = 2 DBE .請說明：四邊形ACDE是菱形.19.如圖，在 ABC中,AD是.BAC的平分線,EF垂直平分 AD交AB于E ,交AC于F，求證：四邊形AEDF是菱形.D20. 如圖，矩形ABCD中，0是兩對角線的交點(diǎn)，AF垂直平分線段0B，垂足 為E，CH垂直平分線段0D，垂足為G .求證：（1） AOB是等邊三角形；（2）四邊形AFCH是菱形.21. 如圖，矩形ABCD中，0是AC與BD的交點(diǎn)，過0點(diǎn)的直線EF與AB，CD 的延長線分別交于E，F(xiàn) .(1)求證： B0E D0F ;（2）當(dāng)EF與AC滿足什么條件時，四邊形 AECF為菱形？并證明你的

6、結(jié)論.22. 如圖所示，AD是Rt ABC斜邊BC上的高，.B的平分線交AD于M，交AC 于E， DAE的平分線交CD于N .求證：四邊形 AMNE為菱形.A亍MDN23. 如圖所示，在四邊形ABCD中，對邊AB二CD , M , N , P , Q分別是AD ,BC , AC , BD的中點(diǎn)，求證：MN丄PQ .24. 如圖，四邊形 ABCD中，點(diǎn)E在AB上，且 ADE與厶BCE都是正三角形, 點(diǎn)P，Q，M，N分別為邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)求證：四邊形PQMN為菱形.25. 如圖，四邊形ABCD中， ABC =/ADC =90，M為AC中點(diǎn)，且MN丄BD與MD的平行線BN交于N，求證：

7、四邊形BNDM為菱形.D26. 如圖 RtA ABC 中，BAC =90 , AD 丄 BC 于 D , CE 平分.ACB 交 AD 于 G , 交AB于E , EF丄BC于F ,求證：四邊形AEFG為菱形.27. 0 ABCD的對角線的垂直平分線與邊形AFCE是菱形.AD,:四邊28. 已知：如圖，過ABCD的對角線交點(diǎn)0作互相垂直的兩條直線EG,FH與平行四邊形ABCD各邊分別相交于點(diǎn)E, F, G, H .求證：四邊形EFGH是菱形.D29. 如圖，在L ABCD中，0是對角線AC的中點(diǎn)，過點(diǎn)O作AC的垂線與邊AD,BC分別交于E, F.求證：四邊形AFCE是菱形.四、應(yīng)用題30. 如

8、圖，在四邊形 ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn), 請?zhí)砑右粋€條件，使四邊形 EFGH為菱形，并說明理由.參考答案、選擇題1. D2. B3. C4. C5. D6. C7. B8. B二、填空題9. 菱形10. (5)或如(6)11. 菱12. 互相平分且垂直13. 菱形三、證明題14. 先證四邊形HEFG為平行四邊形，再證 HF二EG .15. 解：因?yàn)?a4 b4 c4 d4 二4abcd，所以 2a4 2b4 2c4 2d4 -8abcd = 0 ,所以(a4 -2a2b2 b4) (b4 -2a2c2 c4) (c4 -2c2d2 d4) (d4 -2a2d

9、2 a4)2(a2b2 -2abcd c2d2) 2(a2d2 -2abcd b2c2) =0所以(a2 -b2)2 (b2 -c2)2 (c2 -d2)2 (d2 -a2)2 2(ab-cd)2 2(ad -be)2 =0 由非負(fù)數(shù)性質(zhì)得，a2-b2=0, b2-c2=0, c2-d2=0,d2-a2 =0 , ab-cd=0 , ad-bc = 0 .所以 a = b = c = d .所以四邊形ABCD是菱形.16解：t四邊形ABCD是平行四邊形，AC =6, BD =4 .OA =OC =3, OB =OD =2 .又7 AD二帀.AD-OA2 OD2.AOD =90；,即：AC 丄

10、BD .C ABCD是菱形.17解：四邊形CDEF是菱形.理由如下：:DE 丄 AB, CH 丄 AB,.DE / CH .即：DE / CF .又：BD是角平分線，DE 二 DC ,且 BDE "BDC.:DE / CH ,BDE =/CFD.CDF = DFC.CD 二CF.CF 二 DE.四邊形CDEF是平行四邊形，又因DC = DE .四邊形CDEF是菱形.18. 提示：只需證四邊形EACD為平行四邊形，只需證明 AE / CD，過B作BM / AE 經(jīng)證 BM / CD 即可.19. v EF 垂直平分 AD ,二 AE 二 DE , AF 二 DF , AD 平分 BAC

11、 , AED AFD ,二 AE 二 AF ,二 AE 二 DE 二 AF = DF , 故四邊形AEDF是菱形.1120. (1)可證 OA AC , OB BD , OA=OB .22v AF垂直平分OB ,二OA二AB=OB，故 AOB為等邊三角形.(2)在等邊 AOB 中,AF 丄 OB ,二 OAE - BAE = 30：,可證明 FCA = DAC , FCA = EAO , / AF =CF , 可證明四邊形AFCH是平行四邊形，而AF =CF，故四邊形AFCH是菱形.21. (1) 在矩形 ABCD 中，AB / CD , a . E=. F, . EBO - FDO，又BO

12、=0D， BOE DOF .(2)當(dāng)EF與AC垂直時，四邊形AECF為菱形.證明： BOE DOF，a EO = FO .又AO=OC , a四邊形AECF為平行四邊形.又EF丄AC , a四邊形AECF為菱形.22. 證明：設(shè)AN與ME交于點(diǎn)O，因?yàn)锳D是RtA ABC斜邊BC上的高， 所以.ABD - CAD .又BE，AN分別平分.ABD和.CAD，所以.EAN ABE .所以在RtA ABE中，.AOB = 90：， AME是等腰三角形，AN平分ME，又因?yàn)?/ ABO =/NBO，OB =OB，所以RtA AOB也Rt NOB，AO =ON，即ME垂直平分 AN，四邊形AMNE是 菱

13、形.23. 證明四邊形MQNP是菱形即可.24. 連結(jié) AC，BD，: ADE 與厶 BCE 都是正三角形，.AE 二 DE，CE 二 BE，AED = BEC =60， AEC = 60DEC 二 DEB 證厶 AEC 也 DEB1(SAS) AC=DB，又 P，Q，M，N 分別為各邊中點(diǎn)，得 PQ 二 MN AC，21QM 二 PN BD. PQ=QM = MN = NP .四邊形 PQMN 為菱形.225. 設(shè)MN與BD交于O，易證MB = MD，再證 DOM也 BON，從而BN =DM，又由BN / DM，可證得四邊形BNDM為菱形.26. 易證 AE 二 FE，而且 AD / EF， AEG “AGE AG 二 EA 二 EF 又AG / EF AEFG 為菱形.27. 證明：EF 垂