
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文檔簡介
1、內(nèi)切球,外接球球內(nèi)接長方體的對角線是球的直徑。正四面體(棱長為a)的外接球半徑R與內(nèi)切球半徑r之比為R:r3:1。外接球半徑:。內(nèi)切球半徑:結(jié)論:正四面體與球的接切問題,可通過線面關(guān)系證出,內(nèi)切球和外接球的兩個(gè)球心是重合的,為正四面體高的四等分點(diǎn),即定有內(nèi)切球的半徑(為正四面體的高),且外接球的半徑正四面體的外接球問題:已知正四面體,H為底面的中心,O為外接球的球心,設(shè)棱長為a,外接球半徑為R,內(nèi)切球半徑為r,試求R.方法一:易知R+r=AH=,由等積法得:( 可求外接球半徑和內(nèi)切球半徑)所以: 故, 所以 .方法二:如圖所,即,又由R+r=AH=可得.方法三: 如圖設(shè)延長AH交球面上一點(diǎn)K,
2、則AK=2R,在直角三角形ABK中由射影定理得 即 故得.方法四:如圖正四面體可補(bǔ)成一個(gè)邊長為的正方體,顯然正方體的外接球即為正四面體的外接球,而故可得.四面體的內(nèi)切球問題:關(guān)鍵是抓住球心到四面體的每個(gè)面的距離等于球的半徑來找等量關(guān)系【例6】求棱長為a的正四面體內(nèi)切球的體積練習(xí)1.(球內(nèi)接正四面體問題)(2003年江蘇卷第12題)一個(gè)四面體的所有棱長都為,四個(gè)頂點(diǎn)在同一球面上,則此球的表面積為( )方法一:將這個(gè)正四面體放入一個(gè)正方體中,再將這個(gè)正方體放入球中與球相外接。因?yàn)檎襟w的對角線就是球的直徑,而正四面體的棱就是正方體的側(cè)面對角線。所以,設(shè)正方體的棱長為a,則有a=,a=1,故選A。此
3、題是典型的考查轉(zhuǎn)化、化歸思想。 方法二:畫圖3.(球內(nèi)接正四面體問題) 如果三棱錐的每條側(cè)棱長和底面邊長都是a,那么這個(gè)三棱錐的外接球的體積是( A )(A) (B) (C) (D)4.(球內(nèi)接正方體問題)(06年福建卷)已知正方體的八個(gè)頂點(diǎn)都在球面上,且球的體積為,則正方體的棱長為。5.(球內(nèi)接棱柱問題) 若一個(gè)底面邊長為,棱長為的正六棱柱的所有頂點(diǎn)都在一個(gè)平面上,則此球的體積為6. (球內(nèi)接長方體問題)一個(gè)長方體的各頂點(diǎn)均在同一球的球面上,且一個(gè)頂點(diǎn)上的三條棱的長分別為1,2,3,則此球的表面積為。7. (正三棱柱內(nèi)切球、外接球問題)一個(gè)正三棱柱恰好有一個(gè)內(nèi)切球(球與三棱柱的兩個(gè)底面和三個(gè)側(cè)面都相切)和一個(gè)外接球(球經(jīng)過三棱柱的6個(gè)頂點(diǎn)),則此內(nèi)切球與外接球表面積之比為 15 。8.(球內(nèi)接正三棱錐問題)在正三棱錐SABC中,側(cè)棱SC上側(cè)面SAB,側(cè)棱SC=2 ,則此正三棱錐的外接球的表面積為(方法:補(bǔ)成長方體)9.(球內(nèi)接正四棱錐問題)半徑為的球內(nèi)接一個(gè)各棱長都相等的四棱錐求該四棱錐的體積10.(正三棱錐球內(nèi)切問題) 正三棱錐的高為1,底面邊長為,正三棱錐內(nèi)有一個(gè)球與其四個(gè)面相切求球的表面積與體積說明:球與正三棱錐四個(gè)面相切,實(shí)際上,球是正三棱錐的內(nèi)切球,球
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