江西省鷹潭市2015屆高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)(理)試題(解析版)

1、江西省鷹潭市2015屆高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)（理）試題 試卷分第卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分，滿分150分，時(shí)間120分鐘 第卷一、選擇題：本大題12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1已知集合() A B C D2. 如圖，按英文字母表A、B、C、D、E、F、G、H、的順序有規(guī)律排列而成的魚狀圖案中，字母“O”出現(xiàn)的個(gè)數(shù)為( )A27 B29 C31 D333從隨機(jī)編號(hào)為0001，0002，5000的5000名參加這次鷹潭市模擬考試的學(xué)生中用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個(gè)樣本進(jìn)行成績分析，已知樣本中編號(hào)最小的兩個(gè)編號(hào)分別為0018，0068，

2、則樣本中最大的編號(hào)應(yīng)該是（ ） A4966 B4967 C4968 D49694寫出不大于1000的所有能被7整除的正整數(shù)，下面是四位同學(xué)設(shè)計(jì)的程序框圖，其中正確的是（ ）A B C D5函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為 （ ）AB C D（1，2）6實(shí)數(shù)使得復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則的大小關(guān)系是 （ ）A B C D7下列四種說法中，錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)有（ ）命題“R，均有0”的否定是：“R，使得x23x-20”方程的解集為“命題p q為真”是“命題pq為真”的必要不充分條件；集合,滿足的集合的個(gè)數(shù)有7個(gè)A0個(gè) B1個(gè) C2個(gè) D3個(gè)8已知?jiǎng)t（ ） A B C D 5 9先后擲骰子（骰子的六個(gè)面上分別標(biāo)有、個(gè)點(diǎn)）兩次，落

3、在水平桌面后，記正面朝上的點(diǎn)數(shù)分別為,設(shè)事件為“為偶數(shù)”， 事件為“,中有偶數(shù)且”，則概率 等于（ ）A B C D 10已知，若不等式對(duì)任意恒成立，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是( )A B C D11已知在處取得極小值，且函數(shù)，滿足，則函數(shù)的圖象在 處的切線方程為（ ）A B或 C D或12已知函數(shù)在上的最大值為,最小值為,則的值為（ ）A B C D第卷二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分13若是第二象限角，其終邊上一點(diǎn)，且，則 14設(shè)x，y滿足約束條件，若的最小值為的展開式的常數(shù)項(xiàng)的，則實(shí)數(shù)的值為 15已知一個(gè)正三棱柱,一個(gè)體積為的球體與棱柱的所有面均相切,那么這個(gè)正三棱柱的表面積是

4、 16設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，過點(diǎn)作與軸垂直的直線交兩漸近線于、兩點(diǎn)，且與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)為，設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則該雙曲線的離心率為 三、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟17（本小題滿分12分）已知數(shù)列的首項(xiàng)，點(diǎn)在直線上，當(dāng)時(shí)，均有 （1）求的通項(xiàng)公式 （2）設(shè)求數(shù)列的前項(xiàng)和18（本小題滿分12分）我市“水稻良種研究所”對(duì)某水稻良種的發(fā)芽率與晝夜溫差之間的關(guān)系進(jìn)行研究。他們分別記錄了3月21日至3月25日的晝夜溫差及每天30顆水稻種子的發(fā)芽數(shù)，并得到如下資料日期3月21日3月22日3月23日3月24日3月25日溫差x（）101113129發(fā)芽數(shù)y(顆)

5、1516171413(1)請(qǐng)根據(jù)以上資料，求出y關(guān)于x的線性回歸方程；據(jù)氣象預(yù)報(bào)3月26日的晝夜溫差為14,請(qǐng)你預(yù)測(cè)3月26日浸泡的30顆水稻種子的發(fā)芽數(shù)（結(jié)果保留整數(shù)）。(2)從3月21日至3月25日中任選2天，記種子發(fā)芽數(shù)超過15顆的天數(shù)為X，求X的概率分布列，并求其數(shù)學(xué)期望EX和方差DX。(參考公式及參考數(shù)據(jù)，)19. （本小題滿分12分）一個(gè)四棱椎的三視圖如圖所示：（1）請(qǐng)畫出此四棱錐的直觀圖，并求證：PCBD；（2）在線段PD上是否存在一點(diǎn)Q，使二面角Q-AC-D的平面角為30o？若存在，求 的值；若不存在，說明理由20（本小題滿分12分）已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，離心率為，

6、右焦點(diǎn)到右頂點(diǎn)的距離為（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）是否存在與橢圓交于兩點(diǎn)的直線：，使得成立？若存在，求出實(shí)數(shù)的取值范圍，若不存在，請(qǐng)說明由.21（本小題滿分12分）已知，且對(duì)任意的實(shí)數(shù)均有，（1）求的值。（2）若，設(shè)，對(duì)于任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。請(qǐng)考生在第22、23、24題中任選一題作答。若多做，則按所做的第一題計(jì)分。22（本小題滿分10分）選修41：幾何證明選講如圖，、是圓上的兩點(diǎn)，是弧的中點(diǎn)（1）求證：平分；（2）延長至使得，連接，若圓的半徑，求的長23. （本小題滿分10分）選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 在極坐標(biāo)系中，直線與曲線C:相交于A、B兩點(diǎn)，O為極點(diǎn)。(1)求AO

7、B的大小（2）設(shè)把曲線向左平移一個(gè)單位再經(jīng)過伸縮變換得到曲線，設(shè)為曲線上任一點(diǎn)，求的最小值，并求相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo).24（本小題滿分10分）選修45：不等式選講設(shè)函數(shù)（1）若的最小值為，求的值； （2）當(dāng)時(shí), 若的定義域?yàn)?，求?shí)數(shù)的取值范圍參考答案1.A【解析】本題考查集合的運(yùn)算.M=xx<12，N=yy>0，所以CRM=xx12, 所以CRMN=xx12，應(yīng)選A.【備注】無 2.B【解析】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式.由圖可得a1=1,d=2,an=1+n-1d=2n-1，O是英文字母的第15個(gè)字母，所以a15=29，應(yīng)選B.【備注】無 3.C【解析】本題考

8、查系統(tǒng)抽樣.系統(tǒng)抽樣按等差數(shù)列抽取的，由題意可知a1=18,a2=68,d=50，所以an=50n-325000，解得n1001625，所以n=100是最大的的編號(hào)，即4968，應(yīng)選C.【備注】無 4.B【解析】本題考查程序框圖.A中第一個(gè)輸出的是0，所以A錯(cuò)誤，同理C第一個(gè)輸出的是0，D第一個(gè)輸出的是14，所以應(yīng)該選B.【備注】無 5.B【解析】本題考查零點(diǎn)存在性定理.f0=1>0，f13=1313-13=313-13>0，f12=1312-12=13-12<0，f1=13-1<0，f2=19-1<0，由零點(diǎn)存在性定理可知，零點(diǎn)應(yīng)該在(13,

9、12)內(nèi)，應(yīng)選B.【備注】無 6.C【解析】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算以及定積分.a+i1-i=a+i1+i1-i1+i=a-1+a+1i2，它為純虛數(shù)，所以a=1，b=01xdx=x22|01=12, c=011-x2dx，表示單位圓的四分之一的面積為4，所以b<c<a ，應(yīng)選C.【備注】無 7.C【解析】本題考查命題的否定，真假，以及集合的關(guān)系.中，全稱命題的否定，變?nèi)我鉃榇嬖?，否定結(jié)論，所以“xR，均有x2-3x-20”的否定是：“xR，使得x2-3x-2<0”，錯(cuò)誤；中，三個(gè)式子都是非負(fù)數(shù)，所以要想讓它們的和為0，保證每一項(xiàng)為0，所以解

10、集就一個(gè)為-1,1,12，錯(cuò)誤；p q為真，即至少有一個(gè)為真，不能得到pq為真，反之成立，所以是必要不充分條件，正確；中，這樣的集合C有23-1=7個(gè)，正確，所以錯(cuò)誤的有2個(gè)，應(yīng)選C.【備注】無 8.D【解析】本題考查三角恒等變換.tanx2=sinx2cosx2=sinx2cosx2cosx2cosx2=sinx21+cosx2=sinx1+cosx=m-3m+51+4-2mm+5= m-39-m，又因?yàn)閟in2x+cos2x=1，所以m-3m+52+4-2mm+52=1，解得m=0或8，因?yàn)?<x<，所以sinx>0，cosx<0，所以m=8，所

11、以tanx2=5，應(yīng)選D.【備注】無 9.A【解析】本題考查條件概率.PBA=PABPA， x+y為偶數(shù)有1,1，3,3，5,5,2,2，4,4，6,6，1,3，1,5，3,5，2,4，2,6，4,6，共有18種，x, y中有偶數(shù)且xy有6種，所以PAB=636=16，PA=1836=12，所以PBA=13，應(yīng)選A.【備注】無 10.A【解析】本題考查基本不等式，對(duì)數(shù)不等式的解法.因?yàn)閚N*，所以當(dāng)n=2或3時(shí)，n+6n能取到最小值5 ，所以loga+3x-loga+1x+55，即loga+3xloga+1x，又因?yàn)閍+3>a+1>1，所以當(dāng)x>1時(shí)，滿足

12、題意，應(yīng)選A.【備注】無 11.C【解析】本題考查導(dǎo)函數(shù)的幾何意義.x=xx-m2,'x=x-m2+2xx-m=x-m3x-m=0，因?yàn)?x)在x=1處取得極小值，所以m=1，F(xiàn)(x)=f(x)+2g(x)，所以F'x=fxgx-g'(x)f(x)+2g2(x)，F(xiàn)'5=3m×4-4m16=2，F(xiàn)5=44=1，所以切線方程為y-1=2x-5應(yīng)選C.【備注】無 12.B【解析】本題考查函數(shù)的性質(zhì).設(shè)gx=2015x+1+20172015x+1=20152015x+1+22015x+1=2015+22015x+1，因?yàn)楹瘮?shù)y=2015x

13、是增函數(shù)，所以gx為減函數(shù)，所以當(dāng)x=-t時(shí)取得最大值，當(dāng)x=t時(shí)取得最小值，y=2015sinx是奇函數(shù)，所以它在區(qū)間-t,t上的最大值和最小值互為相反數(shù)，所以和為0，所以M+N=g-t+gt=2015+22015-t+1+2015+22015t+1=4030+2×2015t2015t+1+22015t+1=4032，應(yīng)選B.【備注】無 13.104【解析】本題考查三角函數(shù)的定義. cos=xr=xx2+5=2x4，解得x2=3，又因?yàn)槭堑诙笙藿牵詘=-3，所以sin=yr=53+5=104.【備注】無 14.-1【解析】本題考查線性規(guī)劃和二項(xiàng)式定理.(x

14、2-1x3)5的展開式的通項(xiàng)公式為Tr+1=C5rx25-r-1x3r=C5r-1rx10-5r，令10-5r=0 ，則r=2 ，所以常數(shù)項(xiàng)為C52-12=10，所以最小值為14，畫出可行域，目標(biāo)函數(shù)z=y-1x-1表示點(diǎn)x,y與點(diǎn)1,1連線的斜率，在點(diǎn)A時(shí)最小，令y=0，則x=3a，所以A點(diǎn)坐標(biāo)為3a,0，斜率為0-13a-1=14，解得a=-1.【備注】無 15.183【解析】本題考查球與三棱柱內(nèi)切的問題.球內(nèi)切于三棱柱，所以直徑為三棱柱的高，球的半徑為底面三角形的外接圓半徑，因?yàn)?3=43××r3，解得r=1，所以底面三角形外接圓半徑為1

15、=13h，所以底面三角形的高為3，底面邊長為23，所以底面面積為12×23×3=33，所以表面積為43×3+33×2=183.【備注】無 16.233【解析】本題考查雙曲線的簡單幾何性質(zhì)以及平面向量基本定理.由題意可知Ac,bca，Bc,-bca，代入OP=OA+OB=c,bca+c,-bca=+c,-bca，可得P+c,-bca，代入雙曲線方程得+c2a2-bca2b2=1，所以4e2=1，又因?yàn)?316，所以e2=43，所以離心率為233.【備注】無 17.(1)點(diǎn)An(n,an+1an)在直線y=kx+1上，當(dāng)n=1或n=2時(shí),

16、有a3a2=2k+1a2a1=k+1a3a2-a2a1=k,當(dāng)n=2時(shí),有a3a2-a2a1=1，k=1，a2a1=k+1=2.又 an+1an-1=anan-1 an+1an-anan-1=1 anan-1=n，因?yàn)閍n=anan-1an-1ana2a1a1=n!，即an=n!.(2)bn=2an(n-1)!3n=2n3n,利用乘公比錯(cuò)位相減法求得sn=(n-12)3n+1+32.【解析】本題考查累加求通項(xiàng)以及錯(cuò)位相減法求和.第一問通過給n取特殊值得到k=1，又有an+1an-1=anan-1，得到an+1an-anan-1=1 ，用累加法可得到anan-1=n ，再用累乘法得到a

17、n=n!；第二問將第一問的結(jié)果代入后可一個(gè)差比數(shù)列，求和用錯(cuò)位相減法.【備注】無 18.(1)因?yàn)閤=11,y=15,所以b=832-5×11×15615-5×112=0.7,于是a=15-0.7×11=7.3,故線性回歸方程為y=0.7x+7.3,當(dāng)x=14時(shí),y=0.7×14+7.3=17.117，即3月26日浸泡的30顆水稻種子的發(fā)芽數(shù)17顆.(2) 因?yàn)閄=0,1,2Px=0=C32C52=310Px=1=C31C21C52=610P(x=2)=C22C52=110X012P310610110所以EX=45 

18、0; DX=EX2-(EX)2=925【解析】本題考查線性回歸方程以及分布列和期望.第一問通過已知所給數(shù)據(jù)結(jié)合參考數(shù)據(jù)求出b，a，從而得到回歸方程，再將x=14代入回歸方程求出發(fā)芽數(shù)；第二問從表格中得到數(shù)據(jù)發(fā)芽數(shù)超過15顆的天數(shù)為3，從5天中選2天，發(fā)芽數(shù)超過15顆的天的概率分別求出來，列出分布列，然后求期望.【備注】無 19.(1)由三視圖可知P-ABCD為四棱錐，底面ABCD為正方形，且PAPBPCPD，連接AC、BD交于點(diǎn)O，連接PO .PD=PB,OB=OD PO BD，因?yàn)锽DAC，BDPO，所以BD平面PAC，即BDPC.(2)由三視圖可知，BC2，PA2 2，

19、假設(shè)存在這樣的點(diǎn)Q，因?yàn)锳COQ，ACOD，所以DOQ為二面角Q-AC-D的平面角，在POD中，PD2 2，OD2，則PDO60o，在DQO中，PDO60o，且QOD30o.所以DPOQ.所以O(shè)D2，QD22. 所以DQDP=14.【解析】本題考查三視圖，線線垂直的證明，以及空間角.第一問由三視圖畫出直觀圖，先得到BDAC，BDPO，所以BD平面PAC，從而得到結(jié)論；第二問因?yàn)锳COQ，ACOD ，又二面角的定義可知，DOQ為二面角Q-AC-D的平面角，在DQO 中可求的DPOQ，再利用相似可得比例關(guān)系.【備注】無 20.()設(shè)橢圓C的方程為x2a2+y2b2=1 (a>b&g

20、t;0)，半焦距為c.依題意，由右焦點(diǎn)到右頂點(diǎn)的距離為1，得a-c=1,解得c=1，a=2.所以b2=a2-c2=3.所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是x24+y23=1.()解：存在直線l，使得|OA+2OB|=|OA-2OB|成立.理由如下：由y=kx+m,x24+y23=1,得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0.=(8km)2-4(3+4k2)(4m2-12)>0，化簡得3+4k2>m2.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)，則x1+x2=-8km3+4k2，x1x2=4m2-123+4k2.若|OA+2OB|=|OA-2OB|成立，即|OA+2OB|2=|OA-2OB|2，

21、等價(jià)于OAOB=0.所以x1x2+y1y2=0. x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=0，(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=0，(1+k2)4m2-123+4k2-km8km3+4k2+m2=0,化簡得7m2=12+12k2.將k2=712m2-1代入3+4k2>m2中，得3+4(712m2-1)>m2，解得m2>34.又由7m2=12+12k212，m2127，從而m2127，m2721或m-2721.所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是(-,-27212721,+).【解析】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程以及直線與圓錐曲線的關(guān)系.第一問由離心率和右焦點(diǎn)到右頂點(diǎn)的距離為1，得到

22、關(guān)于a，c的兩個(gè)方程，求得a，c，再通過b2=a2-c2求得 b ，可得到方程；第二問將直線和橢圓方程聯(lián)立，得到兩根之和與積，將條件|OA+2OB|=|OA-2OB|變形可得OAOB=0，轉(zhuǎn)化為兩根之和與兩根之積，代入可得7m2=12+12k2，再代入>0中，可得到m的取值范圍.【備注】無 21.(1)g(x)=f'(x)=3x2-18xcos+48cos,1+e-|t|(1,2,3+sint2,4,由題意知g(x)0在x(1,2恒成立, g(x)0在x2,4恒成立,故g(2)=0且g(4)0.即有g(shù)(2)=12-36cos+48cos=0g(4)=48-72

23、cos+48cos036-36cos0cos1cos=1,由cos=1 cos=12,cos+2cos=2.(2)由(1)知(x)=13x3-x2+x '(x)=x2-2x+1=(x-1)2h(x)=ln'(x)=ln(x-1)2=2ln|x-1|,hx+1-m=2lnx-m,h2x+2=2ln2x+1,x0,1|2x+1|=2x+1,ln|2x+1|=ln(2x+1)h(x+1-m)<h(2x+2) 0<|x-m|<2x+1-2x-1<x-m<2x+1xm-x-1<m<3x+1xm當(dāng)x0,1時(shí)， -x-1-2,-1,3x+11,4 -

24、1<m<1,xm,m0,1,綜上, 所以-1<m<0.【解析】本題考查導(dǎo)函數(shù)的綜合應(yīng)用，第一問求導(dǎo)后，通過g(1+e-|t|)0,g(3+sint)0，可得g(x)0在x(1,2恒成立.g(x)0在x2,4恒成立.故 g(2)=0且g(4)0求得cos=1 ,cos=12，第二問先將h(x)表示出來，再由已知條件化簡得0<|x-m|<2x+1，再用恒成立求解m的取值范圍.【備注】無 22.(1)證明：連接OC，AOB=120°，C是AB弧的中點(diǎn)，AOC=BOC=60°，OA=OC，ACO是等邊三角形，OA=AC，同理OB=BC，OA=AC=BC=OB，四邊形AOBC是菱形，AB平分OAC；(2)解：連接OC，C為弧AB中