集合的勢,可數(shù)集與不可數(shù)集

1、可數(shù)集集合的勢、可數(shù)集與不第二節(jié).集合元素的個數(shù)素個數(shù)本節(jié)主要研究集合的元.不就行了嘛還需要研究嗎？數(shù)一數(shù)數(shù)的方法確定個數(shù)，但對于有限集，可以用數(shù)最簡單的無限集對無限集，怎么數(shù)？以中的元素是無法數(shù)的，即的數(shù)是誰我們根本清楚) 1 , 0(后面緊挨著數(shù)對而言但對于無限集xx),1 , 0(,) 1 , 0(., 1還是可以數(shù)的即后面緊挨著的是數(shù)Nnn, 2 , 1 nN .精力也數(shù)不完為例，我們花上畢生的而且我們知道確定無限集由此看來用數(shù)數(shù)的方法是不可數(shù)的即.) 1 , 0(.的元素個數(shù)是完全行不通.的本質(zhì)特性兩個集合元素個數(shù)相等座位集之間的關(guān)系引出下面以教室中學(xué)生集與那么下面的無限集”就是無窮

2、“., 2 , 1 nN ?，還是不同的，是相同的它們的元素個數(shù)都是?。吭鯓訁^(qū)分？大，哪個哪個數(shù)本不用數(shù)，它的元素個也許你會說，無限集根)(題都可以解決這一節(jié)講完后，這些問, 2 , 1 , 0 nA,Q) 1 , 0(之間可以與元素個數(shù)相等與兩個集合BABA.建立一一對應(yīng)集合的勢. 1,:11BAf若存在，相等，記為基數(shù)勢與對等，或稱與則稱BABABA)(.nAnABA，則為為有限集，且元素個數(shù)若或?yàn)槎?，設(shè)定義BA,. 1 . 2 . 1., 5 , 4 , 3. 1NAnA則設(shè)例NAf:證明：令2)( nnfn . NA故的一一對應(yīng)，到是則NAf這是身的某一真子集對等此例說明：無限集與自

3、.定義，也可以作為無限集的無限集的一個本質(zhì)特征. 3, 3,的勢為知集如：由cbacba.2)(的嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)到值域定義域是此處NAxxf. 2例,2, 2 , 1NnnAnN設(shè)則, 2, 2 , 1, 1 , 0nnZ.AZN令先證證明：.).1 (ANANf:nnfn2)(的一一對應(yīng)，到是則ANf. AN故.).2(ZN再證ZNf:令)(nfn 其中，)(12, 12,)(Nmmnmmnmnf.,ZNZNf故的一一對應(yīng)到是則. 3例),() 1 , 0( :).1 (baf令證明：), 0(a), 1 ( boxy的一一對應(yīng)，到是則),() 1 , 0(baf).,() 1 , 0(ba故

4、.到值域的一一對應(yīng)嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)是定義域).,(),() 1 , 0(ba證明：xabaxfx)()(作線性函的嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)到值域是定義域分析：要.),() 1 , 0(baf由兩點(diǎn)式：數(shù)即可.,010ababxay.)(xabay得，則令xxgtan)().,()2,2().2(再證).,()2,2( :11g).,()2,2(故是任意：設(shè)定理CBA,1 . 2 . 1. ABBA ，或記為，的勢，記為的勢小于，則稱，且若BABABABA. AB 或;:).1 (AA反身性三集，則;:).2(ABBA則對稱性,:).3(CBBA，傳遞性，有且對若對拼合原則,:).4(BAI，BBAA的勢，的勢

5、不超過則稱BA,1 . 2 . 10BBA續(xù)：若定義; CA則AABB1111.BAII則;:).6(BABABA則，伯恩斯坦定理;:).5(CACBBA則，傳遞性.,:).7(其一三者必居其一，且僅居，是任意二集，則三歧性BABABABA.)6(BABABA ，：下面只證，有，分析：由BABA,:011BBAf,:011AABg則如圖記,01AAABA0A0B3B2B1B3A2A1A,01AA 即),(11AfB ),(12BgA ),(22AfB ,011AAB由于，所以012)(ABgA,21AA 即,21BB 此時(shí)必有,)(211xyfx于是使得,)(,)(,212211yxfyxfA

6、xAx則否則，若,21BBy.21矛盾這與AAfffgg.,互不相交nnBA,:011BBAf,:011AABg),(),(1nnnnAfBBgA),(),(2212AfBBgA令),(,1101AfBAAA，所以，證明：由于BABA), 2 , 1(nABnn由.11nnnnAB及拼合原則得)()(11iiiiBBBB從而.A)()(101iiiiAAA 且),( ,mnBBAAmnmn則0ABnnA1nnB1g1A.無限集，即可數(shù)集下面研究一類最簡單的可數(shù)集. 2;,2 , 4 , 2.2;, 2 , 1.1nAnN）（）（.,aNAANA為可數(shù)集，記為則稱若，是任意集合，設(shè)定義, 2 ,

7、 1. 2 . 2 . 1 nNA.:2 . 2 . 1的元素可排成無窮序列為可數(shù)集定理AA., 2, 2 , 1, 1 , 0.3nnZ）（可數(shù)，知”由證明：“A.),(,),2(),1 (即是無窮序列形式于是nfffAANf11:)(nfn 下列集合皆為可數(shù)集：例 . 4)2(ZAN：由例地排成了無窮序列，一般上面三個集合的元素都.,.nan總有對任何正整數(shù)由此定義知.為可數(shù)集的一一對應(yīng)，從而到是則ANAfnafann)(設(shè)的元素可排成無窮序列”由“.A令,21naaaANAf:.:3 . 2 . 1aAA為無限集定理.,00210aAAAAaaaAn，故，可數(shù)集，仍為無限集；且為無限集知

8、，由證明,:11aAAaA；仍為無限集，且于是,2112aaAaAa:.,121令，同理nnaaaAa.00aAAAA，則分析：若存在可數(shù)集.集是無限集中勢最小者此定理告訴我們：可數(shù).:4 . 2 . 10都是可數(shù)集的任何無限子集可數(shù)集定理AA.3 . 2 . 1:00aAA知為無限集，所以由定理由于證明.,000aAAAaAA故，所以又可數(shù)集.3 . 2 . 1數(shù)集為至多可數(shù)集：稱空集、有限集、可定義即是有：性質(zhì)，先下面研究可數(shù)集的運(yùn)算.介紹希爾伯特旅館可數(shù)集；有限個可數(shù)集的并集是是可數(shù)集；有限集與可數(shù)集的并集.可數(shù)集可數(shù)個可數(shù)集的并集是是可數(shù)集；可數(shù)集與可數(shù)集的并集.00aAaA ，則若能

9、證,0AAa分析：顯然個集是可特別地，如果其中有一仍為至多可數(shù)集 .證明并的情形，分兩種情況有：上面的情形綜合起來即集的交、并、差：至多可數(shù)個至多可數(shù)定理5 . 2 . 1.,那么并集必然是可數(shù)集可數(shù).，只需對并的情形證明對交、差運(yùn)算顯然成立可數(shù)集；有限個可數(shù)集的并集是).3(是可數(shù)集；有限集與可數(shù)集的并集).1 (.).4(可數(shù)集可數(shù)個可數(shù)集的并集是是可數(shù)集；可數(shù)集與可數(shù)集的并集).2(）（aan）（aaa）（ana ）（aaa 并的情況具體化就是：.,2121可數(shù)nmaaabbbBA.,2211可數(shù)nnbababaBA,.1BAo若,21naaaAA為無限集，且設(shè),21時(shí)當(dāng)mbbbB,21

10、時(shí)當(dāng)nbbbB 可數(shù)，由至多可數(shù)，由于ABABAB00.10可數(shù)知，ABABo，且則令A(yù)BABB00,.,都為有限集，結(jié)論成立若BA.,.1至多可數(shù)集至多可數(shù)集）證明：（BABA,.2BAo若B0BAA.)(.21可數(shù)可數(shù)）（iiiANiA設(shè)，若),(.1NjijiAAjio,321333323132232221211312111nnnnnnnnnaaaaAaaaaAaaaaAaaaaA. ,3122132112111可數(shù)于是aaaaaaAii，設(shè)有若jioAAjiNji,.2,122AAB)6( ,11習(xí)題ininnAAB.11可數(shù)知iiiiBA ）（可數(shù)，且，則2),(1iBBNjijiB

11、Biji,11AB .10可數(shù)可數(shù)時(shí)，仍然有且有一個iiiAAo1至多可數(shù)，由）至多可數(shù)，（當(dāng)注意：由上面證明知，NiAi. 5可數(shù)有理數(shù)集例Q.可數(shù).1可數(shù)從而iiAQ ),(,3,2,1NiiniiiAi證明：設(shè)可數(shù)，則iA可數(shù)，即QQQ 0QQQ所以.的開區(qū)間之集至多可數(shù)證明：直線上互不相交記）存在有理數(shù)）且對.,(,(barAbaababrbafba）,(,(.至多可數(shù)于是A.),(,(）ba區(qū)間之集，則是直線上互不相交的開證明：設(shè)A,QB 則有）對,),( ,(Aba,(AbarrBabab）.至多可數(shù)即B的一一對應(yīng)，到是則ABfBAf:令. 6例），結(jié)論記住（這是習(xí)題.101r2r

12、.的結(jié)果這是一個令人難以置信分布的整數(shù)一樣多的有理數(shù)與數(shù)軸上稀疏這說明數(shù)軸上處處稠密.QZNQZN皆可數(shù)、，即注意：各自、所確定，且、兩個相互獨(dú)立的元素mnmn.取遍一個可數(shù)集的元素是由可數(shù)？集合ANmnmnA,),( .,可數(shù)一個可數(shù)集，則而每個記號獨(dú)自地跑遍定A個記號所決中每一個元素均由：設(shè)定理nA6 . 2 . 1.,11111可數(shù)，結(jié)論成立時(shí)當(dāng)aIIxaAnx，則證明：設(shè), 2 , 1,21niaIIxaAiiixxxn可數(shù)；, 2 , 1,21kiaIIxaAiiixxxk即時(shí)結(jié)論成立設(shè),kn ,1時(shí)當(dāng) kn.1可數(shù)可數(shù)，從而由歸納假設(shè)知，jjjAAA 記對每一個,1)1(kkjIx

13、,)1()1(2)1(11knkkkxxxI設(shè), 2 , 1,)1(21kiaIIxaAiiixxxxjkjk.).1.(7點(diǎn)全體是可數(shù)集平面上坐標(biāo)為有理數(shù)的例次整系數(shù)多項(xiàng)式全體，對任意正整數(shù)nn).2(.0,2102210nnnnnaZaaaaxaxaxaaA所決定，、由兩個記號yx）中元素（則yxQ,2,).1.(2QyxyxQ）（設(shè)證明：.6 . 2 . 12可數(shù)知，由定理Q,Qyx各自跑遍可數(shù)集、且故跑遍可數(shù)集 ,Z所確定，個記號由naaaan,1210nnnxaxaxaaxP2210)(且每個記號各自.,)(210可數(shù)ZaaaaxPAnnn，對任意正整數(shù)n).2(.可數(shù).).1.(8

14、1可數(shù)整系數(shù)多項(xiàng)式全體例nnAA .)2(的根）全體可數(shù)代數(shù)數(shù)（整系數(shù)多項(xiàng)式.16).1.(1可數(shù)可數(shù)，從而）知（由例證明：nnnAAA 個，所以每一個整系次方程的根至多由于nn).2(至多可數(shù)而代數(shù)數(shù)全體為可數(shù)個. aB 故, aNB所以又即至多可數(shù)從而代數(shù)數(shù)全體.aBB，nnBBNnnxxN1, 0知整系由是至多可數(shù)集數(shù)多項(xiàng)式的根所成之集) 1 (.數(shù)多項(xiàng)式全體可數(shù)，集的并集，.的全體是可數(shù)集. 9例為半為心，有理數(shù)平面上以有理點(diǎn)證明：ryx),(.知，則由定理徑的園為6 . 2 . 1),(ryxO.可數(shù),),(QryxryxOA有理數(shù)為半徑的園平面上以有理點(diǎn)為心，集的性質(zhì)：通過上面討論

15、知道可數(shù)小的集；可數(shù)集是無限集中勢最. 2;. 1列的集都是可數(shù)集凡是能排成一個無窮序可數(shù)集；可數(shù)集的無限子集仍是. 3. 6是可數(shù)集；可數(shù)集個可數(shù)集的并集而每個記個記號所決定集合的每個元素由,. 7n不可數(shù)集. 3.集，則此集可數(shù)號獨(dú)自地跑遍一個可數(shù)？這中的無限集皆是可數(shù)集可數(shù)？即在全集從而RR.限集是存在的個結(jié)論不對，不可數(shù)無是否也可數(shù)？那么無理點(diǎn)集數(shù)軸上也處處稠密QR ,密稠密，而且無理點(diǎn)在有理點(diǎn)在數(shù)軸上處處稠可數(shù)集；有限個可數(shù)集的并集是. 5并集是可數(shù)集；可數(shù)集與至多可數(shù)集的. 4.) 1 , 0.(10是不可數(shù)無限集例.,) 1 , 0(21naaa可數(shù)，設(shè)若證明：用反證法) 1 ,

16、 0(.用十進(jìn)制小數(shù)表示為，nnnnnnnaaaaaaaaaaaa21222212112111. 0. 0. 0),(1, 21, 1Nnaabnnnnn記.) 1 , 0() 1 , 0(不可數(shù)矛盾，故這與 b），（ 1 , 0,. 021nbbbb.,nabNn有則對.,21naaab即.,) 1 , 0() 1 , 0(acc則是不可數(shù)無限集，記.) 1 , 0(),1 , 0(cAcAA勢集，有是則稱若.11cR 證明：例)2tan()(xxfx ),() 1 , 0( : Rf證明：令內(nèi)，是定義在則) 1 , 0(f的嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)，值域?yàn)?,(的一一對應(yīng)，到是從而Rf) 1 , 0(

17、. cR 故.,(),),.() 1 (.12cbabababa證明：例),() 1 , 0( :).1 (baf令證明：xabaxfx)()(的一一對應(yīng)，故到是則),() 1 , 0(baf.),(cba所以又),(,),(baba,),(,),(cbabac.,cba即.,(),cbaba同理可證).1 , 0(),(,),( ,).2(dcxbkxyyxLRbk對Ldcf),( :).2(令),()(bkxxxfx.),(),(cdcLLdcf的一一對應(yīng)，故到是則.勢集段、直線都是此例說明平面上任一線c.) 1 , 0() 1 , 0(.132cRRn證明：例,. 021nbbby ，n

18、nbababayxf2211. 0),(且則),1 , 0(A,) 1 , 0() 1 , 0( :11Af.) 1 , 0() 1 , 0() 1 , 0(cA設(shè)),1 , 0() 1 , 0(),(yx,. 021naaax 令),1 , 0() 1 , 0(),(),(yxyxfA記于是.) 1 , 0() 1 , 0(c故又,) 1 , 0() 1 , 0() 1 , 0(c所以),1 , 0() 1 , 0(5 . 0) 1 , 0() 1 , 0(.) 1 , 0() 1 , 0().1 (c先證證明：.) 1 , 0() 1 , 0() 1 , 0(的關(guān)系與嘗試建立1015 .

19、0令再證：.).2(2cR ),2tan(),2(tan(),(yxyx. cRn同理可證.) 1 , 0() 1 , 0(2cR211) 1 , 0() 1 , 0( :Rg則：他當(dāng)時(shí)寫信給戴德金說三年后他證明了.211RR中的點(diǎn)多，但中的點(diǎn)比康托曾試圖證明是一樣多RR2.面上的點(diǎn)與空間中的點(diǎn)這說明直線上的點(diǎn)、平”直不能相信它“我看到了它，但我簡.，21121121. 0),(aaaxxxfn);1 , 0(),1 , 0(),( ).1 (.1421NnxxxxBnn證例).1 , 0(),(),( ).2(21NnxxxxEnn令).1 (證明：只證，nnnnnnnaaaxaaaxaaa

20、x21222212112111. 0. 0. 0，) 1 , 0(:11ABf則又于是.) 1 , 0(cAB,)1 , 0(), 1 . 0 , 1 . 0 , 1 . 0 ,( 11cxxB. cB 故則記,),(),(2121BxxxxxxfAnn記,),(21Bxxxn)( ;).1 (7 . 2 . 1cnccc勢集勢集的并集為任意有限個：定理).().3()( ;).2(cccccccaccc勢集勢集的并集為勢個勢集勢集的并集為可數(shù)個. cA故不相交的情形證明：證明：僅就任意二集互), 2 , 1().1 (nicAi設(shè), 1iiAi（則于是, 0(, 111niiAAniini（

21、., 0(.21cBABii故）同理）（勢集的運(yùn)算性質(zhì)：下面研究c) 1 , 0(:11If)(f，有于是對I從而. cAI),1 , 0() 1 , 0()1 , 0(),( yyfAII),1 , 0(),( yyfA則設(shè)),().3(cIIcA故101)(f,8 . 2 . 1個記號所決定中每一個元素均由：設(shè)定理nA.勢集為勢集，則一個而每個記號獨(dú)自地跑遍cAc，則證明：設(shè), 2 , 1,21nicAAxaAiiixxxn)(iiixfx),(:11iiAf)(,),(),(221121nnxxxxfxfxfannRAg11:令. cRAn則的兩個運(yùn)算性質(zhì)：最后，我們給出無限集.11nRAnA個記號確定，嘗試建立中元素由由于為無限集，證明：由于A，使且在可數(shù)子集AA 0由于即.)(00AABA，)()()(00ABAAAABABA.至多可數(shù)AB 而，)()(00ABAAA，00)(AAA.)()()(0000AAAAABAAABA.)0可數(shù)（ABA所以為至多可數(shù)集，則為無限集，：設(shè)定理BA9 . 2 .