初中數(shù)學(xué)三角形全等講義

1、1.4全等三角形教學(xué)目標(biāo) 1知道什么是全等形、全等三角形及全等三角形的對(duì)應(yīng)元素； 2知道全等三角形的性質(zhì)，能用符號(hào)正確地表示兩個(gè)三角形全等； 3能熟練找出兩個(gè)全等三角形的對(duì)應(yīng)角、對(duì)應(yīng)邊教學(xué)重點(diǎn) 全等三角形的性質(zhì)教學(xué)難點(diǎn)找全等三角形的對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角教學(xué)過(guò)程一、三角形全等的概念如果我們把兩張紙重疊起來(lái)，同時(shí)得到兩個(gè)三角形，你能發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)三角形有什么特征嗎？我們發(fā)現(xiàn)：這兩個(gè)三角形的形狀、大小完全一樣，我們把這兩個(gè)圖形放在一起，他們能夠完全重合，像這樣的圖形，我們就稱(chēng)為是全等形.概括全等形的準(zhǔn)確定義：能夠完全重合的兩個(gè)圖形叫做全等形能夠完全重合的三角形叫做全等三角形.將ABC沿直線BC平移得DEF；將

2、ABC沿BC翻折180°得到DBC；將ABC旋轉(zhuǎn)180°得AED 議一議：各圖中的兩個(gè)三角形全等嗎？不難看出ABC和DEF，ABC和DBC，ABC和AED都是全等三角形.我們把兩個(gè)三角形全等記作：ABCDEF，ABCDBC，ABCAED （注意強(qiáng)調(diào)書(shū)寫(xiě)時(shí)對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)字母寫(xiě)在對(duì)應(yīng)的位置上） 啟示：一個(gè)圖形經(jīng)過(guò)平移、翻折、旋轉(zhuǎn)后，位置變化了，但形狀、大小都沒(méi)有改變，所以平移、翻折、旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等，這也是我們通過(guò)運(yùn)動(dòng)的方法尋求全等的一種策略二、三角形全等的性質(zhì)甲圖中兩三角形的對(duì)應(yīng)元素，它們的對(duì)應(yīng)邊有什么關(guān)系？對(duì)應(yīng)角呢？引導(dǎo)學(xué)生從全等三角形可以完全重合出發(fā)找等量關(guān)系）全等三角形的性

3、質(zhì)：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等例1：如圖，OCAOBD，C和B，A和D是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，說(shuō)出這兩個(gè)三角形中相等的邊和角例2：如圖，已知ABEACD，ADE=AED，B=C，指出其他的對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角根據(jù)位置元素來(lái)找：有相等元素，它們就是對(duì)應(yīng)元素，然后再依據(jù)已知的對(duì)應(yīng)元素找出其余的對(duì)應(yīng)元素常用方法有：（1）全等三角形對(duì)應(yīng)角所對(duì)的邊是對(duì)應(yīng)邊；兩個(gè)對(duì)應(yīng)角所夾的邊也是對(duì)應(yīng)邊（2）全等三角形對(duì)應(yīng)邊所對(duì)的角是對(duì)應(yīng)角；兩條對(duì)應(yīng)邊所夾的角是對(duì)應(yīng)角例3：已知如圖ABCADE，試找出對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角（由學(xué)生討論完成）1如圖，已知ABCDCB，且AB=DC，則DBC等于（ ）AA BDCB CABC DACB2已知A

4、BCDEF，AB=2，AC=4，DEF的周長(zhǎng)為偶數(shù)，則EF的長(zhǎng)為（ ）ABCDE（第4題）AODBC（第1題）A3 B4 C5 D 63已知ABCDEF，A=50°，B=65°，DE=18，則F=_°，AB=_ABECD4如圖，ABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)180°得到AED，則DE與BC的位置關(guān)系是_，數(shù)量關(guān)系是_5把ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，邊AB旋轉(zhuǎn)到AD，得到ADE，用符號(hào)“”表示圖中與ABC全等的三角形，并寫(xiě)出它們的對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角ABFEDC6如圖，把ABC沿BC方向平移，得到DEF求證：ACDF。ACFED7如圖，ACFADE，AD=9，AE=4，求DF的長(zhǎng)

5、1.5全等三角形的判定(SSS)1、只給一個(gè)條件（一組對(duì)應(yīng)邊相等或一組對(duì)應(yīng)角相等），你可以畫(huà)出多少三角形呢？畫(huà)出的三角形一定都全等嗎？2、給出兩個(gè)條件畫(huà)三角形時(shí)，有幾種可能的情況，每種情況下作出的三角形一定全等嗎？分別按下列條件做一做 三角形一內(nèi)角為30°，一條邊為3cm 三角形兩內(nèi)角分別為30°和50° 三角形兩條邊分別為4cm、6cm 學(xué)生分組討論、探索、歸納，最后以組為單位出示結(jié)果作補(bǔ)充交流 結(jié)果展示： 1只給定一條邊時(shí)： 只給定一個(gè)角時(shí)： 2給出的兩個(gè)條件可能是：一邊一內(nèi)角、兩內(nèi)角、兩邊 可以看出來(lái)當(dāng)只給出一個(gè)條件或兩個(gè)條件時(shí)，我們不能保證畫(huà)出來(lái)的三角形都

6、是全等三角形，那么如果給出來(lái)三個(gè)條件時(shí)，又會(huì)有怎樣的結(jié)果呢？給出三個(gè)條件時(shí)有下面四種情況：三條邊、三內(nèi)角、兩邊一內(nèi)角、兩內(nèi)角一邊，我們先來(lái)探索第一種情況.請(qǐng)按照下面的方法，用刻度尺和圓規(guī)畫(huà)DEF，使其三條邊分別為1.3cm，1.9cm，2.5cm.畫(huà)法：1、畫(huà)線段EF=1.3cm；2、 分別以E、F為圓心，1.9cm，2.5cm長(zhǎng)為半徑畫(huà)兩條弧，交于點(diǎn)D；3、 連結(jié)DE，DF；DEF就是所求的三角形.按照上述方法你畫(huà)出了幾個(gè)三角形，它們有什么關(guān)系呢？通過(guò)上面的討論我們有如下判定三角形全等的邊邊邊定理：三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（簡(jiǎn)寫(xiě)為“邊邊邊”或“SSS”）用上面的規(guī)律可以判斷兩個(gè)三角形全等

7、判斷兩個(gè)三角形全等的推理過(guò)程，叫做證明三角形全等所以“SSS”是證明三角形全等的一個(gè)依據(jù)例1：如圖，ABC是一個(gè)鋼架，AB=AC，AD是連結(jié)點(diǎn)A與BC中點(diǎn)D的支架求證：ABDACD例2：如圖，已知AC=FE、BC=DE，點(diǎn)A、D、B、F在一條直線上，AD=FB要用“邊邊邊”證明ABCFDE，除了已知中的AC=FE，BC=DE以外，還應(yīng)該有什么條件？怎樣才能得到這個(gè)條件？如何利用直尺和圓規(guī)作一個(gè)已知角的角平分線呢？按照下面的步驟，我們可以作出來(lái)一條直線，求證這條直線即是角平分線.ABC1、以點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作圓弧，與角的兩邊分別交于E、F兩點(diǎn)；2、 分別以E、F為圓心，大于EF長(zhǎng)的半徑；

8、作圓弧，兩條圓弧交于內(nèi)一點(diǎn)D；3、 過(guò)點(diǎn)A、D作射線AD.射線AD就是所求作的的平分線.根據(jù)我們作出的圖形，找到已知條件，并證明AD是的平分線.把兩根木條的一端固定在一起，木條會(huì)自由轉(zhuǎn)動(dòng)。在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，連結(jié)另兩個(gè)端點(diǎn)所組成的三角形的形狀、大小會(huì)隨之改變.如果把另外兩個(gè)端點(diǎn)用一根木條固定住，那么構(gòu)成的三角形的形狀，大小就完全確定.這就告訴我們一個(gè)生活實(shí)踐的有關(guān)知識(shí)：用三根木條釘成三角形框架，它的大小和形狀是固定不變的，而用四根木條釘成的框架，它的形狀是可以改變的三角形的這個(gè)性質(zhì)叫做三角形的穩(wěn)定性所以日常生活中常利用三角形做支架就是利用三角形的穩(wěn)定性1.5全等三角形的判定(SAS)1、怎樣的兩個(gè)三

9、角形是全等三角形？2 全等三角形的性質(zhì)？3、上一節(jié)我們學(xué)習(xí)了什么方法來(lái)判定三角形全等？除了這個(gè)方法，還有沒(méi)有其它的方法呢？如右圖2，AC、BD相交于O，AO、BO、CO、DO的長(zhǎng)度如圖所標(biāo)，那么ABO和CDO是否能完全重合呢？如果把OAB繞著O點(diǎn)順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，因?yàn)镺AOC，所以可以使OA與OC重合；又因?yàn)锳OBCOD， OBOD，所以點(diǎn)B與點(diǎn)D重合這樣ABO與CDO就完全重合根據(jù)這個(gè)圖形我們來(lái)探討一下判定三角形全等的另一個(gè)方法.不難看出，這AOB和COD有三對(duì)元素是相等的，從而我們得到：AOBCOD由此，我們得到啟發(fā)：判定兩個(gè)三角形全等，只需要這兩個(gè)三角形有兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩

10、個(gè)三角形全等這就是邊角邊公理：有兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(簡(jiǎn)稱(chēng)“邊角邊”或“SAS”)按下面的步驟畫(huà)圖：畫(huà)DAE45°，在AD、AE上分別取 B、C，使 AB3.1cm，AC2.8cm連結(jié)BC，得ABC按上述畫(huà)法再畫(huà)一個(gè)ABC觀察ABC與ABC是否能夠完全重合？任意給出三角形的兩條邊和一個(gè)角，我們畫(huà)出的三角形是否都全等呢？已知ABC中=，AC=3cm，BC=2cm，那么你可以畫(huà)出怎樣的三角形呢？試著畫(huà)一畫(huà).利用邊角邊定理判定三角形全等時(shí)，對(duì)應(yīng)角一定要是對(duì)應(yīng)邊的夾角.例1：已知：如圖，ABAC，F(xiàn)、E分別是AB、AC的中點(diǎn)求證：ABEACF例2：已知：點(diǎn)A、F、E、C在

11、同一條直線上，AFCE，BEDF，BEDF求證：ABECDFBAC例3：直線線段AB于點(diǎn)D，且AD=BD，點(diǎn)C是直線D上任意一點(diǎn)，證明AC=BC像直線這樣，垂直于一條線段，并且平分這條線段的直線叫做這條線段的垂直平分線，簡(jiǎn)稱(chēng)中垂線。線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等.(1)如圖3，已知ADBC，ADCB，要用邊角邊公理證明ABCCDA，需要三個(gè)條件，這三個(gè)條件中，已具有兩個(gè)條件，一是ADCB(已知)，二是_；還需要一個(gè)條件_(這個(gè)條件可以證得嗎？)(2)如圖4，已知ABAC，ADAE，12，要用邊角邊公理證明ABDACE，需要滿足的三個(gè)條件中，已具有兩個(gè)條件：_(這個(gè)條件可以證得嗎？)1.5全等三角形的判定(ASA或AAS)有兩個(gè)角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形一定全等嗎？請(qǐng)用量角器和刻度尺畫(huà)ABC，使BC=3cm，B=，C=.根據(jù)要求我們只能畫(huà)出一個(gè)三角形，由此我們得到角邊角定理：有兩個(gè)角和這兩個(gè)角的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（簡(jiǎn)寫(xiě)為“角邊角”或“ASA”）在一個(gè)三角形中兩角確定，第三個(gè)角一定確定我們是不是可以