高數(shù)2復(fù)習(xí)重點(diǎn)難點(diǎn)例解

1、高數(shù)復(fù)習(xí)資料一. 關(guān)于二元函數(shù)在一點(diǎn)的極限、連續(xù)性和是否存在偏導(dǎo)數(shù)的討論例 1求極限limx2 y 2 ln( x 2y2 ) ，( x, y) (0 ,0)limx2y2ln( x22)lim( x22)2ln( x2y2)x2 y22 ，解：yy22(x , y)(0,0)( x, y ) (0,0)( xy)由 lim z2 ln z0，通過 變量代換 zx 2y 2 知：lim(x 2y 2 ) 2 ln( x 2y 2 ) 0 ，z0( x, y)(0,0)x2 y 21lim22 222x2 y20 ，又222，所以( xy )ln( xy)222( x)4( x, y ) (0,

2、0)( xy )y即limx 2 y2 ln( x2y 2 )0 。( x, y)(0, 0)注： 多元函數(shù)極限可通過變量代換化成一元函數(shù)極限，利用一元函數(shù)求極限方法求出其極限，一般都非常簡(jiǎn)單。例 2求極限 lim(x4y 4 )exyxy解：因?yàn)?lim(xy)4exy0 ，所以lim( x4y4)exy4exy x4y44exy( 1414) 0。lim( xy)(xy)4lim( xy)xxxxxyyyyyxyxy例 3求極限 lim，x2y2xyxy1xyxy解：因2，所以lim220，x2y2xxyy例 4.求極限lim( xy)ln( x2y2 )( x, y) (0,0)解：li

3、m( xy)ln(x2y2 )令 xr cos, yr sinlim r (cossin)ln r 24 r ln r，( x, y) (0,0)r 0而 lim r ln r0，于是lim( xy)ln( x2y2 ) 0r 0( x, y)(0,0)( xy) sin( xy), x 2y 20例 5 f (x, y)x2y 2，0,x2y 20證明 f ( x, y) 在 (0,0) 點(diǎn)連續(xù)，且存在偏導(dǎo)數(shù)。證明：lim( xy) sin( xy)limsin( xy) ( xy) xy，x2y2( xy)x2y2(x, y)(0 ,0)( x, y)(0 ,0)而 ( xy)xyxy ，

4、所以lim( xy)xy0 ，又limsin( xy)1 因此x 2y2( x, y)(0,0)x2y2( x, y )(0 ,0)(xy )lim(xy) sin( xy)0 f (0,0) 。 f (x, y) 在 (0,0)點(diǎn)連續(xù)。22(x , y)(0,0)xy顯然 f x (0,0)limf (x,0)f ( 0,0)0， f y (0,0) lim f (0, y)f (0,0)0 ，即 f (x, y) 在 (0,0)點(diǎn)存在偏導(dǎo)數(shù)。x 0xy0y例 6分別研究下列二元函數(shù)的在（0,0）點(diǎn)的連續(xù)性和可偏導(dǎo)性。1, xy01） fx, y0, xy0解： fx 0,0f 0x,0f

5、0,01 10 ， fy 0,0limf 0,0y f 0,0lim1 10limlim00x 0xxxy 0yyy即 f ( x, y) 在 (0,0) 處的偏導(dǎo)數(shù)存在，但沿 x 軸（ y=0），有 limf (x, y)1 ； 沿直線 y=x，有 lim f (x, y)lim f (x, x) 0x0x 0x 0y0y x即 f ( x, y) 在 (0,0) 處的不存在極限，從而間斷。2） f x, yxy1 , x 2y 20，x2y2 2x 2y 20,0解：因?yàn)?0xyx2y2x2y212 x2y22x2y2 2由夾逼定理知 limxy1( x, y ) (0, 0)y2 2x2

6、0f (0,0) ，即 fx, y 在 (0,0) 連續(xù)。f x 0,0limfx,0f 0,00 ， f y0,0limf 0,yf 0,00 ， 即 f ( x, y) 在 (0,0) 處的偏導(dǎo)數(shù)存在，x0xy 0y3）fx, yx2xy, x2y 20，y2x2y20,0解： fx0,0limfx,0f 0,00 ， f y0,0limf0, yf0,00 ，即 f ( x, y) 在 ( 0,0) 存在處偏導(dǎo)數(shù)，x 0xy0y但 lim fx, ylimxy沿 ykx limkx2k隨 k 而異，222222x 0x0yx 0xk x1 ky 0y 0 xfx, y在 (0,0) 處極

7、限不存在。所以f ( x, y)在 (0,0)處不連續(xù)。x2y2sin1y 2, x2y204）f x, yx2，0,x2y20解：limf ( x, y) limx2y2 sin1令u=x2y2lim u sin1 0 f (0,0)( x, y)(0 ,0)( x, y)(0, 0)x2y 2u 0u即 f x, y 在 (0,0) 連續(xù)。fx 0,0limf x,0f 0,0lim0xsin 10 ， f y 0,0limf 0, yf 0,0lim0ysin 10 ，x0xxxy0yyy即 f ( x, y) 在 (0,0) 處的偏導(dǎo)數(shù)存在。x2 y225） f x, yx2y2 ,

8、xy0，0,x2y20解：由不等式x2 y2 xy2 gxx ，知limx2 y0f (0,0) ，即 f x, y 在 (0,0) 連續(xù)。2y2x2y2y2x( x, y)( 0,0 ) xf x 0,0 lim f x,0f0,00，f y 0,0limf 0,yf0,00， 即 f ( x, y) 在 (0,0) 處的偏導(dǎo)數(shù)存在，x 0xy 0yxy2,( x, y)(0,0)6）fx, yx24 y40,(x, y)(0,0)解：limf (x, y)limmy4m隨 m 而變，極限不存在，即 f x, y 在 (0,0) 不連續(xù)，但2 442( x, y ) (0,0)x0m y4y

9、m4my2 xf x 0,0 limfx,0f0,00 ， f y 0,0limf0, y f 0,00 ， 即 f ( x, y) 在 (0,0) 處的偏導(dǎo)數(shù)存在，x0xy0y二. 第二類（對(duì)坐標(biāo)）曲面積分直接計(jì)算方法：“一投、二代、三定號(hào) ”三步法；間接計(jì)算法：用高斯公式 將曲面積分轉(zhuǎn)化為三重積分。y例 1.計(jì)算：edzdx. 其中 S 是曲面 yx2z2 與 y1, y2 所圍立體表面的外側(cè).S x2 z2解：曲面 SS1 S2 S3 ，其中 S1(x, y) x2z21, y1，其投影為 D1 : x2z21S2(x, y) x2z22, y2，其投影為 D 2 : x2z22S3(x

10、, y) yx2z2 ,1y2 ，其投影為 D3 :1x2z22e ydzdxee21 12edzdxdrdS1x2z2D1x2z200 re ydzdxe 2e222 12 2edzdxdrdS2x2z2D2x2z200 re ydzdxe x2 z222 er2(e22dzdxd1rdr220rS3xzD3xze ydzdx2( 21)e 2Sx2z2S1S2S322e)，因此例 2.計(jì)算： òzdxdy.x2y2z21 ，外法線是正向 .其中是橢球面 a2b2c2解 :橢球面在 xoy 坐標(biāo)面上的投影是橢圓域D:x2y21. 在橢圓域 D 上, 橢球面分為上與下兩部分曲面 :

11、1, 2 .a2b22222它們的方程分別為 :1 : zc 1x2y2 ,2 : zc 1x2y2abab1 外法線與 z 軸正向的夾角是銳角 ,2 外法線與 z 軸正向的夾角是鈍角,于是zdxdy=zdxdy +zdxdy= c1x2y2c1x2y2dxdy2cx2y222 dxdy221 22 dxdyòòòDabDabDab12令x a cos , yb sin2d12d4 abc2abc1003例3計(jì)算：zxdydzxydzdxyzdxdy,. 其中是柱面22在第一象限中0 z1部分的前側(cè)xy1.解：對(duì)于zxdydz,; x1y2（向前），向 yoz 面

12、上投影為D yz:oy1,z1.ozxdydzz 1y2 dydz111 y2 dy.zdz0Dyz08對(duì)于xydzdx,; y1x2（向右），向 xoz 面上投影為 Dxz : ox1,oz1.xydzdxx1x2 dzdx11x2 dx11.xzdzDxz003對(duì)于yzdxdy，因?yàn)橄?xoy 面上投影區(qū)域面積為0，所以yzdxdy 0，于是，zxdydzxydzdxyzdxdy81 .3例 4 計(jì)算：xdydzydzdxzdxdy, . 其中是旋轉(zhuǎn)拋物面zx2y2 在第一卦限中 0z1部分的上側(cè) .解法一：首先，對(duì)于xdydz,: xzy 2（向后，與 x 軸的正向相反） ，向 yoz

13、面上投影為 Dyz : oy 1, y 2z 1.21121 22311 223xdydzzdydzdyzdzzy2dy1y2 dy.y0y2y0 30 3Dyzy2令 ysin t22 cos4 tdt23128.30342其次，由 x,y 位置對(duì)稱性，ydzdx8最后，對(duì)于zdxdy,: zx2y2 （向上），向 xoy 面上投影為 D xy : o,0 r 1.2zdxdy( x2y2 )dxdy2 d13dr.rDxy008于是，xdydz ydzdxzdxdy8888.解法二（更換坐標(biāo)變量，適用于平面，旋轉(zhuǎn)拋物面等） ：由題設(shè) z x2y2，根據(jù)公式 dydzdzdxdxdyzzy1

14、xdydzzx dxdy2xdxdy,dzdxzydxdy2 ydxdy ，于是xdydzydzdxzdxdy( 2x22 y2x2y2 )dxdy(x2y 2 )dxdy(x2y2 )dxdyDxy2 d13 dr.r008例5計(jì)算：( z 3)dxdy, .其中是旋轉(zhuǎn)拋物面 2zx2y2 介于 2z3之間部分的下側(cè) .解：: 2zx2y2（向下），向 xoy 面上投影為Dxy: o2,2r6. （由 4 2zx2y26 得到）( z3)dxdyx2y23)dxdy26r 2(d2(3) rdrDxy202例6計(jì)算：xdydzydzdxzdxdy, .其中是球面 x2y2z2R2 在第一卦限

15、部分的上側(cè) .解法一：由對(duì)稱性知：xdydzydzdxzdxdy3zdxdy,: zR(xy)（向上），向 xoy 面上投影域?yàn)镈 xy : o,0 r R.xyR , x o, y 0得到）2222（由222所以，原積分3zdxdy32 dRR2r 2 rdrR3002解法二（高斯公式） ：補(bǔ)上1 : x0 （后側(cè)），2 : y0 （左側(cè)），3 : z0 （下側(cè)），則與它們圍成的區(qū)域的體積為球的體積的1 ，則原積分PQR dv111 dv314R32R38xyz83三運(yùn)用逐項(xiàng)求導(dǎo)法計(jì)算級(jí)數(shù)的和例 1求級(jí)數(shù)x2 n 1xx3x5L的和1 2n135n解：它的收斂區(qū)間為（ -1,1），對(duì)于任意的

16、x ( 1,1) ，設(shè) f (x)x2 n1n 1 2n，1則 f( x)x2 n1x2 n 2a11，已知 f (0)0，于是，x (1,1)，有n 1 2n 1n 11 q 1 x2f ( x)xf(t )dtx12 dt11xln1x0 1tlnx1x021例 2求級(jí)數(shù)(1)n1x2n1xx3x5L 的和n12n135解：設(shè) f ( x)(n1x2n1xx3x5L在收斂域 -1,1內(nèi)逐項(xiàng)求導(dǎo)，n 11)2n135得241x1( x) 1xxL1x2 ，注意 f (0)0 ，即得 f (x)0 1t2 dtarctan xf于是，當(dāng) x1,1時(shí)，有 f ( x)(1)n 1x2 n 1xx

17、3x5Larctan xn12n135例 3求級(jí)數(shù)x2 n1x2x4L 的和0 (2 n)!2!4!n2 n24解：設(shè) f ( x)x1xxL，在收斂域 (,) 內(nèi)逐項(xiàng)求導(dǎo)，n 0 (2 n)!2!4!f ( x) xx3x5L ，于是 f ( x)f( x)1xx2x3Le x ，（ 1）3!5!2!3!f ( x)f ( x) 1 xx2x3Lex ， （ 2）2!3!交（ 1）+（2）得， f ( x)x2n1x2x4exe xchx（ x(,) ）0 (2 n)!2!L2n4!例4求級(jí)數(shù)xn1 n(n的和n1)解：它的收斂區(qū)間為 1,1，對(duì)于任意的x 1,1，設(shè)f ( x)xn，1 n

18、( nn1)首先討論 x( 1,1)，用 x 乘等式兩端各項(xiàng)，有 xf ( x)xn 11 n(n1)nxf (x)xn1xn ,xf (x)xnxn 11 .n1n(n1)n 1nn 1nn 11 x于是， x(1,1)，有xtf (t)dtx1tf (t )xln(1x)xf (x)ln(1x)0 1dt00txdtxt )dttf (t) 0x(1x) ln(1x)xxf ( x)(1x) ln(1x)xtf (t )ln(100從而，當(dāng) x0 時(shí)， f ( x)1x ln(1x)1x當(dāng) x 1 時(shí)，直接得當(dāng) x 1 時(shí)，直接得1f (1)1n 1 n(n1)f ( 1)( 1)n111

19、L1111 1Ln 1n(n 1)ggg(1 )(2) ()12 23 34233 42(1111L ) 112ln 2 （根據(jù) ln(1x) xx2x3L( 1)n 1 xnL 得 ln2 ）23423n當(dāng) x0 時(shí)，直接得 f (0)01 x當(dāng)x且x0,ln(1 x) 1, 1,1),于是，f ( x)xnx當(dāng)x1n 1 n(n1)1,0,當(dāng)x0四二階常系數(shù)齊次線性微分方程ypyqy0( p, q為常數(shù)） 的解特征方程： ypyqy0( p, q為常數(shù)） r 2prq0通解： 特征方程有不相等的二實(shí)根r1, r2 ：yC1er1xC2er2 x特征方程有相等的二實(shí)根 r ：y(C1C2 x

20、)erx特征方程有共軛復(fù)根i：ye x (C1 cos xC2 sinx)例 1 yy2 y0的通解為。解；特征方程為 r 3r 22r0 ，解得 r10, r21,r32, 故通解為 yC1C2e xC3e2x例 2 具有特解 y1 e x , y22xe x , y33ex 的三階常系數(shù)齊次線性微分方程為。解；由題設(shè)知特征為： r1,1,1 ，特征方程為 (r1)2 ( r 1)r 3r 2r1 0故方程為 yy y10例 3 y4 y4 y0的通解為。解：特征方程為： r 24r40 (r2) 20 ，有兩相等實(shí)根 r=-2,通解為 y(C1 C2 x)e 2 x例 4 y(4)yyy0 的通解為。解：特征方程為： r 4r 3r10( r1)2 (r 2r 1)0 ，有兩相等實(shí)根 r=-1,及共軛復(fù)根 13 i22(C1 C2 x) e x1 x3 x3 x)通解為 yye2(C3 cosC4 sin22五第二類曲線積分1 掌握第二類曲線積分的計(jì)算方法（ 1）把積分曲線的參數(shù)方程代入曲線積分中，使之化為定積分再計(jì)算：曲線 l 由方程 xx(t), yy(t ), zz(t)(t) 給出，則P(x, y)dxQ( x, y)dy P(